Afinní geometrie křivek - Affine geometry of curves

V matematický pole diferenciální geometrie, afinní geometrie křivek je studium křivky v afinní prostor a konkrétně vlastnosti takových křivek, které jsou neměnný pod speciální afinní skupina ${displaystyle {mbox {SL}} (n, mathbb {R}) ltimes mathbb {R} ^ {n}.}$

V klasice Euklidovská geometrie křivek, základním nástrojem je Frenet – Serretův rám. V afinní geometrii již není rámec Frenet – Serret dobře definován, ale je možné definovat další kanonický pohyblivý rám podél křivky, která hraje podobnou rozhodující roli. Tato teorie byla vyvinuta na počátku 20. století, převážně z úsilí Wilhelm Blaschke a Jean Favard.

Afinní rám

Nechat X(t) být křivkou v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Předpokládejme, že jako v euklidovském případě, první n deriváty X(t) jsou lineárně nezávislé aby zejména X(t) neleží v žádném afinním podprostoru nižší dimenze ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ . Poté parametr křivky t lze normalizovat nastavením určující

{displaystyle det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} = odpoledne 1.}

O takové křivce se říká, že je parametrizována afinní délka. Pro takovou parametrizaci

{displaystyle tmapsto [mathbf {x} (t), {dot {mathbf {x}}} (t), dots, mathbf {x} ^ {(n)} (t)]}

určuje mapování do speciální afinní skupiny, známé jako speciální afinní rámec pro křivku. To znamená v každém bodě množství ${displaystyle mathbf {x}, {dot {mathbf {x}}}, tečky, mathbf {x} ^ {(n)}}$ definovat speciální afinní rám pro afinní prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , skládající se z bodu X prostoru a speciální lineární základ ${displaystyle {dot {mathbf {x}}}, tečky, mathbf {x} ^ {(n)}}$ připojeno k bodu v X. The zarazit z Maurer – Cartanova forma podél této mapy poskytuje kompletní sadu afinních strukturálních invariantů křivky. V rovině to dává jediný skalární invariant, afinní zakřivení křivky.

Diskrétní invariant

Normalizace parametru křivky s byl vybrán výše, takže

{displaystyle det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} = odpoledne 1.}

Li n≡0 (mod 4) nebo n≡3 (mod 4), pak znaménkem tohoto determinantu je diskrétní invariant křivky. Křivka se nazývá dextrorse (pravé vinutí, často Weinwendig v němčině), pokud je to +1, a sinistrorse (levé vinutí, často hopfenwendig v němčině), pokud je to -1.

Ve třech rozměrech, pro praváky spirála je dextrorse a spirála pro leváky je sinistrorse.

Zakřivení

Předpokládejme, že křivka X v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je parametrizována afinní arclength. Pak afinní zakřivení, k₁, …, k_n−1 z X jsou definovány

{displaystyle mathbf {x} ^ {(n + 1)} = k_ {1} {dot {mathbf {x}}} + cdots + k_ {n-1} mathbf {x} ^ {(n-1)}. }

To, že je takový výraz možný, vyplývá z výpočtu derivace determinantu

{displaystyle 0 = det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix} } {dot {}}, = det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n + 1 )} konec {bmatrix}}}

aby X⁽ⁿ⁺¹⁾ je lineární kombinace X′, …, X⁽ⁿ⁻¹⁾.

Zvažte matice

{displaystyle A = {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} }

jejichž sloupce jsou první n deriváty X (stále parametrizováno speciální afinní délkou). Pak,

{displaystyle {dot {A}} = {egin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & cdots & cdots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & k & & cdots & k_ {n-1} & 0end {bmatrix}} A = CA.}

Konkrétně matice C je zarazit formy Maurer – Cartan speciální lineární skupiny podél rámce daného první n deriváty X.

Viz také

Reference

Guggenheimer, Heinrich (1977). Diferenciální geometrie. Doveru. ISBN 0-486-63433-7.
Spivak, Michael (1999). Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 2). Publikovat nebo zahynout. ISBN 0-914098-71-3.