Madelungovy rovnice - Madelung equations - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

The Madelungovy rovnice, nebo rovnice kvantové hydrodynamiky, jsou Erwin Madelung ekvivalentní alternativní formulace Schrödingerova rovnice, psaný z hlediska hydrodynamických proměnných, podobně jako Navier-Stokesovy rovnice z dynamika tekutin. Odvození Madelungových rovnic je podobné jako de Broglie – Bohmova formulace, což představuje Schrödingerova rovnice jako kvantová rovnice Hamilton – Jacobi.

Rovnice

Madelungovy rovnice^[1] jsou kvantové Eulerovy rovnice:^[2]

${ displaystyle částečné _ {t} rho _ {m} + nabla cdot ( rho _ {m} mathbf {u}) = 0,}$

${ displaystyle { frac {d mathbf {u}} {dt}} = částečný _ {t} mathbf {u} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = - { frac {1} {m}} mathbf { nabla} (Q + V),}$

kde

${ displaystyle mathbf {u}}$ je rychlost proudění,

${ displaystyle rho _ {m} = m rho = m | psi | ^ {2}}$ je hmotnostní hustota,

${ displaystyle Q = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { nabla ^ {2} { sqrt { rho}}} { sqrt { rho}}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { nabla ^ {2} { sqrt { rho _ {m}}}}} { sqrt { rho _ {m}} }}}$ je Bohm kvantový potenciál,

PROTI je potenciál ze Schrödingerovy rovnice.

The oběh pole rychlosti proudění podél kterékoli uzavřené dráhy se řídí pomocnou podmínkou ${ displaystyle Gamma doteq mast {m mathbf {u} cdot d mathbf {l}} = 2 pi n hbar}$, ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$.^[3]

Madelungovy rovnice jsou odvozeny psaním vlnové funkce v polárním tvaru:

${ displaystyle psi ( mathbf {x}, t) = { sqrt {{ frac {1} {m}} rho _ {m} ( mathbf {x}, t)}} e ^ {{ frac {i} { hbar}} S ( mathbf {x}, t)},}$

a nahrazení tohoto formuláře do Schrödingerova rovnice

${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} psi ( mathbf {x}, t) = left [{ frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V ( mathbf {x}, t) right] psi ( mathbf {x}, t).}$

Rychlost proudění je definována symbolem

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}, t) = { frac {1} {m}} mathbf { nabla} S,}$

z čehož také zjistíme, že

${ displaystyle { frac {1} {m}} rho _ {m} mathbf {u} = mathbf {j} = { frac { hbar} {2mi}} [ psi ^ {*} ( nabla psi) - psi ( nabla psi ^ {*})],}$

kde ${ displaystyle mathbf {j}}$ je pravděpodobnostní proud standardní kvantové mechaniky.

The kvantová síla, což je zápor gradientu kvantového potenciálu, lze také napsat pomocí tenzoru kvantového tlaku:

${ displaystyle mathbf {F_ {Q}} = - mathbf { nabla} Q = - { frac {m} { rho _ {m}}} nabla cdot mathbf {p} _ {Q} ,}$

kde

${ displaystyle mathbf {p} _ {Q} = - ( hbar / 2m) ^ {2} rho _ {m} nabla otimes nabla ln rho _ {m}.}$

Integrální energie uložená v tenzoru kvantového tlaku je úměrná Fisher informace, který odpovídá za kvalitu měření. Podle Cramér – Rao vázán, Heisenberg princip nejistoty je ekvivalentní standardní nerovnosti pro účinnost měření. Termodynamická definice kvantově chemického potenciálu

${ displaystyle mu = Q + V = { frac {1} { sqrt { rho _ {m}}}} { widehat {H}} { sqrt { rho _ {m}}}}$

vyplývá z hydrostatické silové bilance výše:

${ displaystyle nabla mu = { frac {m} { rho _ {m}}} nabla cdot mathbf {p} _ {Q} + nabla V.}$

Podle termodynamiky je v rovnováze chemický potenciál všude konstantní, což odpovídá přímo stacionární Schrödingerově rovnici. Vlastní čísla Schrödingerovy rovnice jsou tedy volné energie, které se liší od vnitřních energií systému. Vnitřní energie částic se vypočítá jako

${ displaystyle varepsilon = mu - operatorname {tr} ( mathbf {p} _ {Q}) { frac {m} { rho _ {m}}} = - { frac { hbar ^ { 2}} {8m}} ( nabla ln rho _ {m}) ^ {2} + U}$

a souvisí s místním Carl Friedrich von Weizsäcker korekce.^[4] Například v případě kvantového harmonického oscilátoru lze snadno ukázat, že energie nulového bodu je hodnota chemického potenciálu oscilátoru, zatímco vnitřní energie oscilátoru je v základním stavu nulová, ${ displaystyle varepsilon = 0}$. Energie nulového bodu tedy představuje energii k umístění statického oscilátoru do vakua, což opět ukazuje, že kolísání vakua jsou důvodem kvantové mechaniky.

Viz také

• Kvantový potenciál
• Kvantová hydrodynamika
• Bohmianova kvantová mechanika

Reference

Další čtení

• Schönberg, M. (1954). „Na hydrodynamickém modelu kvantové mechaniky“. Il Nuovo Cimento. 12 (1): 103–133. Bibcode:1954NCim ... 12..103S. doi:10.1007 / BF02820368.