Michell řešení - Michell solution The Michell řešení je obecným řešením pružnost rovnice v polární souřadnice ( r , θ {displaystyle r, heta,}) vyvinutý společností J. H. Michell. Řešení je takové, že složky napětí jsou ve formě a Fourierova řada v θ {displaystyle heta,}.Michell[1] ukázal, že obecné řešení lze vyjádřit pomocí Funkce vzdušného stresu formuláře φ ( r , θ ) = A 0 r 2 + B 0 r 2 ln ( r ) + C 0 ln ( r ) + ( Já 0 r 2 + Já 1 r 2 ln ( r ) + Já 2 ln ( r ) + Já 3 ) θ + ( A 1 r + B 1 r − 1 + B 1 ′ r θ + C 1 r 3 + D 1 r ln ( r ) ) cos θ + ( E 1 r + F 1 r − 1 + F 1 ′ r θ + G 1 r 3 + H 1 r ln ( r ) ) hřích θ + ∑ n = 2 ∞ ( A n r n + B n r − n + C n r n + 2 + D n r − n + 2 ) cos ( n θ ) + ∑ n = 2 ∞ ( E n r n + F n r − n + G n r n + 2 + H n r − n + 2 ) hřích ( n θ ) {displaystyle {egin {aligned} varphi (r, heta) & = A_ {0} ~ r ^ {2} + B_ {0} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + C_ {0} ~ ln (r ) & + vlevo (I_ {0} ~ r ^ {2} + I_ {1} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + I_ {2} ~ ln (r) + I_ {3} ~ ight) heta & + vlevo (A_ {1} ~ r + B_ {1} ~ r ^ {- 1} + B_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + C_ {1} ~ r ^ {3} + D_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) cos heta & + left (E_ {1} ~ r + F_ {1} ~ r ^ {- 1} + F_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + G_ {1} ~ r ^ {3} + H_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) sin heta & + součet _ {n = 2} ^ {infty} left (A_ {n} ~ r ^ {n} + B_ {n} ~ r ^ {- n} + C_ {n} ~ r ^ {n + 2} + D_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) cos (n heta) & + součet _ {n = 2} ^ {infty} left (E_ {n} ~ r ^ {n} + F_ {n} ~ r ^ {- n} + G_ {n} ~ r ^ {n + 2} + H_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) sin (n heta) konec {zarovnáno}}}Podmínky A 1 r cos θ {displaystyle A_ {1} ~ r ~ cos heta,} a E 1 r hřích θ {displaystyle E_ {1} ~ r ~ sin heta,} definují triviální nulový stav napětí a jsou ignorovány.Obsah1 Složky stresu2 Součásti posunutí3 Reference4 Viz takéSložky stresuThe stres složky lze získat dosazením Michellova řešení do rovnic pro napětí ve smyslu Funkce vzdušného stresu (v válcové souřadnice ). Níže je uvedena tabulka složek napětí.[2] φ {displaystyle varphi} σ r r {displaystyle sigma _ {rr},} σ r θ {displaystyle sigma _ {r heta},} σ θ θ {displaystyle sigma _ {heta heta},} r 2 {displaystyle r ^ {2},} 2 {displaystyle 2} 0 {displaystyle 0} 2 {displaystyle 2} r 2 ln r {displaystyle r ^ {2} ~ ln r} 2 ln r + 1 {displaystyle 2 ~ ln r + 1} 0 {displaystyle 0} 2 ln r + 3 {displaystyle 2 ~ ln r + 3} ln r {displaystyle ln r,} r − 2 {displaystyle r ^ {- 2},} 0 {displaystyle 0} − r − 2 {displaystyle -r ^ {- 2},} θ {displaystyle heta,} 0 {displaystyle 0} r − 2 {displaystyle r ^ {- 2},} 0 {displaystyle 0} r 3 cos θ {displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,} 2 r cos θ {displaystyle 2 ~ r ~ cos heta,} 2 r hřích θ {displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,} 6 r cos θ {displaystyle 6 ~ r ~ cos heta,} r θ cos θ {displaystyle r heta ~ cos heta,} − 2 r − 1 hřích θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 1} ~ sin heta,} 0 {displaystyle 0} 0 {displaystyle 0} r ln r cos θ {displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,} r − 1 cos θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} r − 1 hřích θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} r − 1 cos θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} r − 1 cos θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} − 2 r − 3 cos θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} − 2 r − 3 hřích θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} 2 r − 3 cos θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} r 3 hřích θ {displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,} 2 r hřích θ {displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,} − 2 r cos θ {displaystyle -2 ~ r ~ cos heta,} 6 r hřích θ {displaystyle 6 ~ r ~ sin heta,} r θ hřích θ {displaystyle r heta ~ sin heta,} 2 r − 1 cos θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 1} ~ cos heta,} 0 {displaystyle 0} 0 {displaystyle 0} r ln r hřích θ {displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,} r − 1 hřích θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} − r − 1 cos θ {displaystyle -r ^ {- 1} ~ cos heta,} r − 1 hřích θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} r − 1 hřích θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} − 2 r − 3 hřích θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} 2 r − 3 cos θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} 2 r − 3 hřích θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} r n + 2 cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),} − ( n + 1 ) ( n − 2 ) r n cos ( n θ ) {displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} n ( n + 1 ) r n hřích ( n θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} ( n + 1 ) ( n + 2 ) r n cos ( n θ ) {displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} r − n + 2 cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),} − ( n + 2 ) ( n − 1 ) r − n cos ( n θ ) {displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),} − n ( n − 1 ) r − n hřích ( n θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} ( n − 1 ) ( n − 2 ) r − n cos ( n θ ) {displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta)} r n cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),} − n ( n − 1 ) r n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} n ( n − 1 ) r n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} n ( n − 1 ) r n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} r − n cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),} − n ( n + 1 ) r − n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} − n ( n + 1 ) r − n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),} n ( n + 1 ) r − n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} r n + 2 hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),} − ( n + 1 ) ( n − 2 ) r n hřích ( n θ ) {displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} − n ( n + 1 ) r n cos ( n θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} ( n + 1 ) ( n + 2 ) r n hřích ( n θ ) {displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} r − n + 2 hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),} − ( n + 2 ) ( n − 1 ) r − n hřích ( n θ ) {displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} n ( n − 1 ) r − n cos ( n θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),} ( n − 1 ) ( n − 2 ) r − n hřích ( n θ ) {displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} r n hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),} − n ( n − 1 ) r n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} − n ( n − 1 ) r n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} n ( n − 1 ) r n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} r − n hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),} − n ( n + 1 ) r − n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),} n ( n + 1 ) r − n − 2 cos ( n θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} n ( n + 1 ) r − n − 2 hřích ( n θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),}Součásti posunutíZdvihadla ( u r , u θ ) {displaystyle (u_ {r}, u_ {heta})} lze získat z řešení Michell pomocí nervové vypětí a deformační posun vztahy. Níže je uvedena tabulka prvků posunutí odpovídajících pojmům ve funkci vzdušného napětí pro Michellovo řešení. V této tabulce κ = { 3 − 4 ν F Ó r p l A n E s t r A i n 3 − ν 1 + ν F Ó r p l A n E s t r E s s {displaystyle kappa = {egin {cases} 3-4 ~ u & {m {for ~ plane ~ kmen}} {cfrac {3-u} {1 + u}} & {m {for ~ plane ~ stress}} end {případy}}}kde ν {displaystyle u} je Poissonův poměr, a μ {displaystyle mu} je tažný modul. φ {displaystyle varphi} 2 μ u r {displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {r},} 2 μ u θ {displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {heta},} r 2 {displaystyle r ^ {2},} ( κ − 1 ) r {displaystyle (kappa -1) ~ r} 0 {displaystyle 0} r 2 ln r {displaystyle r ^ {2} ~ ln r} ( κ − 1 ) r ln r − r {displaystyle (kappa -1) ~ r ~ ln r-r} ( κ + 1 ) r θ {displaystyle (kappa +1) ~ r ~ heta} ln r {displaystyle ln r,} − r − 1 {displaystyle -r ^ {- 1},} 0 {displaystyle 0} θ {displaystyle heta,} 0 {displaystyle 0} − r − 1 {displaystyle -r ^ {- 1},} r 3 cos θ {displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,} ( κ − 2 ) r 2 cos θ {displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,} ( κ + 2 ) r 2 hřích θ {displaystyle (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,} r θ cos θ {displaystyle r heta ~ cos heta,} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ cos θ + { 1 − ( κ + 1 ) ln r } hřích θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta + {1- (kappa +1) ln r} ~ sin heta],} − 1 2 [ ( κ − 1 ) θ hřích θ + { 1 + ( κ + 1 ) ln r } cos θ ] {displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa +1) ln r} ~ cos heta],} r ln r cos θ {displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ hřích θ − { 1 − ( κ − 1 ) ln r } cos θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta - {1- (kappa -1) ln r} ~ cos heta],} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ cos θ − { 1 + ( κ − 1 ) ln r } hřích θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa -1) ln r} ~ sin heta],} r − 1 cos θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} r − 2 cos θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ cos heta,} r − 2 hřích θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,} r 3 hřích θ {displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,} ( κ − 2 ) r 2 hřích θ {displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,} − ( κ + 2 ) r 2 cos θ {displaystyle - (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,} r θ hřích θ {displaystyle r heta ~ sin heta,} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ hřích θ − { 1 − ( κ + 1 ) ln r } cos θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta - {1- (kappa +1) ln r} ~ cos heta],} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ cos θ − { 1 + ( κ + 1 ) ln r } hřích θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa +1) ln r} ~ sin heta],} r ln r hřích θ {displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,} − 1 2 [ ( κ + 1 ) θ cos θ + { 1 − ( κ − 1 ) ln r } hřích θ ] {displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta + {1- (kappa -1) ln r} ~ sin heta],} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ hřích θ + { 1 + ( κ − 1 ) ln r } cos θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa -1) ln r} ~ cos heta],} r − 1 hřích θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} r − 2 hřích θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,} − r − 2 cos θ {displaystyle -r ^ {- 2} ~ cos heta,} r n + 2 cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),} ( κ − n − 1 ) r n + 1 cos ( n θ ) {displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),} ( κ + n + 1 ) r n + 1 hřích ( n θ ) {displaystyle (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),} r − n + 2 cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),} ( κ + n − 1 ) r − n + 1 cos ( n θ ) {displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),} − ( κ − n + 1 ) r − n + 1 hřích ( n θ ) {displaystyle - (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),} r n cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),} − n r n − 1 cos ( n θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),} n r n − 1 hřích ( n θ ) {displaystyle n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),} r − n cos ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),} n r − n − 1 cos ( n θ ) {displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),} n ( r − n − 1 hřích ( n θ ) {displaystyle n (~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),} r n + 2 hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),} ( κ − n − 1 ) r n + 1 hřích ( n θ ) {displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),} − ( κ + n + 1 ) r n + 1 cos ( n θ ) {displaystyle - (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),} r − n + 2 hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),} ( κ + n − 1 ) r − n + 1 hřích ( n θ ) {displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),} ( κ − n + 1 ) r − n + 1 cos ( n θ ) {displaystyle (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),} r n hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),} − n r n − 1 hřích ( n θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),} − n r n − 1 cos ( n θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),} r − n hřích ( n θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),} n r − n − 1 hřích ( n θ ) {displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),} − n r − n − 1 cos ( n θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),}Všimněte si, že a tuhý zdvih těla může být superponováno na Michellovo řešení formuláře u r = A cos θ + B hřích θ u θ = − A hřích θ + B cos θ + C r {displaystyle {egin {aligned} u_ {r} & = A ~ cos heta + B ~ sin heta u_ {heta} & = - A ~ sin heta + B ~ cos heta + C ~ r end {align}}}získat přípustné pole posunutí.Reference^ Michell, J. H. (1899-04-01). „O přímém stanovení napětí v pružném tělese s aplikací na teorii desek“ (PDF). Proc. London Math. Soc. 31 (1): 100–124. doi:10.1112 / plms / s1-31.1.100. Citováno 2008-06-25.^ J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2. vydání, Kluwer Academic Publishers. Viz takéLineární pružnostPlamenné řešeníJohn Henry Michell
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta + {1- (kappa +1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d52f8fbf58d30a9ced87e77083af68e7b73f75)
![- {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa +1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8660b2da72a1b66968da214f52e32d37d34151)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta - {1- (kappa -1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce23838da9a43c20d63e5b7cd0f409e4093909e7)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa -1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328058bddbd04de898ee7bd98b3a2585819f1b09)
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta - {1- (kappa +1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2e9838deb55221958680d51ee52d9c253dc91e)
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa +1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b1cef19ff52eed8609a3627e2f2fbad2d40653)
![- {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta + {1- (kappa -1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ac842a5c3308ac40af79da8a4cdf62e596b419)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa -1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbccd63a7977e2c989b9206fcb0d60913a714eb)
