Maticová analýza - Matrix analysis

v matematika, zejména v lineární algebra a aplikace, maticová analýza je studium matice a jejich algebraické vlastnosti.^[1] Některá konkrétní témata z mnoha zahrnují; operace definované na maticích (např přidání matice, násobení matic a operace z nich odvozené), funkce matic (např maticová umocňování a maticový logaritmus, a dokonce sines a kosiny atd. matic) a vlastní čísla matic (vlastní složení matice, odchylka vlastního čísla teorie).^[2]

Maticové prostory

Sada všech m×n matice nad a pole F označené v tomto článku M_mn(F) tvoří a vektorový prostor. Příklady F zahrnout sadu racionální čísla ℚ, reálná čísla ℝ a sada komplexní čísla ℂ. Mezery M_mn(F) a M_pq(F) jsou různé mezery, pokud m a p jsou nerovné, a pokud n a q jsou nerovné; například M₃₂(F) ≠ M₂₃(F). Dva m×n matice A a B v M_mn(F) lze sečíst a vytvořit tak další matici v prostoru M_mn(F):

${ displaystyle mathbf {A}, mathbf {B} v M_ {mn} (F) ,, quad mathbf {A} + mathbf {B} v M_ {mn} (F)}$

a vynásobeno a α v F, získat další matici v M_mn(F):

${ displaystyle alpha in F ,, quad alpha mathbf {A} v M_ {mn} (F)}$

Kombinace těchto dvou vlastností, a lineární kombinace matic A a B jsou v M_mn(F) je další matice v M_mn(F):

${ displaystyle alpha mathbf {A} + beta mathbf {B} v M_ {mn} (F)}$

kde α a β jsou čísla v F.

Libovolná matice může být vyjádřena jako lineární kombinace základních matic, které hrají roli základní vektory pro maticový prostor. Například pro množinu matic 2 × 2 nad polem reálných čísel, M₂₂(ℝ), jedna legitimní základní sada matic je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix } 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

protože jakoukoli matici 2 × 2 lze vyjádřit jako:

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = a { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} + b { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} + c { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} + d { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

kde A, b, C,d jsou všechna reálná čísla. Tato myšlenka platí pro další pole a matice vyšších dimenzí.

Determinanty

The určující čtvercové matice je důležitá vlastnost. Determinant označuje, zda je matice invertibilní (tj inverzní matice existuje, když je determinant nenulový). Determinanty se používají pro hledání vlastních čísel matic (viz níže) a pro řešení a soustava lineárních rovnic (vidět Cramerovo pravidlo ).

Vlastní čísla a vlastní vektory matic

Definice

An n×n matice A má vlastní vektory X a vlastní čísla λ definováno vztahem:

${ displaystyle mathbf {A} mathbf {x} = lambda mathbf {x}}$

Řečeno slovy násobení matic z A následovaný vlastním vektorem X (zde n-dimenzionální sloupcová matice ), je totéž jako vynásobení vlastního vektoru vlastní hodnotou. Pro n×n matice, existují n vlastní čísla. Vlastní čísla jsou kořeny charakteristický polynom:

${ displaystyle p _ { mathbf {A}} ( lambda) = det ( mathbf {A} - lambda mathbf {I}) = 0}$

kde Já je n×n matice identity.

Kořeny polynomů, v této souvislosti mohou být vlastní čísla všechna odlišná nebo mohou být některá stejná (v takovém případě má vlastní hodnota multiplicita, kolikrát se vyskytne vlastní číslo). Po vyřešení vlastních čísel lze vlastní vektory odpovídající vlastním číslům najít pomocí definující rovnice.

Poruchy vlastních čísel

Maticová podobnost

Dva n×n matice A a B jsou podobné, pokud jsou ve vztahu a transformace podobnosti:

${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {P} mathbf {A} mathbf {P} ^ {- 1}}$

Matice P se nazývá a matice podobnosti, a je nutně invertibilní.

Jednotná podobnost

Kanonické formy

Řádkový sled

Jordan normální forma

Weyr kanonická forma

Frobeniova normální forma

Trojúhelníková faktorizace

LU rozklad

LU rozklad rozděluje matici na maticový produkt svršku trojúhelníková matice a matice dolního trojúhelníku.

Maticové normy

Protože matice tvoří vektorové prostory, lze formovat axiomy (analogicky k vektorům), které definují „velikost“ konkrétní matice. Normou matice je kladné reálné číslo.

Definice a axiomy

Pro všechny matice A a B v M_mn(F) a všechna čísla α v F, maticová norma, oddělená dvojitými svislými pruhy || ... ||, splňuje:^{[poznámka 1]}

• Nezáporné:

${ displaystyle | mathbf {A} | geq 0}$

s rovností pouze pro A = 0, nulová matice.

• Skalární násobení:

${ displaystyle | alpha mathbf {A} | = | alpha | | mathbf {A} |}$

• The trojúhelníková nerovnost:

${ displaystyle | mathbf {A} + mathbf {B} | leq | mathbf {A} | + | mathbf {B} |}$

Frobeniova norma

The Frobeniova norma je analogický s Tečkovaný produkt euklidovských vektorů; vynásobte maticové prvky postupně, sečtěte výsledky a poté použijte kladnou druhou odmocninu:

${ displaystyle | mathbf {A} | = { sqrt { mathbf {A}: mathbf {A}}} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} (A_ {ij}) ^ {2}}}}$

Je definován pro matice libovolné dimenze (tj. Bez omezení na čtvercové matice).

Pozitivní definitivní a semidefinitní matice

Funkce

Maticové prvky nejsou omezeny na konstantní čísla, mohou být matematické proměnné.

Funkce matic

Funkce matice převezmou matici a vrátí něco jiného (číslo, vektor, matici atd.).

Maticové funkce

Funkce oceněná maticí převezme něco (číslo, vektor, matici atd.) A vrátí matici.

Viz také

Další odvětví analýzy

• Matematická analýza
• Analýza tenzoru
• Maticový počet
• Numerická analýza

Další pojmy lineární algebry

• Tenzorový produkt
• Spektrum operátora
• Maticová geometrická řada

Druhy matice

• Ortogonální matice, unitární matice
• Symetrická matice, antisymetrická matice
• Stochastická matice

Maticové funkce

• Maticový polynom
• Exponenciální matice

Poznámky pod čarou

Reference

Poznámky

Další čtení

• C. Meyer (2000). Kniha maticové analýzy a aplikovaná lineární algebra a příručka k řešení. Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. 2. SIAM. ISBN  089-871-454-0.
• T. S. Shores (2007). Aplikovaná lineární algebra a maticová analýza. Pregraduální texty z matematiky. Springer. ISBN  038-733-195-6.
• Rajendra Bhatia (1997). Maticová analýza. Série maticové analýzy. 169. Springer. ISBN  038-794-846-5.
• Alan J. Laub (2012). Výpočetní maticová analýza. SIAM. ISBN  161-197-221-3.