Lode souřadnice - Lode coordinates

Povrchy, na nichž jsou invarianty ${ displaystyle xi}$, ${ displaystyle rho}$, ${ displaystyle theta}$ jsou konstantní. Vyneseno v prostoru hlavního napětí. Červená rovina představuje meridionální rovinu a žlutá rovinu oktaedrickou rovinu.

Lode souřadnice ${ displaystyle (z, r, theta)}$ nebo Souřadnice Haigh – Westergaard ${ displaystyle ( xi, rho, theta)}$.^[1] jsou souborem tenzorové invarianty které pokrývají prostor nemovitý, symetrický, druhého řádu, trojrozměrný tenzory a jsou izomorfní s ohledem na hlavní stresový prostor. Tento pravák ortogonální Souřadnicový systém je pojmenován na počest německého vědce Dr. Waltera Lode kvůli jeho seminární práci z roku 1926 popisující účinek středního hlavního napětí na plastickost kovů.^[2] Další příklady sad tenzorových invariantů jsou množina hlavních napětí ${ displaystyle ( sigma _ {1}, sigma _ {2}, sigma _ {3})}$ nebo soubor kinematických invarianty ${ displaystyle (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3})}$. Souřadnicový systém Lode lze popsat jako a válcový souřadnicový systém v prostoru hlavního napětí se shodným počátkem a osou z rovnoběžnou s vektorem ${ displaystyle ( sigma _ {1}, sigma _ {2}, sigma _ {3}) = (1,1,1)}$.

Mechanické invarianty

Souřadnice Lode se nejsnadněji vypočítají pomocí mechaniky invarianty. Tyto invarianty jsou směsicí invarianty společnosti Cauchyho tenzor napětí, ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$a stresový deviátor, ${ displaystyle { boldsymbol {s}}}$, a jsou dány^[3]

${ displaystyle I_ {1} = mathrm {tr} ({ boldsymbol { sigma}})}$

${ displaystyle J_ {2} = { frac {1} {2}} left [{ text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}} ^ {2}) - { frac {1} { 3}} { text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}}) ^ {2} right] = { frac {1} {2}} mathrm {tr} left ({ boldsymbol { s}} cdot { boldsymbol {s}} vpravo) = { frac {1} {2}} lVert { boldsymbol {s}} rVert ^ {2}}$

${ displaystyle J_ {3} = mathrm {det} ({ boldsymbol {s}}) = { frac {1} {3}} mathrm {tr} vlevo ({ boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol {s}} vpravo)}$

který lze ekvivalentně napsat v Einsteinova notace

${ displaystyle I_ {1} = sigma _ {kk}}$

${ displaystyle J_ {2} = { frac {1} {2}} left [{ text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}} ^ {2}) - { frac {1} { 3}} { text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}}) ^ {2} right] = { frac {1} {2}} s_ {ij} s_ {ji} = { frac {1} {2}} s_ {ij} s_ {ij}}$

${ displaystyle J_ {3} = { frac {1} {6}} epsilon _ {ijk} epsilon _ {pqr} sigma _ {ip} sigma _ {jq} sigma _ {kr} = { frac {1} {3}} s_ {ij} s_ {jk} s_ {ki}}$

kde ${ displaystyle epsilon}$ je Symbol Levi-Civita (nebo symbol permutace) a poslední dva formuláře pro ${ displaystyle J_ {2}}$ jsou ekvivalentní, protože ${ displaystyle { boldsymbol {s}}}$ je symetrický (${ displaystyle s_ {ij} = s_ {ji}}$).

Přechody těchto invariantů^[4] lze vypočítat pomocí

${ displaystyle { frac { částečné I_ {1}} { částečné { boldsymbol { sigma}}}} = { boldsymbol {I}}}$

${ displaystyle { frac { částečné J_ {2}} { částečné { boldsymbol { sigma}}}} = { boldsymbol {s}} = { boldsymbol { sigma}} - { frac { mathrm {tr} left ({ boldsymbol { sigma}} right)} {3}} { boldsymbol {I}}}$

${ displaystyle { frac { částečné J_ {3}} { částečné { boldsymbol { sigma}}}} = { boldsymbol {T}} = { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol {s }} - { frac {2J_ {2}} {3}} { boldsymbol {I}}}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {I}}}$ je 3x3 matice identity a ${ displaystyle { boldsymbol {T}}}$ se nazývá Hill tensor.

Axiální souřadnice ${ displaystyle (z)}$

The ${ displaystyle z}$- souřadnice se zjistí výpočtem velikosti ortogonální projekce stresového stavu na hydrostatický osa.

${ displaystyle z = { boldsymbol {E_ {z}}} dvojtečka { boldsymbol { sigma}} = { frac { mathrm {tr} ({ boldsymbol { sigma}})}} { sqrt { 3}}} = { frac {I_ {1}} { sqrt {3}}}}$

kde

${ displaystyle { boldsymbol {E_ {z}}} = { frac { boldsymbol {I}} { lVert { boldsymbol {I}} rVert}} = { frac { boldsymbol {I}} { sqrt {3}}}}$

je jednotka normální ve směru hydrostatické osy.

Radiální souřadnice ${ displaystyle (r)}$

The ${ displaystyle r}$- souřadnice se zjistí výpočtem velikosti deviátoru napětí ( ortogonální projekce stresového stavu do deviátorové roviny).

${ displaystyle r = { boldsymbol {E_ {r}}} dvojtečka { boldsymbol { sigma}} = lVert { boldsymbol {s}} rVert = { sqrt {2J_ {2}}}}$

kde

${ displaystyle { boldsymbol {E_ {r}}} = { frac { boldsymbol {s}} { lVert { boldsymbol {s}} rVert}}}$

Derivace

Vztah ${ displaystyle r = { sqrt {2J_ {2}}}}$ lze najít rozšířením vztahu ${ displaystyle r = { frac { boldsymbol {s}} { lVert { boldsymbol {s}} rVert}} dvojtečka { boldsymbol { sigma}}}$ a psaní ${ displaystyle sigma}$ z hlediska izotropních a deviátorových částí při rozšiřování velikosti ${ displaystyle { boldsymbol {s}}}$ ${ displaystyle r = { frac { boldsymbol {s}} { sqrt {{ boldsymbol {s}} colon { boldsymbol {s}}}}} colon left ({ boldsymbol {s}} + z { boldsymbol {E_ {z}}} right) = { frac {1} { sqrt {{ boldsymbol {s}} colon { boldsymbol {s}}}}}} left ({ tučný symbol {s}} dvojtečka { tučný symbol {s}} + z { tučný symbol {s}} dvojtečka { tučný symbol {E_ {z}}} doprava)}$. Protože ${ displaystyle { boldsymbol {E_ {z}}}}$ je izotropní a ${ displaystyle { boldsymbol {s}}}$ je deviátorový, jejich produkt je nulový. Což nás nechává ${ displaystyle r = { frac {{ boldsymbol {s}} colon { boldsymbol {s}}} { sqrt {{ boldsymbol {s}} colon { boldsymbol {s}}}}} = { sqrt {{ boldsymbol {s}} dvojtečka { boldsymbol {s}}}}}$ Použití identity ${ displaystyle { boldsymbol {A}} dvojtečka { boldsymbol {B}} = mathrm {tr} vlevo ({ boldsymbol {A}} ^ {T} cdot { boldsymbol {B}} vpravo )}$ a pomocí definice ${ displaystyle J_ {2} = { frac {1} {2}} mathrm {tr} vlevo ({ boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol {s}} vpravo)}$ ${ displaystyle r = { sqrt { mathrm {tr} left ({ boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol {s}} right)}} = { sqrt {2J_ {2}}}}$

je jednotkový tenzor ve směru radiální složky.

Lode úhel - úhlová souřadnice ${ displaystyle ( theta)}$

Tento graf ukazuje, že intuitivní aproximace úhlu Lode je relativní poloha středního hlavního napětí ${ displaystyle lambda _ {m}}$ s ohledem na nízké a vysoké hlavní namáhání.

Úhel Lode lze poměrně volně považovat za měřítko typu zatížení. Úhel Lode se liší vzhledem ke středu vlastní číslo stresu. Existuje mnoho definic Lode úhlu, z nichž každá využívá různé trigonometrické funkce: pozitivní sinus,^[5] negativní sinus,^[6] a pozitivní kosinus^[7] (zde označeno ${ displaystyle theta _ {s}}$, ${ displaystyle { bar { theta}} _ {s}}$, a ${ displaystyle theta _ {c}}$, v uvedeném pořadí)

${ displaystyle sin (3 theta _ {s}) = - sin (3 { bar { theta}} _ {s}) = cos (3 theta _ {c}) = { frac { J_ {3}} {2}} vlevo ({ frac {3} {J_ {2}}} vpravo) ^ {3/2}}$

a jsou ve vztahu od

${ displaystyle theta _ {s} = { frac { pi} {6}} - theta _ {c} qquad qquad theta _ {s} = - { bar { theta}} _ { s}}$

Derivace

Vztah mezi ${ displaystyle theta _ {c}}$ a ${ displaystyle theta _ {s}}$ lze ukázat použitím trigonometrické identity vztahující se k sinusu a kosinu posunem ${ displaystyle cos (3 theta _ {c}) = sin (3 theta _ {s})}$ ${ displaystyle cos (3 theta _ {c}) = sin left ( left (3 theta _ {s} - { frac { pi} {2}} right) + { frac { pi} {2}} vpravo)}$ ${ displaystyle cos (3 theta _ {c}) = cos vlevo (3 theta _ {s} - { frac { pi} {2}} vpravo)}$. Protože kosinus je sudá funkce a rozsah inverzní kosinus je obvykle ${ displaystyle 0 leq cos ^ {- 1} ( theta) leq 1}$ vezmeme zápornou možnou hodnotu pro ${ displaystyle theta _ {s}}$ termínu, čímž to zajistíme ${ displaystyle theta _ {c}}$ je pozitivní. ${ displaystyle 3 theta _ {c} = pm left (3 theta _ {s} - { frac { pi} {2}} right)}$ ${ displaystyle theta _ {c} = { frac { pi} {6}} - theta _ {s}}$

Všechny tyto definice jsou definovány pro řadu ${ displaystyle pi / 3}$.

	Stresový stav ${ displaystyle sigma _ {1} geq sigma _ {2} geq sigma _ {3}}$	${ displaystyle theta _ {s}}$	${ displaystyle { bar { theta}} _ {s}}$	${ displaystyle theta _ {c}}$
rozsah		${ displaystyle - { frac { pi} {6}} leq theta _ {s} leq { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle - { frac { pi} {6}} leq theta _ {s} leq { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle 0 leq theta _ {c} leq { frac { pi} {3}}}$
Triaxiální komprese (TXC)	${ displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {2} geq sigma _ {3}}$	${ displaystyle - { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle { frac { pi} {3}}}$
Shear (SHR)	${ displaystyle sigma _ {2} = ( sigma _ {1} + sigma _ {3}) / 2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac { pi} {6}}}$
Triaxiální prodloužení (TXE)	${ displaystyle sigma _ {1} geq sigma _ {2} = sigma _ {3}}$	${ displaystyle { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle - { frac { pi} {6}}}$	${ displaystyle 0}$

Lze vypočítat jednotku normální v úhlovém směru, která doplňuje ortonormální základnu ${ displaystyle theta _ {s}}$^[8] a ${ displaystyle theta _ {c}}$^[9] použitím

${ displaystyle { boldsymbol {E _ { theta s}}} = { frac {{ boldsymbol {T}} / lVert { boldsymbol {T}} rVert - sin (3 theta _ {s} ) { boldsymbol {E_ {z}}}}} { cos (3 theta _ {s})}} qquad { boldsymbol {E _ { theta c}}} = { frac {{ boldsymbol {T }} / lVert { boldsymbol {T}} rVert - cos (3 theta _ {c}) { boldsymbol {E_ {z}}}} { sin (3 theta _ {s})} }}$.

Meridional profil

Tento graf ukazuje typický poledníkový profil několika modelů plasticity: von Mises, lineární Drucker – Prager, Mohr – Coulomb, Gurson, a Bigoni – Piccolroaz. Horní část grafu znázorňuje chování povrchové výtěžnosti v triaxiálním prodloužení a spodní část zobrazuje chování povrchové výtěžnosti v triaxiální kompresi.

The jižní profil je 2D graf ${ displaystyle (z, r)}$ podíl ${ displaystyle theta}$ konstantní a někdy se vykresluje pomocí skalárních násobků ${ displaystyle (z, r)}$. Běžně se používá k prokázání tlakové závislosti a povrch výnosu nebo trajektorie smyku tlaku smykové dráhy. Protože ${ displaystyle r}$ je nezáporné děj obvykle vynechá zápornou část ${ displaystyle r}$- osa, ale může být zahrnuta pro ilustraci efektů v opačných Lode úhlech (obvykle triaxiální prodloužení a triaxiální komprese).

Jednou z výhod vykreslování meridionálního profilu s ${ displaystyle (z, r)}$ spočívá v tom, že se jedná o geometricky přesné zobrazení výtěžku.^[8] Pokud se pro meridionální profil použije neizomorfní pár, pak se normál k ploše výnosu nebude v meridionálním profilu jevit jako normální. Jakákoli dvojice souřadnic, která se liší od ${ displaystyle (z, r)}$ konstantními násobky stejné absolutní hodnoty jsou také izomorfní s ohledem na hlavní stresový prostor. Jako příklad tlak ${ displaystyle p = -I1 / 3}$ a Von Mises stres ${ displaystyle sigma _ {v} = { sqrt {3J_ {2}}}}$ nejsou izomorfní dvojice souřadnic, a proto narušují povrch výnosu, protože

${ displaystyle p = - { frac {1} { sqrt {3}}} z}$

${ displaystyle sigma _ {v} = { sqrt { frac {3} {2}}} r}$

a nakonec, ${ displaystyle | -1 / { sqrt {3}} | neq | { sqrt {3/2}} |}$.

Oktaedrický profil

Tento graf ukazuje typický oktaedrický profil několika modelů plasticity: von Mises, lineární Drucker – Prager, Mohr – Coulomb, Gurson, a Bigoni – Piccolroaz. Tento graf vynechal hodnoty úhlu Lode ve prospěch popisů načítání kvůli převaze definic úhlu Lode. Radiální souřadnice je ${ displaystyle r = { sqrt {2J_ {2}}}}$.

Oktaedrický profil je 2D graf ${ displaystyle (r, theta)}$ podíl ${ displaystyle z}$ konstantní. Vynesením plochy výnosu v oktaedrické rovině se prokazuje úroveň závislosti úhlu Lode. Oktaedrická rovina se někdy označuje jako „rovina pí“^[10] nebo „deviátorová rovina“.^[11]

Oktaedrický profil nemusí být nutně konstantní pro různé hodnoty tlaku, s výraznými výjimkami von Misesovo výnosové kritérium a Kritérium výnosu Tresca které jsou konstantní pro všechny hodnoty tlaku.

Poznámka k terminologii

Termín Prostor Haigh-Westergaard V literatuře se nejednoznačně používá jak prostor kartézského hlavního napětí^[12][13] a válcový prostor souřadnic Lode^[14][15]

Viz také

• Výnos (strojírenství)
• Plasticita (fyzika)
• Stres
• Henri Tresca
• von Mises stres
• Mohr – Coulombova teorie
• Kmen
• Tenzor napětí
• Tenzor napětí a energie
• Koncentrace stresu
• 3-D pružnost

Reference