Pětibodová šablona - Five-point stencil

Ilustrace pětibodové šablony v jednom a dvou rozměrech (nahoře a dole).

v numerická analýza, vzhledem k tomu, čtvercová mřížka v jednom nebo dvou rozměrech, pětibodová šablona bodu v mřížce je a šablona skládá se ze samotného bodu a jeho čtyř „sousedů“. Používá se k psaní konečný rozdíl aproximace na deriváty v bodech mřížky. Je to příklad pro numerická diferenciace.

V jedné dimenzi

V jedné dimenzi, pokud je vzdálenost mezi body v mřížce h, pak pětibodový vzorník bodu X v mřížce je

${displaystyle {x-2h, x-h, x, x + h, x + 2h}.}$

1D první derivace

První derivace a funkce ƒ z nemovitý proměnná v bodě X lze aproximovat pomocí pětibodové šablony jako:^[1]

${displaystyle f '(x) cca {frac {-f (x + 2h) + 8f (x + h) -8f (x-h) + f (x-2h)} {12h}}}$

Všimněte si, že středový bod ƒ (X) sám o sobě není zapojen, pouze čtyři sousední body.

Derivace

Tento vzorec lze získat zapsáním čtyř Taylor série z ƒ (X ± h) a ƒ (X ± 2h) až do podmínek h ³ (nebo až do výše h ⁵ získat také odhad chyby) a řešení tohoto systému čtyř rovnic získat ƒ ^′(X). Vlastně máme body X + h a X − h:

${displaystyle f (xpm h) = f (x) pm hf '(x) + {frac {h ^ {2}} {2}} f' '(x) pm {frac {h ^ {3}} {6 }} f ^ {(3)} (x) + O_ {13:00} (h ^ {4}). qquad (E_ {13:00}).}$

Vyhodnocování ${displaystyle (E_ {1 +}) - (E_ {1-})}$ nám dává

${displaystyle f (x + h) -f (xh) = 2hf '(x) + {frac {h ^ {3}} {3}} f ^ {(3)} (x) + O_ {1} (h ^ {4}). Qquad (E_ {1}).}$

Všimněte si, že zbytkový termín O₁(h ⁴) by měl být v řádu h ⁵ namísto h ⁴ protože pokud podmínky h ⁴ byl napsán v (E ₁₊) a (E ₁₋), je vidět, že by se navzájem zrušili do ƒ (X + h) - ƒ (X − h). Ale pro tento výpočet to tak není, protože zde se neřeší pořadí odhadů chyb (viz níže).

Podobně máme

${displaystyle f (xpm 2h) = f (x) pm 2hf '(x) + {frac {4h ^ {2}} {2!}} f' '(x) pm {frac {8h ^ {3}} { 3!}} F ^ {(3)} (x) + O_ {14:00} (h ^ {4}). Qquad (E_ {14:00})}$

a ${displaystyle (E_ {2 +}) - (E_ {2-})}$ nám dává

${displaystyle f (x + 2h) -f (x-2h) = 4hf '(x) + {frac {8h ^ {3}} {3}} f ^ {(3)} (x) + O_ {2} (h ^ {4}). qquad (E_ {2}).}$

Za účelem vyloučení podmínek ƒ ⁽³⁾(X), vypočítat 8 × (E₁) − (E₂)

${displaystyle 8f (x + h) -8f (x-h) -f (x + 2h) + f (x-2h) = 12hf '(x) + O (h ^ {4}),}$

což dává vzorec jak je uvedeno výše. Poznámka: koeficienty f v tomto vzorci, (8, -8, -1,1), představují konkrétní příklad obecnějších Savitzky-Golayův filtr.

Odhad chyby

Chyba v této aproximaci je objednat h ⁴. To je patrné z expanze

${displaystyle {frac {-f (x + 2h) + 8f (x + h) -8f (xh) + f (x-2h)} {12h}} = f '(x) - {frac {1} {30 }} f ^ {(5)} (x) h ^ {4} + O (h ^ {5})}$ ^[2]

které lze získat rozšířením levé strany v a Taylor série. Případně použít Richardsonova extrapolace do centrální rozdíl aproximace na ${displaystyle f '(x)}$ na mřížkách s roztečí 2h a h.

1D deriváty vyššího řádu

Středové rozdílové vzorce pro pětibodové šablony přibližující druhou, třetí a čtvrtou derivaci jsou

${displaystyle f '' (x) cca {frac {-f (x + 2h) + 16f (x + h) -30f (x) + 16f (xh) -f (x-2h)} {12h ^ {2} }}}$

${displaystyle f ^ {(3)} (x) přibližně {frac {f (x + 2h) -2f (x + h) + 2f (xh) -f (x-2h)} {2h ^ {3}}} }$

${displaystyle f ^ {(4)} (x) přibližně {frac {f (x + 2h) -4f (x + h) + 6f (x) -4f (xh) + f (x-2h)} {h ^ {4}}}}$

Chyby v těchto aproximacích jsou Ó(h ⁴), Ó(h ²) a Ó(h ²).^[2]

Vztah k Lagrangeovým interpolačním polynomům

Jako alternativu k odvození konečných rozdílových vah z Taylorovy řady je lze získat diferenciací Lagrangeovy polynomy

${displaystyle ell _ {j} (xi) = prod _ {i = 0,, ieq j} ^ {k} {frac {xi -x_ {i}} {x_ {j} -x_ {i}}},}$

kde jsou interpolační body

${displaystyle x_ {0} = x-2h, quad x_ {1} = x-h, quad x_ {2} = x, quad x_ {3} = x + h, quad x_ {4} = x + 2h.}$

Potom kvartický polynom ${displaystyle p_ {4} (x)}$ interpolace ƒ (X) v těchto pěti bodech je

${displaystyle p_ {4} (x) = limity součtu _ {j = 0} ^ {4} f (x_ {j}) ell _ {j} (x)}$

a jeho derivát je

${displaystyle p_ {4} '(x) = limity součtu _ {j = 0} ^ {4} f (x_ {j}) ell' _ {j} (x).}$

Konečná diferenční aproximace ƒ ^′(X) ve středním bodě X = X₂ je

${displaystyle f '(x_ {2}) = ell _ {0}' (x_ {2}) f (x_ {0}) + ell _ {1} '(x_ {2}) f (x_ {1}) + ell _ {2} '(x_ {2}) f (x_ {2}) + ell _ {3}' (x_ {2}) f (x_ {3}) + ell _ {4} '(x_ { 2}) f (x_ {4}) + O (h ^ {4})}$

Vyhodnocování derivací pěti Lagrangeových polynomů v X=X₂ dává stejnou váhu jako výše. Tato metoda může být flexibilnější, protože rozšíření k nerovnoměrné mřížce je celkem jednoduché.

Ve dvou rozměrech

Ve dvou rozměrech, pokud je například velikost čtverců v mřížce h podle h, pětibodová vzorník bodu (X, y) v mřížce je

${displaystyle {(x-h, y), (x, y), (x + h, y), (x, y-h), (x, y + h)} ,,}$

tvořící vzor, ​​který se také nazývá a quincunx. Tato šablona se často používá k přiblížení Laplacian funkce dvou proměnných:

${displaystyle abla ^ {2} f (x, y) cca {frac {f (xh, y) + f (x + h, y) + f (x, yh) + f (x, y + h) -4f (x, y)} {h ^ {2}}}.}$

Chyba v této aproximaci je Ó(h ²),^[3] což lze vysvětlit takto:

Z 3bodových vzorníků pro druhou derivaci funkce vzhledem k x a y:

${displaystyle {egin {array} {l} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} = {frac {fleft (x + Delta x, yight) + fleft (x-Delta x, yight) -2f (x, y)} {Delta x ^ {2}}} - 2 {frac {f ^ {(4)} (x, y)} {4!}} Delta x ^ {2} + cdots konec {pole}}}$

${displaystyle {egin {array} {l} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}}} = {frac {fleft (x, y + Delta yight) + fleft (x, y-Delta yight) -2f (x, y)} {Delta y ^ {2}}} - 2 {frac {f ^ {(4)} (x, y)} {4!}} Delta y ^ {2} + cdots konec {pole}}}$

Pokud předpokládáme ${displaystyle Delta x = Delta y = h}$:

${displaystyle {egin {array} {ll} abla ^ {2} f & = {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}}} & = {frac {fleft (x + h, yight) + fleft (xh, yight) + fleft (x, y + hight) + fleft (x, y-hight) -4f (x, y)} {h ^ {2}}} - 4 {frac {f ^ {(4)} (x, y)} {4!}} h ^ {2} + cdots & = {frac {fleft (x + h, yight) + fleft (xh, yight) + fleft (x, y + hight) + fleft (x, y-hight) -4f (x, y)} {h ^ {2}}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {pole}}}$

Viz také

• Šablona skákání
• Konečné rozdílové koeficienty
• Iterativní vzorníkové smyčky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami Dover. Devátý tisk. Tabulka 25.2.