Věta o stupních - Runges theorem - Wikipedia

Vzhledem k holomorfní funkci F na modré kompaktní sadě a bodu v každé z děr lze přiblížit F racionální funkce mající póly pouze v těchto třech bodech.

v komplexní analýza, Rungeova věta (také známý jako Rungeova věta o aproximaci) je pojmenován po německém matematikovi Carl Runge kdo to poprvé prokázal v roce 1885. Uvádí následující:

Označující C soubor komplexní čísla, nechť K. být kompaktní podmnožina z C a nechte F být funkce který je holomorfní na otevřené sadě obsahující K.. Li A je sada obsahující aspoň jeden komplexní číslo z každého ohraničený připojená součást z C\K. pak existuje a sekvence ${ displaystyle (r_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ z racionální funkce který konverguje rovnoměrně na F na K. a takové, že všechny póly funkcí ${ displaystyle (r_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ jsou v A.

Všimněte si, že ne každé komplexní číslo v A musí být pólem každé racionální funkce sekvence ${ displaystyle (r_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$. Víme to jen pro všechny členy ${ displaystyle (r_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ že dělat mají póly, ty póly leží uvnitř A.

Jedním z aspektů, díky kterému je tato věta tak silná, je to, že si lze vybrat množinu A svévolně. Jinými slovy si lze vybrat žádný komplexní čísla z ohraničených připojených komponent C\K. a věta zaručuje existenci posloupnosti racionálních funkcí s póly pouze mezi těmito vybranými čísly.

Pro zvláštní případ, ve kterém C\K. je připojená sada (zejména když K. je jednoduše připojen), sada A ve větě bude jasně prázdná. Protože racionální funkce bez pólů jsou jednoduše polynomy, dostaneme následující důsledek: Pokud K. je kompaktní podmnožina C takhle C\K. je připojená sada a F je holomorfní funkce na otevřené sadě obsahující K., pak existuje posloupnost polynomů ${ displaystyle (p_ {n})}$ to se blíží F rovnoměrně zapnuto K. (předpoklady lze uvolnit, viz Mergelyanova věta ).

Rungeova věta zobecňuje takto: jeden může brát A být podmnožinou Riemannova koule C∪ {∞} a vyžadovat to A protínají také neomezenou připojenou komponentu K. (který nyní obsahuje ∞). To znamená, že ve výše uvedené formulaci se může ukázat, že racionální funkce mají pól v nekonečnu, zatímco v obecnější formulaci může být pól zvolen místo kdekoli v neomezené připojené složce C\K..

Důkaz

Základní důkaz uvedený v Sarason (1998), postupuje následovně. V otevřené sadě je uzavřený po částech lineární obrys containing, který obsahuje K. v jeho interiéru. Podle Cauchyho integrální vzorec

${ displaystyle f (w) = {1 nad 2 pi i} int _ { gama} {f (z) , dz nad z-w}}$

pro w v K.. Riemannovy přibližné součty lze použít k jednotnému aproximaci integrálního obrysu K.. Každý člen v součtu je skalárním násobkem (z − w)⁻¹ na nějaký bod z na obrysu. To dává jednotnou aproximaci racionální funkcí s póly na Γ.

Chcete-li to upravit na aproximaci s póly v určených bodech v každé složce doplňku K., stačí zkontrolovat podmínky formuláře (z − w)⁻¹. Li z₀ je bod ve stejné složce jako z, vezměte po částech lineární cestu z z na z₀. Pokud jsou dva body na cestě dostatečně blízko, lze jakoukoli racionální funkci s póly pouze v prvním bodě rozšířit jako Laurentovu sérii o druhý bod. Že Laurentova řada může být zkrácena, aby poskytla racionální funkci s póly pouze ve druhém bodě rovnoměrně blízkém původní funkci na K.. Pokračování kroky podél cesty z z na z₀ původní funkce (z − w)⁻¹ lze postupně upravit tak, aby poskytoval racionální funkci s póly pouze v z₀.

Li z₀ je bod v nekonečnu, pak výše uvedeným postupem racionální funkce (z − w)⁻¹ lze nejprve aproximovat racionální funkcí G s póly v R > 0 kde R je tak velký, že K. leží v w < R. Rozšíření Taylorovy řady o G asi 0 pak může být zkráceno, aby poskytlo polynomiální aproximaci na K..

Viz také

• Mergelyanova věta

Reference

• Conway, John B. (1997), Kurz funkční analýzy (2. vyd.), Springer, ISBN  0-387-97245-5
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Teorie funkcí jedné komplexní proměnné (2. vyd.), American Mathematical Society, ISBN  0-8218-2905-X
• Sarason, Donald (1998), Poznámky k teorii složitých funkcí, Texty a četby z matematiky, 5, Hindustan Book Agency, s. 108–115, ISBN  81-85931-19-4

externí odkazy

• "Rungeova věta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]