Serresův majetek FA - Serres property FA - Wikipedia

v matematika, Vlastnictví FA je majetkem skupiny nejprve definováno Jean-Pierre Serre.

Skupina G se říká, že má vlastnost FA, pokud každý akce z G na strom má globální pevný bod.

Serre ukazuje, že pokud má skupina vlastnost FA, nemůže se rozdělit jako sloučený produkt nebo Rozšíření HNN; opravdu, pokud G je obsažen ve sloučeném produktu, potom je obsažen v jednom z faktorů. Zejména a definitivně generováno skupina s vlastností FA má konečný abelianizace.

Vlastnost FA je ekvivalentní pro počitatelný G na tři vlastnosti: G není sloučeným produktem; G nemá Z jako kvocientová skupina; G je definitivně generováno. Pro obecné skupiny G třetí podmínku lze nahradit požadováním této podmínky G nesmí být spojením přísně rostoucí posloupnosti podskupiny.

Příklady skupin s vlastností FA zahrnují SL₃(Z) a obecněji G(Z) kde G je jednoduše připojený jednoduchý Skupina Chevalley hodnosti nejméně 2. Skupina SL₂(Z) je výjimkou, protože je izomorfní s amalgamovaným produktem cyklických skupin C₄ a C₆ podél C₂.

Žádný kvocientová skupina skupiny s vlastností FA má vlastnost FA. Pokud nějaká podskupina konečných index v G má vlastnost FA pak také G, ale konverzace obecně neplatí. Li N je normální podskupina z G a obojí N a G/N mít vlastnost FA, tak také má G.

Je to věta o Watatani Kazhdanův majetek (T) implikuje vlastnost FA, ale ne naopak. Ve skutečnosti má každá podskupina konečného indexu ve skupině T vlastnost FA.

Příklady

Následující skupiny mají vlastnost FA:

• Konečně generovaná torzní skupina;
• SL₃(Z);
• Schwarzova skupina ${ displaystyle left langle {a, b: a ^ {A} = b ^ {B} = (ab) ^ {C} = 1} pravý rangle}$ pro celá čísla A,B,C ≥ 2;
• SL₂(R) kde R je kruh celých čísel algebraické číslo pole což není Q nebo imaginární kvadratické pole.

Následující skupiny nemají vlastnost FA:

• SL₂(Z);
• SL₂(R_D) kde R_D je prstenec celých čísel imaginárního kvadratického pole diskriminačního ne −3 nebo −4.

Reference

• Serre, Jean-Pierre (1974). Msgstr "Opravy Amalgames et points". Sborník z druhé mezinárodní konference o teorii skupin. Přednášky z matematiky (ve francouzštině). 372. 633–640. PAN  0376882. Zbl  0308.20026.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Arbres, amalgames, SL₂. Astérisque (ve francouzštině). 46. Société Mathématique de France. Zbl  0369.20013. Anglický překlad: Serre, Jean-Pierre (2003). Stromy. Springer. ISBN  3-540-44237-5. Zbl  1013.20001.
• Watatani, Yasuo (1981). "Majetek T Kazhdanu implikuje majetek FA Serre". Matematika. Japon. 27: 97–103. PAN  0649023. Zbl  0489.20022.