Stresové funkce - Stress functions

v lineární pružnost, rovnice popisující deformaci pružného tělesa vystaveného pouze povrchovým silám (nebo silám tělesa, které lze vyjádřit jako potenciály) na hranici jsou (s použitím indexová notace ) rovnovážná rovnice:

{ displaystyle sigma _ {ij, i} = 0 ,}

kde ${ displaystyle sigma}$ je tenzor napětí a rovnice kompatibility Beltrami-Michell:

{ displaystyle sigma _ {ij, kk} + { frac {1} {1+ nu}} sigma _ {kk, ij} = 0}

Obecné řešení těchto rovnic lze vyjádřit pomocí Tenzor napětí Beltrami. Stresové funkce jsou odvozeny jako speciální případy tohoto tenzoru napětí Beltrami, který, i když méně obecný, někdy přinese přitažlivější metodu řešení pro elastické rovnice.

Stresové funkce Beltrami

Může se to ukázat ^[1] že kompletní řešení rovnovážných rovnic lze zapsat jako

{ displaystyle sigma = nabla krát Phi krát nabla}

Použití indexové notace:

{ displaystyle sigma _ {ij} = varepsilon _ {ikm} varepsilon _ {jln} Phi _ {kl, mn}}

Inženýrská notace
${ displaystyle sigma _ {x} = { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yy}} { částečné z částečné z}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zz}} { částečné y částečné y}} - 2 { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yz}} { částečné y částečné z}}}$		${ displaystyle sigma _ {xy} = - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xy}} { částečné z částečné z}} - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zz}} { částečné x částečné y}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yz}} { částečné x částečné z}} + { frac { částečné ^ { 2} Phi _ {zx}} { částečné y částečné z}}}$
${ displaystyle sigma _ {y} = { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xx}} { částečné z částečné z}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zz}} { částečné x částečné x}} - 2 { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zx}} { částečné z částečné x}}}$		${ displaystyle sigma _ {yz} = - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yz}} { částečné x částečné x}} - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xx}} { částečné y částečné z}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zx}} { částečné y částečné x}} + { frac { částečné ^ { 2} Phi _ {xy}} { částečné z částečné x}}}$
${ displaystyle sigma _ {z} = { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yy}} { částečné x částečné x}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xx}} { částečné y částečné y}} - 2 { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xy}} { částečné x částečné y}}}$		${ displaystyle sigma _ {zx} = - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {zx}} { částečné y částečné y}} - { frac { částečné ^ {2} Phi _ {yy}} { částečné z částečné x}} + { frac { částečné ^ {2} Phi _ {xy}} { částečné z částečné y}} + { frac { částečné ^ { 2} Phi _ {yz}} { částečné x částečné y}}}$

kde ${ displaystyle Phi _ {mn}}$ je libovolné tenzorové pole druhého řádu, které je nepřetržitě diferencovatelné alespoň čtyřikrát a je známé jako Tenzor napětí Beltrami.^[1] Jeho součásti jsou známé jako Stresové funkce Beltrami. ${ displaystyle varepsilon}$ je Levi-Civita pseudotenzor, se všemi hodnotami rovnými nule kromě těch, ve kterých se indexy neopakují. Pro sadu neopakujících se indexů bude hodnota komponenty +1 pro sudé permutace indexů a -1 pro liché permutace. A ${ displaystyle nabla}$ je Operátor Nabla.

Maxwellovy stresové funkce

The Maxwellovy stresové funkce jsou definovány za předpokladu, že tenzor napětí Beltrami ${ displaystyle Phi _ {mn}}$ je omezeno na formu.^[2]

{ displaystyle Phi _ {ij} = { začátek {bmatrix} A & 0 & 0 0 & B & 0 0 & 0 & C end {bmatrix}}}

Tenzor napětí, který se automaticky řídí rovnovážnou rovnicí, lze nyní zapsat jako:^[2]

${ displaystyle sigma _ {x} = { frac { částečné ^ {2} B} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} C} { částečné y ^ {2}}}}$		${ displaystyle sigma _ {yz} = - { frac { částečné ^ {2} A} { částečné y částečné z}}}$
${ displaystyle sigma _ {y} = { frac { částečné ^ {2} C} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} A} { částečné z ^ {2}}}}$		${ displaystyle sigma _ {zx} = - { frac { částečné ^ {2} B} { částečné z částečné x}}}$
${ displaystyle sigma _ {z} = { frac { částečné ^ {2} A} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} B} { částečné x ^ {2}}}}$		${ displaystyle sigma _ {xy} = - { frac { částečné ^ {2} C} { částečné x částečné y}}}$

Řešení elastostatického problému nyní spočívá v nalezení tří stresových funkcí, které dávají tenzor napětí, který se řídí Rovnice kompatibility Beltrami – Michell pro stres. Dosazením výrazů pro napětí do Beltrami-Michellových rovnic se získá výraz elastostatického problému z hlediska stresových funkcí:^[3]

{ displaystyle nabla ^ {4} A + nabla ^ {4} B + nabla ^ {4} C = 3 vlevo ({ frac { částečné ^ {2} A} { částečné x ^ {2}} } + { frac { částečné ^ {2} B} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} C} { částečné z ^ {2}}} vpravo) / (2- nu),}

Musí také poskytovat tenzor napětí, který se řídí zadanými okrajovými podmínkami.

Funkce vzdušného stresu

The Funkce vzdušného stresu je speciální případ Maxwellových zátěžových funkcí, ve kterých se předpokládá, že A = B = 0 a C je funkcí pouze xay.^[2] Tuto napěťovou funkci lze proto použít pouze pro dvourozměrné problémy. V literatuře pružnosti je funkce stresu ${ displaystyle C}$ je obvykle reprezentován ${ displaystyle varphi}$ a napětí jsou vyjádřena jako

{ displaystyle sigma _ {x} = { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné y ^ {2}}} ~; ~~ sigma _ {y} = { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x ^ {2}}} ~; ~~ sigma _ {xy} = - { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x částečné y} } - (f_ {x} y + f_ {y} x)}

Kde ${ displaystyle f_ {x}}$ a ${ displaystyle f_ {y}}$ jsou hodnoty sil těla v příslušném směru.

V polárních souřadnicích jsou výrazy:

{ displaystyle sigma _ {rr} = { frac {1} {r}} { frac { částečné varphi} { částečné r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné theta ^ {2}}} ~; ~~ sigma _ { theta theta} = { frac { částečné ^ {2} varphi } { částečné r ^ {2}}} ~; ~~ sigma _ {r theta} = sigma _ { theta r} = - { frac { částečné} { částečné r}} vlevo ( { frac {1} {r}} { frac { částečné varphi} { částečné theta}} vpravo)}

Stresové funkce Morera

The Stresové funkce Morera jsou definovány za předpokladu, že tenzor napětí Beltrami ${ displaystyle Phi _ {mn}}$ tensor je omezen na formu ^[2]

{ displaystyle Phi _ {ij} = { begin {bmatrix} 0 & C & B C & 0 & A B & A & 0 end {bmatrix}}}

Řešení elastostatického problému nyní spočívá v nalezení tří stresových funkcí, které dávají tenzor napětí, který se řídí rovnicemi kompatibility Beltrami-Michell. Dosazením výrazů pro napětí do Beltrami-Michellových rovnic se získá výraz elastostatického problému z hlediska stresových funkcí:^[4]

${ displaystyle sigma _ {x} = - 2 { frac { částečné ^ {2} A} { částečné y částečné z}}}$		${ displaystyle sigma _ {yz} = - { frac { částečné ^ {2} A} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} B} { částečné y částečné x}} + { frac { částečné ^ {2} C} { částečné z částečné x}}}$
${ displaystyle sigma _ {y} = - 2 { frac { částečné ^ {2} B} { částečné z částečné x}}}$		${ displaystyle sigma _ {zx} = - { frac { částečné ^ {2} B} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} C} { částečné z částečné y}} + { frac { částečné ^ {2} A} { částečné x částečné y}}}$
${ displaystyle sigma _ {z} = - 2 { frac { částečné ^ {2} C} { částečné x částečné y}}}$		${ displaystyle sigma _ {xy} = - { frac { částečné ^ {2} C} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} A} { částečné x částečné z}} + { frac { částečné ^ {2} B} { částečné y částečné z}}}$

Prandtlova stresová funkce

The Prandtlova stresová funkce je speciální případ zátěžových funkcí Morera, ve kterém se předpokládá, že A = B = 0 a C je funkcí pouze x a y.^[4]

Poznámky

^ ^A ^b Sadd, Martin H. (2005). Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Elsevier Science & Technology Books. p. 363. ISBN 978-0-12-605811-6.
^ ^A ^b ^C ^d Sadd, M. H. (2005) Elasticity: Theory, Applications, and Numerics, Elsevier, s. 364
^ Knops (1958), str. 327
^ ^A ^b Sadd, M. H. (2005) Elasticity: Theory, Applications, and Numerics, Elsevier, s. 365

Reference

Sadd, Martin H. (2005). Elasticita - teorie, aplikace a numerika. New York: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 0-12-605811-3. OCLC 162576656.
Knops, R. J. (1958). „O změně Poissonova poměru při řešení elastických problémů“. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. Oxford University Press. 11 (3): 326–350. doi:10.1093 / qjmam / 11.3.326.

Viz také

[Sadd05_363-1] A ^b Sadd, Martin H. (2005). Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Elsevier Science & Technology Books. p. 363. ISBN 978-0-12-605811-6.

[Sadd05_364-2] A ^b ^C ^d Sadd, M. H. (2005) Elasticity: Theory, Applications, and Numerics, Elsevier, s. 364

[3] Knops (1958), str. 327

[Sadd05_365-4] A ^b Sadd, M. H. (2005) Elasticity: Theory, Applications, and Numerics, Elsevier, s. 365

[1]

[2]

[3]

[4]