Tangens rozvinutelný - Tangent developable

Tečna vyvinutá spirály

V matematický studium diferenciální geometrie povrchů, a tečna rozvinutelná je zvláštní druh rozvinutelný povrch získané z a křivka v Euklidovský prostor jak povrch zametl tečny na křivku. Takový povrch je také obálka z tečná roviny na křivku.

Parametrizace

Nechat ${displaystyle gamma (t)}$ být parametrizací křivky hladkého prostoru. To znamená ${displaystyle gamma}$ je dvakrát rozlišitelná funkce s nikde nezmizející derivací, která mapuje jeho argument ${displaystyle t}$ (A reálné číslo ) do bodu ve vesmíru; křivka je obrazem ${displaystyle gamma}$ . Potom dvourozměrný povrch, jehož tečnu lze vyvinout ${displaystyle gamma}$ , lze parametrizovat mapou

{displaystyle (s, t) mapsto gamma (t) + sgamma {, '} (t).}

^[1]

Původní křivka tvoří hranici tečny rozvinutelné a nazývá se její přímka nebo hrana regrese. Tato křivka se získá tak, že se povrch nejprve vyvine do roviny a poté se zohlední obraz v rovině generátoři rozhodnutí na povrchu. Obálkou této rodiny čar je rovinná křivka, jejíž inverzní obraz ve vývoji je hranou regrese. Intuitivně se jedná o křivku, podél které je třeba povrch během procesu vývoje do roviny složit.

Vlastnosti

Tečna vyvinutá křivky s nulovým kroucením.

Tečna rozvinutelná je a rozvinutelný povrch; to znamená, že je to povrch s nulou Gaussovo zakřivení. Je to jeden ze tří základních typů rozvinutelného povrchu; další dva jsou zobecněné kužely (povrch vysledovaný jednorozměrnou rodinou čar přes pevný bod) a válce (povrchy vysledované jednorozměrnou rodinou rovnoběžky ). (The letadlo je někdy uveden jako čtvrtý typ, nebo jej lze považovat za zvláštní případ některého z těchto dvou typů.) Každý rozvinutelný povrch v trojrozměrném prostoru může být vytvořen slepením kousků těchto tří typů; z toho vyplývá, že každý rozvinutelný povrch je a ovládaný povrch, spojení jednorozměrné rodiny linek.^[2] Ne každý ovládaný povrch je však rozvinutelný; the vrtulník poskytuje protiklad.

Tečna vyvinutá křivky obsahující nulový bod kroucení bude obsahovat křižovatku.

Dějiny

Tečné vývojové objekty byly nejprve studovány Leonhard Euler v roce 1772.^[3] Do té doby byly jedinými známými vyvíjitelnými povrchy zobecněné kužely a válce. Euler ukázal, že tečna vývojové plochy jsou vyvíjitelné a že každá vývojová plocha je jednoho z těchto typů.^[2]

Poznámky

^ Pressley, Andrew (2010), Elementární diferenciální geometrie, Springer, str. 129, ISBN 1-84882-890-X.
^ ^A ^b Lawrence, Snežana (2011), „Vývojové povrchy: jejich historie a aplikace“, Síťový deník Nexus, 13 (3): 701–714, doi:10.1007 / s00004-011-0087-z.
^ Euler, L. (1772), „De solidis quorum superficiem in planum explicare licet“, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (v latině), 16: 3–34.

Reference

Struik, Dirk Jan (1961), Přednášky o klasické diferenciální geometrii, Addison-Wesley.
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Rozvinutelný povrch", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], „Edge of regression“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Tangens Developable“. MathWorld.

[1] Pressley, Andrew (2010), Elementární diferenciální geometrie, Springer, str. 129, ISBN 1-84882-890-X.

[lawrence-2] A ^b Lawrence, Snežana (2011), „Vývojové povrchy: jejich historie a aplikace“, Síťový deník Nexus, 13 (3): 701–714, doi:10.1007 / s00004-011-0087-z.

[3] Euler, L. (1772), „De solidis quorum superficiem in planum explicare licet“, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (v latině), 16: 3–34.

[1]

[2]

[3]