Expander graf - Expander graph
v kombinatorika, an expandér graf je řídký graf to má silné připojení vlastnosti, kvantifikované pomocí vrchol, okraj nebo spektrální expanze. Konstrukce expandérů přinesly výzkum čisté a aplikované matematiky s několika aplikacemi pro teorie složitosti, design robustní počítačové sítě a teorie kódy opravující chyby.[1]
Definice
Rozšiřovací graf je intuitivně konečný, neorientovaný multigraf ve kterém každá podmnožina vrcholů, která není „příliš velká“, má „velkou“ hranici. Různé formalizace těchto pojmů vedou k různým pojmům expandérů: expandéry hran, expandéry vrcholů, a spektrální expandéry, jak je definováno níže.
Odpojený graf není expandér, protože hranice a připojená součást je prázdný. Každý připojený graf je expandér; různé připojené grafy však mají různé parametry rozšíření. The kompletní graf má nejlepší vlastnost rozšíření, ale má největší možný stupeň. Neformálně je graf dobrým expandérem, pokud má nízkou hodnotu stupeň a vysoké parametry expanze.
Rozšíření okraje
The rozšíření okraje (taky izoperimetrické číslo nebo Cheegerova konstanta ) h(G) grafu G na n vrcholy je definován jako
kde
V rovnici je minimum nad všemi neprázdnými množinami S maximálně n/ 2 vrcholy a ∂S je hraniční hranice z S, tj. sada hran s přesně jedním koncovým bodem S.[2]
Vrcholová expanze
The vrchol izoperimetrické číslo (taky expanze vrcholů nebo zvětšení) grafu G je definován jako
kde je vnější hranice z S, tj. množina vrcholů v s alespoň jedním sousedem v S.[3] Ve variantě této definice (tzv jedinečná expanze sousedů) je nahrazeno sadou vrcholů v PROTI s přesně jeden soused v S.[4]
The vrchol izoperimetrické číslo grafu G je definován jako
kde je vnitřní hranice z S, tj. množina vrcholů v S s alespoň jedním sousedem v .[3]
Spektrální expanze
Když G je d-pravidelný, a lineární algebraika definice rozšíření je možná na základě vlastní čísla z matice sousedství A = A(G) z G, kde je počet hran mezi vrcholy i a j.[5] Protože A je symetrický, spektrální věta to naznačuje A má n skutečná vlastní čísla . Je známo, že všechny tyto vlastní hodnoty jsou v [-d, d].
Protože G je pravidelné, rovnoměrné rozdělení s pro všechny i = 1, ..., n je stacionární distribuce z G. To znamená, že máme Au = du, a u je vlastní vektor A s vlastním číslem λ1 = d, kde d je stupeň vrcholů G. The spektrální mezera z G je definován jako d - λ2a měří spektrální expanzi grafu G.[6]
Je známo, že λn = −d kdyby a jen kdyby G je bipartitní. V mnoha kontextech, například v expanderové míchací lemma, vázaný na λ2 nestačí, ale skutečně je nutné omezit absolutní hodnotu Všechno vlastní čísla od d:
Jelikož se jedná o největší vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru kolmému na u, lze jej ekvivalentně definovat pomocí Rayleighův kvocient:
kde
je 2-norm vektoru .
Normalizované verze těchto definic jsou také široce používány a jsou pohodlnější při uvádění některých výsledků. Zde se uvažuje o matici , který je Markovova přechodová matice grafu G. Jeho vlastní čísla jsou mezi −1 a 1. Pro ne nutně pravidelné grafy lze spektrum grafu definovat podobně pomocí vlastních čísel Laplaciánská matice. U směrovaných grafů se bere v úvahu singulární hodnoty matice sousedství A, které se rovnají kořenům vlastních čísel symetrické matice ATA.
Vztahy mezi různými vlastnostmi expanze
Výše uvedené parametry expanze spolu souvisejí. Zejména pro všechny d-pravidelný graf G,
V důsledku toho jsou pro grafy s konstantním stupněm kvalitativně stejné rozšíření vrcholů a hran.
Cheegerovy nerovnosti
Když G je d-pravidelný, existuje vztah mezi izoperimetrickou konstantou h(G) a mezera d - λ2 ve spektru operátora sousedství G. Podle standardní teorie spektrálních grafů je triviální vlastní hodnota operátoru sousedství a d-pravidelný graf je λ1=d a první netriviální vlastní hodnota je λ2. Li G je připojeno, pak λ2 < d. Nerovnost kvůli Dodziukovi[7] a nezávisle Alon a Milmane[8] tvrdí, že[9]
Tato nerovnost úzce souvisí s Cheeger vázán pro Markovovy řetězy a lze jej považovat za diskrétní verzi Cheegerova nerovnost v Riemannova geometrie.
Podobná spojení mezi izoperimetrickými čísly vrcholů a spektrální mezerou byla také studována:[10]
Asymptoticky řečeno, veličiny , , a jsou všechny výše ohraničeny spektrální mezerou .
Stavby
Existují tři obecné strategie pro konstrukci rodin expandovacích grafů.[11] První strategie je algebraická a skupinově teoretická, druhá strategie je analytická a využívá aditivní kombinatorika a třetí strategie je kombinatorická a využívá cikcak a související produkty grafů. Noga Alon ukázaly, že určité grafy vytvořené z konečné geometrie jsou nejobtížnější příklady vysoce se rozšiřujících grafů.[12]
Margulis – Gabber – Galil
Algebraický stavby založené na Cayleyovy grafy jsou známé pro různé varianty expandovacích grafů. Následující konstrukce je způsobena Margulisem a byla analyzována Gabberem a Galilem.[13] Pro každé přirozené číslo n, vezmeme v úvahu graf Gn se sadou vrcholů , kde : Pro každý vrchol , jeho osm sousedních vrcholů je
Pak platí:
Teorém. Pro všechny n, graf Gn má druhé největší vlastní číslo .
Ramanujan grafy
Podle a věta Alon a Boppana, všechny dostatečně velké d-pravidelné grafy splňují , kde je druhé největší vlastní číslo v absolutní hodnotě.[14] Ramanujan grafy jsou d-pravidelné grafy, pro které je tato vazba těsná, uspokojivá .[15] Proto mají grafy Ramanujan asymptoticky nejmenší možnou hodnotu . To z nich dělá vynikající spektrální expandéry.
Lubotzky, Phillips a Sarnak (1988), Margulis (1988) a Morgenstern (1994) ukazují, jak lze grafy Ramanujan explicitně konstruovat.[16] Podle Friedmanovy věty (2003), náhodný d-pravidelné grafy na n vrcholy jsou téměř Ramanujan, to znamená, že uspokojují
pro každého s pravděpodobností tak jako n inklinuje k nekonečnu.[17]
Aplikace a užitečné vlastnosti
Původní motivací pro expandéry je budování ekonomicky robustních sítí (telefon nebo počítač): expandér s omezenou valencí je přesně asymptotický robustní graf s počtem okrajů rostoucích lineárně s velikostí (počtem vrcholů) pro všechny podmnožiny.
Expanderové grafy našly v aplikaci rozsáhlé aplikace počítačová věda, při navrhování algoritmy, chyba opravující kódy, extraktory, pseudonáhodné generátory, třídění sítí (Ajtai, Komlós & Szemerédi (1983) ) a robustní počítačové sítě. Byly také použity v důkazech mnoha důležitých výsledků v teorie výpočetní složitosti, jako SL = L (Reingold (2008) ) a Věta o PCP (Dinur (2007) ). v kryptografie, pro konstrukci se používají expandovací grafy hashovací funkce.
Expandovací míchací lemma
Lemma mixéru expandéru uvádí, že pro libovolné dvě podmnožiny vrcholů S, T ⊆ PROTI, počet hran mezi S a T je přibližně to, co byste očekávali v náhodném pořadí d-pravidelný graf. Čím menší je aproximace je. Náhodně d-pravidelný graf, stejně jako v Erdős – Rényi náhodný graf s pravděpodobností hrany d/n, očekáváme hrany mezi S a T.
Více formálně, pojďme E(S, T) označuje počet hran mezi S a T. Pokud tyto dvě množiny nejsou disjunktní, hrany v jejich průsečíku se počítají dvakrát, tj.
Potom lemma mixovacího expandéru říká, že platí následující nerovnost:
Expandování vzorkování chůze
The Černoff svázán uvádí, že při vzorkování mnoha nezávislých vzorků z náhodných proměnných v rozsahu [−1, 1] je s velkou pravděpodobností průměr našich vzorků blízký očekávání náhodné proměnné. Lema vzorkování chůze expandéru, kvůli Ajtai, Komlós & Szemerédi (1987) a Gillman (1998), uvádí, že to platí i při vzorkování z procházky na expandovacím grafu. To je zvláště užitečné v teorii derandomizace, protože vzorkování podle expandéru používá mnohem méně náhodných bitů než nezávislé vzorkování.
Expanderová vlastnost braingraphů
Za použití magnetická rezonance (MRI) data NIH - financované velké Projekt Human Connectome, ukázali to Szalkai a kol.[18][19] že graf, který popisuje anatomické mozkové vazby mezi až 1015 mozkovými oblastmi, je u žen výrazně lepší než u mužů.
Viz také
Poznámky
- ^ Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Definice 2.1 v Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ A b Bobkov, Houdré & Tetali (2000)
- ^ Alon & Capalbo (2002)
- ^ srov. Oddíl 2.3 v Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Tato definice spektrální mezery je z oddílu 2.3 v Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Dodziuk 1984.
- ^ Alon & Spencer 2011.
- ^ Věta 2,4 palce Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Viz věta 1 a str.156, l.1 v Bobkov, Houdré & Tetali (2000). Všimněte si, že λ2 odpovídá 2 (d - λ2) aktuálního článku (viz str.153, l.5)
- ^ viz např. Yehudayoff (2012)
- ^ Alon, Noga (1986). "Vlastní čísla, geometrické expandéry, třídění v kolech a Ramseyova teorie". Combinatorica. 6 (3): 207–219. CiteSeerX 10.1.1.300.5945. doi:10.1007 / BF02579382.
- ^ viz např. str.9 z Goldreich (2011)
- ^ Věta 2,7 z Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Definice 5.11 z Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Věta 5.12 z Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Věta 7.10 z Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Szalkai, Balazs; Varga, Balint; Grolmusz, Vince (2015). „Grafická teoretická analýza odhaluje: mozek žen je lépe propojen než mužský“. PLOS ONE. 10 (7): e0130045. doi:10.1371 / journal.pone.0130045. PMC 4488527. PMID 26132764.
- ^ Szalkai, Balázs; Varga, Bálint; Grolmusz, Vince (2017). „Graficky teoretické parametry kompenzované zkreslením velikosti mozku jsou také lepší ve strukturálních spojkách žen“. Zobrazování a chování mozku. 12 (3): 663–673. doi:10.1007 / s11682-017-9720-0. ISSN 1931-7565. PMID 28447246.
Reference
Učebnice a průzkumy
- Alon, N.; Spencer, Joel H. (2011). „9.2. Vlastní čísla a expandéry“. Pravděpodobnostní metoda (3. vyd.). John Wiley & Sons.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Chung, Fan R. K. (1997), Teorie spektrálního grafuCBMS Regionální konferenční seriál z matematiky 92, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0315-8
- Davidoff, Guiliana; Sarnak, Peter; Valette, Alain (2003), Základní teorie čísel, skupinová teorie a grafy Ramanujan, Studentské texty LMS, 55, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53143-6
- Hoory, Shlomo; Linial, Nathane; Wigderson, Avi (2006), „Rozšiřovací grafy a jejich aplikace“ (PDF), Bulletin (nová řada) Americké matematické společnosti, 43 (4): 439–561, doi:10.1090 / S0273-0979-06-01126-8
- Krebs, Mike; Shaheen, Anthony (2011), Rozšiřovací rodiny a Cayleyovy grafy: Průvodce pro začátečníky, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-976711-3
Články výzkumu
- Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E. (1983), "An O (n log n) sorting network", Sborník příspěvků z 15. výročního sympózia ACM o teorii práce s počítačem, s. 1–9, doi:10.1145/800061.808726, ISBN 978-0-89791-099-6
- Ajtai, M .; Komlós, J .; Szemerédi, E. (1987), „Deterministická simulace v LOGSPACE“, Proceedings of the 19. Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, str. 132–140, doi:10.1145/28395.28410, ISBN 978-0-89791-221-1
- Alon, N .; Capalbo, M. (2002), „Explicitní rozšiřovače jedinečných sousedů“, 43. výroční sympozium IEEE o základech informatiky, 2002. Sborník, str. 73, CiteSeerX 10.1.1.103.967, doi:10.1109 / SFCS.2002.1181884, ISBN 978-0-7695-1822-0
- Bobkov, S .; Houdré, C .; Tetali, P. (2000), „λ∞, izoperimetrie vrcholů a koncentrace ", Combinatorica, 20 (2): 153–172, doi:10.1007 / s004930070018.
- Dinur, Irit (2007), „Věta o PCP zesílením mezery“ (PDF), Deník ACM, 54 (3): 12 – es, CiteSeerX 10.1.1.103.2644, doi:10.1145/1236457.1236459.
- Dodziuk, Jozef (1984), „Diferenční rovnice, izoperimetrická nerovnost a přechodnost určitých náhodných procházek“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 284 (2): 787–794, doi:10.2307/1999107, JSTOR 1999107.
- Gillman, D. (1998), „Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs“, SIAM Journal on Computing, 27 (4): 1203–1220, doi:10.1137 / S0097539794268765
- Goldreich, Oded (2011), „Základní fakta o expandovacích grafech“ (PDF), Studie složitosti a kryptografie, Přednášky v informatice, 6650: 451–464, CiteSeerX 10.1.1.231.1388, doi:10.1007/978-3-642-22670-0_30, ISBN 978-3-642-22669-4CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Reingold, Omer (2008), „Neřízená konektivita v logovém prostoru“, Deník ACM, 55 (4): 1–24, doi:10.1145/1391289.1391291
- Yehudayoff, Amir (2012), „Dokazující expanzi ve třech krocích“, Novinky ACM SIGACT, 43 (3): 67–84, doi:10.1145/2421096.2421115CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Nedávné aplikace
- Hartnett, Kevin (2018), „Byla nalezena univerzální metoda třídění komplexních informací“, Časopis Quanta (zveřejněno 13. srpna 2018)