Koeficient konečného rozdílu - Finite difference coefficient

V matematice lze aproximovat derivaci na libovolné pořadí přesnosti pomocí konečný rozdíl. Konečný rozdíl může být centrální, vpřed nebo dozadu.

Střední konečný rozdíl

Tato tabulka obsahuje koeficienty středových rozdílů, pro několik řádů přesnosti as rovnoměrným roztečem mřížek:^[1]

Například třetí derivace s přesností druhého řádu je

${ displaystyle f '' '(x_ {0}) přibližně { frac {- { frac {1} {2}} f (x _ {- 2}) + f (x _ {- 1}) - f ( x _ {+ 1}) + { frac {1} {2}} f (x _ {+ 2})} {h_ {x} ^ {3}}} + O left (h_ {x} ^ {2} že jo),}$

kde ${ displaystyle h_ {x}}$ představuje jednotný rozestup mřížky mezi každým intervalem konečných rozdílů a ${ displaystyle x_ {n} = x_ {0} + nh_ {x}}$.

Pro ${ displaystyle m}$-th derivát s přesností ${ displaystyle n}$, existují ${ displaystyle 2p + 1 = 2 levý lfloor { frac {m + 1} {2}} pravý rfloor -1 + n}$ centrální koeficienty ${ displaystyle a _ {- p}, a _ {- p + 1}, ..., a_ {p-1}, a_ {p}}$. Ty jsou dány řešením systému lineárních rovnic

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & ... & 1 & 1 - p & -p + 1 & ... & p-1 & p (- p) ^ {2} & (- p + 1) ^ {2} & ... & (p-1) ^ {2} & p ^ {2} ... & ... & ... & ... & ... ... & ... &. .. & ... & ... ... & ... & ... & ... & ... (- p) ^ {2p} & (- p + 1) ^ { 2p} & ... & (p-1) ^ {2p} & p ^ {2p} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a _ {- p} a _ {- p + 1} a_ {-p + 2} ... ... ... a_ {p} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 0 0 . .. m! ... 0 end {pmatrix}},}$

kde jediná nenulová hodnota na pravé straně je v ${ displaystyle (m + 1)}$-házet.

K dispozici je implementace open source pro výpočet konečných rozdílových koeficientů libovolných derivátů a pořadí přesnosti v jedné dimenzi.^[2]

Dopředu konečný rozdíl

Tato tabulka obsahuje koeficienty dopředných rozdílů, pro několik řádů přesnosti as rovnoměrným roztečem mřížek:^[1]

Například první derivace s přesností třetího řádu a druhá derivace s přesností druhého řádu jsou

${ displaystyle displaystyle f '(x_ {0}) přibližně displaystyle { frac {- { frac {11} {6}} f (x_ {0}) + 3f (x _ {+ 1}) - { frac {3} {2}} f (x _ {+ 2}) + { frac {1} {3}} f (x _ {+ 3})} {h_ {x}}} + O vlevo (h_ {x} ^ {3} vpravo),}$

${ displaystyle displaystyle f '' (x_ {0}) přibližně displaystyle { frac {2f (x_ {0}) - 5f (x _ {+ 1}) + 4f (x _ {+ 2}) - f ( x _ {+ 3})} {h_ {x} ^ {2}}} + O left (h_ {x} ^ {2} right),}$

zatímco odpovídající zpětné aproximace jsou dány vztahem

${ displaystyle displaystyle f '(x_ {0}) přibližně displaystyle { frac {{ frac {11} {6}} f (x_ {0}) - 3f (x _ {- 1}) + { frac {3} {2}} f (x _ {- 2}) - { frac {1} {3}} f (x _ {- 3})} {h_ {x}}} + O left (h_ { x} ^ {3} vpravo),}$

${ displaystyle displaystyle f '' (x_ {0}) přibližně displaystyle { frac {2f (x_ {0}) - 5f (x _ {- 1}) + 4f (x _ {- 2}) - f ( x _ {- 3})} {h_ {x} ^ {2}}} + O left (h_ {x} ^ {2} right),}$

Zpětně konečný rozdíl

Obecně platí, že pro získání koeficientů zpětných aproximací dejte všem lichým derivátům uvedeným v tabulce opačné znaménko, zatímco u sudých derivací zůstanou znaménka stejná. Následující tabulka to ilustruje:^[3]

Libovolné body šablony

Pro daný libovolný vzorník bodů ${ displaystyle displaystyle s}$ délky ${ displaystyle displaystyle N}$ v pořadí derivátů ${ displaystyle displaystyle d$, konečné diferenční koeficienty lze získat řešením lineárních rovnic ^[4]

${ displaystyle { begin {pmatrix} s_ {1} ^ {0} & cdots & s_ {N} ^ {0} vdots & ddots & vdots s_ {1} ^ {N-1} & cdots & s_ {N} ^ {N-1} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a_ {1} vdots a_ {N} end {pmatrix}} = d! { začít {pmatrix} delta _ {0, d} vdots delta _ {i, d} vdots delta _ {N-1, d} end {pmatrix}},}$

Kde ${ displaystyle delta _ {i, j}}$ jsou Kroneckerova delta.

Příklad pro ${ displaystyle s = [- 3, -2, -1,0,1]}$, pořadí diferenciace ${ displaystyle d = 4}$:

${ displaystyle { begin {pmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} a_ {4} a_ {5} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 - 3 & -2 & -1 & 0 & 1 9 & 4 & 1 & 0 & 1 - 27 & -8 & -1 & 0 & 1 81 & 16 & 1 & 0 & 1 end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} 0 0 0 0 24 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 - 4 6 - 4 1 end {pmatrix}}.}$

Pořadí přesnosti aproximace má obvyklou formu ${ displaystyle O left (h ^ {(N-d)} right)}$.

Viz také

• Metoda konečných rozdílů
• Konečný rozdíl
• Pětibodová šablona
• Numerická diferenciace

Reference