Silný kardinál - Strong cardinal

v teorie množin, a silný kardinál je typ velký kardinál. Jde o oslabení pojmu a superkompaktní kardinál.

Formální definice

Pokud je λ nějaké pořadové číslo, κ je λ-silné znamená, že κ je a základní číslovka a existuje základní vložení j z vesmíru PROTI do tranzitivu vnitřní model M s kritický bod κ a

To znamená, M souhlasí s PROTI na počátečním segmentu. Pak κ je silný znamená, že je silný λ pro všechny řadové řádky λ.

Vztah s dalšími velkými kardinály

Podle definice leží silní kardinálové níže superkompaktní kardinálové a výše měřitelní kardinálové v hierarchii síly konzistence.

κ je silné κ právě tehdy, je-li měřitelné. Pokud je κ silné nebo λ silné pro λ ≥ κ + 2, pak ultrafiltr U bude svědkem toho, že κ je měřitelný PROTIκ + 2 a tedy dovnitř M. Takže pro jakékoli α <κ máme, že existuje ultrafiltr U v j(PROTIκ) − j(PROTIα), pamatuji si to j(α) = α. Pomocí elementárního vkládání dozadu zjistíme, že je v něm ultrafiltr PROTIκ − PROTIα. Existuje tedy libovolně velký měřitelný kardinál pod κ, který je pravidelný, a tedy κ je limitem κ-mnoha měřitelných kardinálů.

Silní kardinálové také leží níže supersilní kardinálové a Woodin kardinálové v pevnosti konzistence. Nejméně silný kardinál je však větší než nejméně silný kardinál.

Každý silný kardinál je silně rozložitelný a proto naprosto nepopsatelné.

Reference

  • Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.