Vivianisova křivka - Vivianis curve - Wikipedia

Vivianiho křivka: průnik koule s tečným válcem

Světle modrá část poloviční koule může být na druhou

v matematika, Vivianiho křivka, také známý jako Vivianiho okno, je ve tvaru osmičky prostor křivka pojmenoval podle italského matematika Vincenzo Viviani. Je to křižovatka a koule s válec to je tečna do koule a prochází středem koule (viz obrázek). Před Vivianim tuto křivku studoval Simon de La Loubère a Gilles de Roberval.^[1]^[2]

Projekce Vivianiho křivky na rovinu kolmou k přímce procházející bodem křížení a středem koule je lemniscate z Gerona.^[3]

V roce 1692 se Viviani pustil do úkolu: Vyříznout z poloviny koule (poloměr ${ displaystyle r}$ ) dvě okna, takže zbývající plocha (polokoule) může být na druhou, tj. a náměstí se stejnou oblastí lze postavit pouze pomocí kompasů a pravítka. Jeho řešení má oblast ${ displaystyle 4r ^ {2}}$ (viz. níže).

Rovnice

válec ve svislé poloze.

Aby byl důkaz pro kvadraturu jednoduchý,

the koule má rovnici

{ displaystyle ; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2} ;}

a

the válec je ve svislé poloze s rovnicí

{ displaystyle ; x ^ {2} + y ^ {2} -rx = 0 ;}

.

Válec má poloměr ${ displaystyle r / 2}$ a je tečna ke kouli v bodě ${ displaystyle (r, 0,0) .}$

Vlastnosti křivky

Půdorys, nárys a půdorys

Půdorys, nárys a půdorys

Odstranění ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , ${ displaystyle z}$ respektive výnosy:

The ortogonální projekce křižovatkové křivky na

{ displaystyle x}

-

{ displaystyle y}

- letadlo je kruh s rovnicí

{ displaystyle ; (x - { tfrac {r} {2}}) ^ {2} + y ^ {2} = ({ tfrac {r} {2}}) ^ {2} .}

{ displaystyle x}

-

{ displaystyle z}

- letadlo parabola s rovnicí

{ displaystyle ; x = - { tfrac {1} {r}} z ^ {2} + r ;.}

{ displaystyle y}

-

{ displaystyle z}

- letadlo algebraická křivka s rovnicí

{ displaystyle ; z ^ {4} + r ^ {2} (y ^ {2} -z ^ {2}) = 0 ;.}

Parametrické znázornění

Pro parametrické znázornění a určení oblasti

Reprezentace sféry

{ displaystyle { begin {array} {cll} x & = & r cdot cos theta cdot cos varphi y & = & r cdot cos theta cdot sin varphi z & = & r cdot sin theta qquad qquad - { tfrac { pi} {2}} leq theta leq { tfrac { pi} {2}} , - pi leq varphi leq pi ;, end {pole}}}

a nastavení ${ displaystyle ; varphi = theta, ;}$ získá křivku

${ displaystyle { begin {array} {cll} x & = & r cdot cos theta cdot cos theta y & = & r cdot cos theta cdot sin theta z & = & r cdot sin theta qquad qquad - { tfrac { pi} {2}} leq theta leq { tfrac { pi} {2}} . end {pole}}}$

Jeden snadno zkontroluje, zda sférická křivka splňuje rovnici válce. Hranice však umožňují pouze červenou část (viz diagram) Vivianiho křivky. Chybějící druhá polovina (zelená) má vlastnost ${ displaystyle ; color {zelená} varphi = - theta ;.}$

Pomocí tohoto parametrického vyjádření lze snadno prokázat tvrzení: Plocha poloviny koule (obsahující Vivianiho křivku) minus plocha dvou oken je ${ displaystyle 4r ^ {2}}$ :

Racionální Bézierova reprezentace

Čtvrtinu Vivianiho křivky, která leží v pozitivním kvadrantu 3D prostoru, nelze přesně reprezentovat pravidelnou Bézierovou křivkou jakéhokoli stupně.

Může však být přesně reprezentován 3D racionálním Bézierovým segmentem stupně 4 a existuje nekonečná rodina racionálních Bézierových kontrolních bodů generujících tento segment.

Jedno možné řešení je dáno následujícími pěti kontrolními body:

{ displaystyle { boldsymbol {p0}} = { begin {bmatrix} 0 0 1 1 end {bmatrix}} { boldsymbol {p1}} = { begin {bmatrix} 0 { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} { frac {1} { sqrt {2}}} { frac {1} { sqrt {2}}} konec {bmatrix}} { boldsymbol {p2}} = { begin {bmatrix} { frac {1} {3}} { frac {1} {2}} { frac {1} { 2}} { frac {2} {3}} end {bmatrix}} { boldsymbol {p3}} = { begin {bmatrix} { frac {1} { sqrt {2}}} { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} { frac {1} { sqrt {2 }}} end {bmatrix}} { boldsymbol {p4}} = { begin {bmatrix} 1 0 0 1 end {bmatrix}}}

Odpovídající racionální parametrizace je:

{ displaystyle left ({ begin {array} {c} { frac {2 mu ^ {2} left ( mu ^ {2} -2 left (2 + { sqrt {2}} ) right) mu +4 { sqrt {2}} + 6 right)} { left (2 ( mu -1) mu + { sqrt {2}} + 2 right) ^ {2}} } { frac {2 ( mu -1) mu left (( mu -1) mu -3 { sqrt {2}} - 4 right)} { left (2 ( mu -1) mu + { sqrt {2}} + 2 vpravo) ^ {2}}} - { frac {( mu -1) vlevo ({ sqrt {2}} mu + { sqrt {2}} + 2 right)} {2 ( mu -1) mu + { sqrt {2}} + 2}} end {array}} right) ; mu in left [0,1 right]}

Kvadratura

Plochu v pravé horní části okna Viviani (viz obrázek) lze vypočítat pomocí integrace:

{ displaystyle iint _ {S_ {sphere}} r ^ {2} cos theta , mathrm {d} theta mathrm {d} varphi = r ^ {2} int _ {0} ^ { pi / 2} int _ {0} ^ { theta} cos theta , mathrm {d} varphi mathrm {d} theta = r ^ {2} ({ frac { pi } {2}} - 1) .}

Proto je celková plocha sférického povrchu zahrnutá Vivianiho křivkou ${ displaystyle 2 pi r ^ {2} -4r ^ {2}}$ a

oblast poloviny koule ( ${ displaystyle 2 pi r ^ {2}}$ ) minus oblast okna Viviani je ${ displaystyle ; 4r ^ {2} ;}$ , plocha čtverce s průměrem koule jako délkou hrany.

Vztah k jiným křivkám

Nadmořská výška ve tvaru 8 (viz výše) je a Lemniscate z Gerona.
Vivianiho křivka je zvláštní Clelia křivka. U křivky Clelia je vztah mezi úhly ${ displaystyle ; varphi = c ; theta ;.}$

Vivianiho křivka (červená) jako průsečík koule a kuželu (růžová)

Odečtením 2 × rovnice válce od rovnice koule a použitím dokončení náměstí vede k rovnici

{ displaystyle (x-r) ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} ;,}

který popisuje a pravý kruhový kužel s vrcholem v ${ displaystyle ; (r, 0,0) ;}$ , dvojitý bod Vivianiho křivky. Proto

Vivianiho křivku lze považovat nejen za křižovatku koule a válce, ale také za

a) průnik koule a kužele a jako

b) průsečík válce a kuželu.

Viz také

Průnik koule-válec

Reference

^ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, str. 97.
^ K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, str. 250.
^ Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), „Mathematical and Historical Investigation on Domes and Vaults“, Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Estetika a architektonická kompozice: sborník z Drážďanského mezinárodního sympozia architektury 2004„Mammendorf: Pro Literatur, s. 73–80.

externí odkazy

Berger, Marcel: Geometrie. II. Z francouzštiny přeložili M. Cole a S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 1987.
Berger, Marcel: Geometrie. I. Z francouzštiny přeložili M. Cole a S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 1987. xiv + 428 stran ISBN 3-540-11658-3
"Vivianiho křivka", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Vivianiho křivka“. MathWorld.

[1] Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, str. 97.

[2] K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, str. 250.

[3] Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), „Mathematical and Historical Investigation on Domes and Vaults“, Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Estetika a architektonická kompozice: sborník z Drážďanského mezinárodního sympozia architektury 2004„Mammendorf: Pro Literatur, s. 73–80.

[1]

[2]

[3]