Moreausova věta - Moreaus theorem - Wikipedia

v matematika, Moreauova věta je výsledkem v konvexní analýza. Ukazuje to dostatečně dobře vychovaný konvexní funkcionály na Hilbertovy prostory jsou diferencovatelné a derivace je dobře aproximována tzv Yosida aproximace, který je definován v podmínkách provozovatel resolventu.

Výrok věty

Nechat H být Hilbertovým prostorem a nechat φ : H → R ∪ {+ ∞} být správně, konvexní a nižší polokontinuální rozšířená funkční hodnota se skutečnou hodnotou na H. Nechat A stát ∂φ, subderivát z φ; pro α > 0 let J_α označit resolvent:

${ displaystyle J _ { alpha} = ( mathrm {id} + alpha A) ^ {- 1};}$

a nechte A_α označit Yosida aproximace na A:

${ displaystyle A _ { alpha} = { frac {1} { alpha}} ( mathrm {id} -J _ { alpha}).}$

Pro každého α > 0 a X ∈ H, nechť

${ displaystyle varphi _ { alpha} (x) = inf _ {y in H} { frac {1} {2 alpha}} | yx | ^ {2} + varphi (y) .}$

Pak

${ displaystyle varphi _ { alpha} (x) = { frac { alpha} {2}} | A _ { alpha} x | ^ {2} + varphi (J _ { alpha} (x ))}$

a φ_α je konvexní a Fréchet rozlišitelný s derivací dφ_α = A_α. Také pro každého X ∈ H (bodově), φ_α(X) konverguje nahoru k φ(X) tak jako α → 0.

Reference

• Showalter, Ralph E. (1997). Monotónní operátory v Banachově prostoru a nelineární parciální diferenciální rovnice. Matematické průzkumy a monografie 49. Providence, RI: American Mathematical Society. 162–163. ISBN  0-8218-0500-2. PAN1422252 (Návrh IV.1.8)