Fredholmova alternativa - Fredholm alternative - Wikipedia

v matematika, Fredholmova alternativa, pojmenoval podle Ivar Fredholm, je jedním z Fredholmovy věty a je výsledkem v Fredholmova teorie. To může být vyjádřeno několika způsoby, jako věta o lineární algebra, věta o integrální rovnice, nebo jako věta o Provozovatelé Fredholm. Část výsledku uvádí, že nenulové komplexní číslo v spektrum a kompaktní operátor je vlastní číslo.

Lineární algebra

Li PROTI je n-dimenzionální vektorový prostor a ${ displaystyle T: V až V}$ je lineární transformace, pak přesně jeden z následujících pozic:

1. Pro každý vektor proti v PROTI existuje vektor u v PROTI aby ${ displaystyle T (u) = v}$. Jinými slovy: T je surjective (a tedy také bijective, protože PROTI je konečně-dimenzionální).
2. ${ displaystyle dim ( ker (T))> 0.}$

Elementárnější formulace, pokud jde o matice, je následující. Vzhledem k m×n matice A a a m× 1 sloupcový vektor b, musí platit přesně jedna z následujících možností:

1. Buď: A X = b má řešení X
2. Nebo: A^T y = 0 má řešení y s y^Tb ≠ 0.

Jinými slovy, A X = b má řešení ${ displaystyle ( mathbf {b} v operatorname {rng} (A))}$ jen a jen pro někoho y Svatý. A^T y = 0, y^Tb = 0 ${ displaystyle ( mathbf {b} in ker (A ^ {T}) ^ { bot})}$.

Integrální rovnice

Nechat ${ displaystyle K (x, y)}$ být integrální jádro, a zvážit homogenní rovnice, Fredholmova integrální rovnice,

${ displaystyle lambda varphi (x) - int _ {a} ^ {b} K (x, y) varphi (y) , dy = 0}$

a nehomogenní rovnice

${ displaystyle lambda varphi (x) - int _ {a} ^ {b} K (x, y) varphi (y) , dy = f (x).}$

Fredholmská alternativa je tvrzení, že pro každou nenulovou fixaci komplexní číslo ${ displaystyle lambda v mathbb {C}}$, buď má první rovnice netriviální řešení, nebo druhá rovnice má řešení pro všechny ${ displaystyle f (x)}$.

Dostatečná podmínka pro to, aby toto tvrzení bylo pravdivé, je pro ${ displaystyle K (x, y)}$ být čtvercový integrovatelný na obdélníku ${ displaystyle [a, b] krát [a, b]}$ (kde A a / nebo b může být minus nebo plus nekonečno). Integrovaný operátor definovaný takovým a K. se nazývá a Hilbert – Schmidtův integrální operátor.

Funkční analýza

Výsledky na Operátor Fredholm zobecnit tyto výsledky na vektorové prostory nekonečných dimenzí, Banachovy prostory.

Integrální rovnici lze přeformulovat z hlediska zápisu operátoru následujícím způsobem. Napište (trochu neformálně)

${ displaystyle T = lambda -K}$

znamenat

${ displaystyle T (x, y) = lambda ; delta (x-y) -K (x, y)}$

s ${ displaystyle delta (x-y)}$ the Diracova delta funkce, považováno za a rozdělení nebo zobecněná funkce, ve dvou proměnných. Pak konvoluce, T indukuje a lineární operátor působící na Banachově prostoru PROTI funkcí ${ displaystyle varphi (x)}$, kterému také říkáme T, aby

${ displaystyle T: V až V}$

darováno

${ displaystyle varphi mapsto psi}$

s ${ displaystyle psi}$ dána

${ displaystyle psi (x) = int _ {a} ^ {b} T (x, y) varphi (y) , dy = lambda ; varphi (x) - int _ {a} ^ {b} K (x, y) varphi (y) , dy.}$

V tomto jazyce je Fredholmova alternativa pro integrální rovnice považována za analogickou s Fredholmovou alternativou pro konečně-dimenzionální lineární algebru.

Operátor K. dané konvolucí s L² jádro, jak je uvedeno výše, je známé jako Hilbert – Schmidtův integrální operátor.Takové operátoři jsou vždy kompaktní. Obecněji je alternativa Fredholm platná, když K. je jakýkoli kompaktní operátor. Alternativa Fredholm může být přepracována v následující podobě: nenulová ${ displaystyle lambda}$ buď je vlastní číslo z K., nebo leží v doméně rozpouštědlo

${ displaystyle R ( lambda; K) = (K- lambda operatorname {Id}) ^ {- 1}.}$

Eliptické parciální diferenciální rovnice

Alternativu Fredholm lze použít k řešení lineárního řešení eliptické okrajové problémy. Základní výsledek je: pokud rovnice a příslušné Banachovy prostory byly nastaveny správně, pak buď

(1) Homogenní rovnice má netriviální řešení, nebo

(2) Nehomogenní rovnici lze vyřešit jedinečně pro každou volbu dat.

Argument je následující. Typický snadno pochopitelný eliptický operátor L by byl Laplacian plus některé podmínky nižšího řádu. V kombinaci s vhodnými okrajovými podmínkami a vyjádřeno na vhodném Banachově prostoru X (který kóduje jak okrajové podmínky, tak požadovanou pravidelnost řešení), L se stane neomezeným operátorem z X a pokusí se to vyřešit

${ displaystyle Lu = f, qquad u in operatorname {dom} (L) subseteq X,}$

kde F ∈ X je nějaká funkce sloužící jako data, pro kterou chceme řešení. Fredholmova alternativa spolu s teorií eliptických rovnic nám umožní uspořádat řešení této rovnice.

Konkrétním příkladem by byla eliptika problém mezní hodnoty jako

${ displaystyle (*) qquad Lu: = - Delta u + h (x) u = f qquad { text {in}} Omega,}$

doplněno okrajovou podmínkou

${ displaystyle (**) qquad u = 0 qquad { text {on}} částečný Omega,}$

kde Ω ⊆ Rⁿ je ohraničená otevřená množina s hladkou hranicí a h(X) je funkce s pevným koeficientem (potenciál, v případě Schrödingerova operátoru). Funkce F ∈ X je proměnná data, pro kterou chceme rovnici vyřešit. Tady by člověk vzal X být prostorem L²(Ω) ze všech čtvercově integrovatelné funkce na Ω a dom (L) je pak Sobolevův prostor Ž ^2,2(Ω) ∩ Ž^1,2
₀(Ω), což odpovídá množině všech funkcí integrovatelných do čtverce na Ω, jehož slabý první a druhý derivát existují a jsou čtvercově integrovatelné a které splňují nulovou okrajovou podmínku na ∂Ω.

Li X byl vybrán správně (jako v tomto příkladu), pak pro μ₀ >> 0 operátor L + μ₀ je pozitivní a poté zaměstnávat eliptické odhady, to se dá dokázat L + μ₀ : dom (L) → X je bijekce a její inverzní je kompaktní, všude definovaný operátor K. z X na X, s obrázkem rovným dom (L). Opravíme jeden takový μ₀, ale jeho hodnota není důležitá, protože je pouze nástrojem.

Poté můžeme transformovat alternativu Fredholm, uvedenou výše u kompaktních operátorů, na prohlášení o řešitelnosti problému mezní hodnoty (*) - (**). Fredholmská alternativa, jak je uvedeno výše, tvrdí:

• Pro každého λ ∈ R, buď λ je vlastní číslo z K., nebo operátor K. − λ je bijective od X pro sebe.

Prozkoumejme dvě alternativy, které hrají problém okrajové hodnoty. Předpokládat λ ≠ 0. Pak buď

(A) λ je vlastní číslo z K. ⇔ existuje řešení h ∈ dom (L) z (L + μ₀) h = λ⁻¹h ⇔–μ₀+λ⁻¹ je vlastní číslo z L.

(B) Provozovatel K. − λ : X → X je bijekce ⇔ (K. − λ) (L + μ₀) = Id -λ (L + μ₀): dom (L) → X je bijekce ⇔ L + μ₀ − λ⁻¹ : dom (L) → X je bijekce.

Výměna -μ₀+λ⁻¹ podle λa řešení případu λ = −μ₀ samostatně to přináší následující alternativu Fredholm pro problém s eliptickou hraniční hodnotou:

• Pro každého λ ∈ R, buď homogenní rovnice (L − λ) u = 0 má netriviální řešení nebo nehomogenní rovnici (L − λ) u = F má jedinečné řešení u ∈ dom (L) pro každý daný údaj F ∈ X.

Druhá funkce u řeší výše uvedený problém mezní hodnoty (*) - (**). Toto je dichotomie, která byla nárokována v (1) - (2) výše. Podle spektrální věta pro kompaktní operátory se také získá sada λ u nichž řešitelnost selhává, je diskrétní podmnožina R (vlastní čísla L). S vlastními vlastními hodnotami spojené vlastní čísla lze uvažovat jako o „rezonancích“, které blokují řešitelnost rovnice.

Viz také

• Spektrální teorie kompaktních operátorů

Reference

• Fredholm, E. I. (1903). „Sur une classe d'equations fonctionnelles“. Acta Math. 27: 365–390. doi:10.1007 / bf02421317.
• A. G. Ramm, “Jednoduchý důkaz alternativy Fredholm a charakteristika operátorů Fredholm ", Americký matematický měsíčník, 108 (2001), str. 855.
• Khvedelidze, B.V. (2001) [1994], „Fredholmovy věty pro integrální rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Weisstein, Eric W. „Fredholmská alternativa“. MathWorld.