Farrell – Markushevichova věta - Farrell–Markushevich theorem

v matematika, Věta Farrell – Markushevich, nezávisle prokázané O. J. Farrellem (1899–1981) a A. I. Markushevichem (1908–1979) v roce 1934, je výsledkem aproximace na střední čtverec holomorfní funkce na ohraničeném otevřeném souboru v složité letadlo komplexními polynomy. Uvádí, že složité polynomy tvoří hustý podprostor Bergmanův prostor domény ohraničené jednoduchým uzavřením Jordanova křivka. The Gram – Schmidtův proces lze použít ke konstrukci ortonormálního základu v Bergmanově prostoru, a tedy k explicitní formě Bergmanovo jádro, což zase dává explicitní Riemannova mapovací funkce pro doménu.

Důkaz

Nechť Ω je ohraničená Jordanská doména a nechť Ω_n být ohraničené Jordan doménami klesajícími na Ω, s Ω_n obsahující uzávěr Ω_{n + 1}. Podle Riemannovy věty o mapování existuje konformní mapování F_n Ω_n na Ω, normalizované k fixaci daného bodu v Ω s kladnou derivací. Podle Věta o jádru Carathéodory F_n(z) konverguje rovnoměrně na kompaktách v Ω na z.^[1] Ve skutečnosti Carathéodoryova věta naznačuje, že inverzní mapy mají na kompaktách jednotný sklon z. Vzhledem k posloupnosti F_n, má subsekvenci, konvergentní na kompaktě v Ω. Protože inverzní funkce konvergují k z, z toho vyplývá, že subsekvence konverguje k z na compacta. Proto F_n konverguje k z na compacta v Ω.

V důsledku toho derivát F_n má tendenci k 1 rovnoměrně na compacta.

Nechat G být čtvercová integrovatelná holomorfní funkce na Ω, tj. prvek Bergmanova prostoru A²(Ω). Definovat G_n na Ω_n podle G_n(z) = G(F_n(z))F_n'(z). Změnou proměnné

${ displaystyle displaystyle { | g_ {n} | _ { Omega _ {n}} ^ {2} = | g | _ { Omega} ^ {2}.}}$

Nechat h_n být omezením G_n na Ω. Pak norma h_n je menší než G_n. Tyto normy jsou tedy jednotně omezeny. Pokud je to nutné, lze předat subsekvenci, lze tedy předpokládat, že h_n má slabý limit v A²(Ω). Na druhou stranu, h_n inklinuje rovnoměrně na compactato G. Protože vyhodnocovací mapy jsou spojité lineární funkce na A²(Ω), G je slabá hranice h_n. Na druhou stranu tím Rungeova věta, h_n leží v uzavřeném podprostoru K. z A²(Ω) generované složitými polynomy. Proto G spočívá ve slabém uzavření K., který je K. sám.^[2]

Viz také

• Mergelyanova věta

Poznámky

Reference

• Farrell, O. J. (1934), „O aproximaci analytické funkce polynomy“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 40: 908–914, doi:10.1090 / s0002-9904-1934-06002-6
• Markushevich, A. I. (1967), Teorie funkcí komplexní proměnné. Sv. III, Prentice – Hall
• Conway, John B. (2000), Kurz teorie operátorů, Postgraduální studium matematiky, 21Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-2065-6