Fredholmsova věta - Fredholms theorem - Wikipedia

v matematika, Fredholmovy věty jsou souborem oslavovaných výsledků Ivar Fredholm v Fredholmova teorie z integrální rovnice. Existuje několik úzce souvisejících teorémů, které lze vyjádřit pomocí integrálních rovnic lineární algebra, nebo ve smyslu Operátor Fredholm na Banachovy prostory.

The Fredholmova alternativa je jednou z Fredholmových vět.

Lineární algebra

Fredholmova věta v lineární algebře je následující: if M je matice, pak ortogonální doplněk z řádkový prostor z M je prázdný prostor z M:

${ displaystyle ( operatorname {řádek} M) ^ { bot} = ker M.}$

Podobně ortogonální doplněk prostoru sloupců M je prázdný prostor adjunktu:

${ displaystyle ( operatorname {col} M) ^ { bot} = ker M ^ {*}.}$

Integrální rovnice

Fredholmova věta pro integrální rovnice je vyjádřena následovně. Nechat ${ displaystyle K (x, y)}$ být integrální jádro, a zvážit homogenní rovnice

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} K (x, y) phi (y) , dy = lambda phi (x)}$

a jeho komplexní adjoint

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} psi (x) { overline {K (x, y)}} , dx = { overline { lambda}} psi (y).}$

Tady, ${ displaystyle { overline { lambda}}}$ označuje komplexní konjugát z komplexní číslo ${ displaystyle lambda}$a podobně pro ${ displaystyle { overline {K (x, y)}}}$. Potom je Fredholmova věta pro jakoukoli pevnou hodnotu ${ displaystyle lambda}$, tyto rovnice mají buď triviální řešení ${ displaystyle psi (x) = phi (x) = 0}$ nebo mít stejný počet lineárně nezávislé řešení ${ displaystyle phi _ {1} (x), cdots, phi _ {n} (x)}$, ${ displaystyle psi _ {1} (y), cdots, psi _ {n} (y)}$.

Postačující podmínka pro tuto větu je pro ${ displaystyle K (x, y)}$ být čtvercový integrovatelný na obdélníku ${ displaystyle [a, b] krát [a, b]}$ (kde A a / nebo b může být minus nebo plus nekonečno).

Zde je integrál vyjádřen jako jednorozměrný integrál na řádku reálného čísla. v Fredholmova teorie, tento výsledek zobecňuje na integrální operátory na vícerozměrných prostorech, včetně například Riemannovy rozdělovače.

Existence řešení

Jedna z Fredholmových vět, úzce spjatá s Fredholmova alternativa, se týká existence řešení nehomogenního Fredholmova rovnice

${ displaystyle lambda phi (x) - int _ {a} ^ {b} K (x, y) phi (y) , dy = f (x).}$

Řešení této rovnice existují tehdy a jen tehdy, pokud je funkce ${ displaystyle f (x)}$ je ortogonální k úplné sadě řešení ${ displaystyle { psi _ {n} (x) }}$ odpovídající homogenní adjointové rovnice:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { overline { psi _ {n} (x)}} f (x) , dx = 0}$

kde ${ displaystyle { overline { psi _ {n} (x)}}}$ je komplexní konjugát ${ displaystyle psi _ {n} (x)}$ a první je jedním z úplné sady řešení

${ displaystyle lambda { overline { psi (y)}} - int _ {a} ^ {b} { overline { psi (x)}} K (x, y) , dx = 0. }$

Dostatečná podmínka pro tuto větu je pro ${ displaystyle K (x, y)}$ být čtvercový integrovatelný na obdélníku ${ displaystyle [a, b] krát [a, b]}$.

Reference

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903), str. 365–390.
• Weisstein, Eric W. „Fredholmova věta“. MathWorld.
• B.V. Khvedelidze (2001) [1994], „Fredholmovy věty“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS