Ehrlingsovo lemma - Ehrlings lemma - Wikipedia

v matematika, Ehrlingovo lemma je výsledek týkající se Banachovy prostory. Často se používá v funkční analýza předvést rovnocennost jisté normy na Sobolevovy prostory. Navrhl to Gunnar Ehrling.

Prohlášení o lemmatu

Nechť (X, ||·||_X), (Y, ||·||_Y) a (Z, ||·||_Z) být tři Banachovy prostory. Předpokládat, že:

• X je kompaktně zabudováno v Y: tj. X ⊆ Y a každý || · ||_X-ohraničený sekvence v X má subsekvence to je || · ||_Y-konvergentní; a
• Y je průběžně vloženo v Z: tj. Y ⊆ Z a tam je konstanta k takže ||y||_Z ≤ k||y||_Y pro každého y ∈ Y.

Pak pro každého ε > 0, existuje konstanta C(ε) takové, že pro všechny X ∈ X,

${ displaystyle | x | _ {Y} leq varepsilon | x | _ {X} + C ( varepsilon) | x | _ {Z}}$

Dodatek (ekvivalentní normy pro Sobolevovy prostory)

Nechť Ω ⊂Rⁿ být otevřeno a ohraničený a nechte k ∈ N. Předpokládejme, že Sobolevův prostor H^k(Ω) je kompaktně zabudován do H^k−1(Ω). Pak následující dvě normy na H^k(Ω) jsou ekvivalentní:

${ displaystyle | cdot |: H ^ {k} ( Omega) to mathbf {R}: u mapsto | u |: = { sqrt { sum _ {| alpha | leq k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {2} ( Omega)} ^ {2}}}}$

a

${ displaystyle | cdot | ': H ^ {k} ( Omega) to mathbf {R}: u mapsto | u |': = ​​{ sqrt { | u | _ { L ^ {1} ( Omega)} ^ {2} + sum _ {| alpha | = k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {2} ( Omega)} ^ {2}}}.}$

Pro podprostor H^k(Ω) skládající se z těchto Sobolevových funkcí s nulová stopa (ty, které jsou "nula na hranici" Ω), L¹ norma u lze vynechat a získat další ekvivalentní normu.

Reference

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (1992). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-97952-4.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.