Stopový operátor - Trace operator

Funkce definovaná na obdélníku (horní obrázek, červeně) a jeho stopa (spodní obrázek, červeně).

v matematika, operátor trasování rozšiřuje pojem omezení funkce na hranici své domény k „zobecněným“ funkcím v a Sobolevův prostor. To je zvláště důležité pro studium parciální diferenciální rovnice s předepsanými okrajovými podmínkami (problémy s hraniční hodnotou ), kde slabá řešení nemusí být dostatečně pravidelné, aby uspokojily okrajové podmínky v klasickém smyslu funkcí.

Motivace

Na ohraničené, hladké doména ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$, zvažte problém řešení Poissonova rovnice s nehomogenními Dirichletovými okrajovými podmínkami:

${displaystyle {egin {alignedat} {2} -Delta u & = f & quad & {ext {in}} Omega, u & = g && {ext {on}} částečný konec Omega {alignedat}}}$

s danými funkcemi ${extstyle f}$ a ${extstyle g}$ s pravidelností diskutovanou v aplikační sekce níže. Slabé řešení ${extstyle uin H ^ {1} (Omega)}$ této rovnice musí vyhovovat

${displaystyle int _ {Omega} abla ucdot abla varphi, mathrm {d} x = int _ {Omega} fvarphi, mathrm {d} x}$ pro všechny ${extstyle varphi v H_ {0} ^ {1} (Omega)}$.

The ${extstyle H ^ {1} (Omega)}$-pravidelnost ${extstyle u}$ je dostačující pro dobře definovatelnost této integrální rovnice. Není však zřejmé, v jakém smyslu ${extstyle u}$ může uspokojit okrajovou podmínku ${extstyle u = g}$ na ${extstyle částečná Omega}$: podle definice, ${extstyle uin H ^ {1} (Omega) podmnožina L ^ {2} (Omega)}$ je třída ekvivalence funkcí, která může mít libovolné hodnoty ${extstyle částečná Omega}$ protože se jedná o nulovou množinu s ohledem na n-dimenzionální Lebesgueovu míru.

Li ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {1}}$ tam drží ${extstyle H ^ {1} (Omega) hookrightarrow C ^ {0} ({ar {Omega}})}$ podle Sobolevova věta o vložení, takový, že ${extstyle u}$ může uspokojit okrajovou podmínku v klasickém smyslu, tj. omezení ${extstyle u}$ na ${extstyle částečná Omega}$ souhlasí s funkcí ${extstyle g}$ (přesněji: existuje zástupce ${extstyle u}$ v ${extstyle C ({ar {Omega}})}$ s touto vlastností). Pro ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ s ${extstyle n> 1}$ takové vložení neexistuje a operátor trasování ${extstyle T}$ zde uvedené musí být použity, aby dal smysl ${extstyle u | _ {částečná Omega}}$. Pak ${extstyle uin H ^ {1} (Omega)}$ s ${extstyle Tu = g}$ se nazývá slabé řešení úlohy okrajové hodnoty, pokud je splněna výše uvedená integrální rovnice. Aby byla definice operátoru trasování přiměřená, musí platit ${extstyle Tu = u | _ {částečná Omega}}$ pro dostatečně pravidelné ${extstyle u}$.

Stopová věta

Pro funkce v Sobolevových prostorech lze definovat operátor trasování ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$ s ${extstyle 1leq p$, v části níže najdete možná rozšíření trasování do dalších prostor. Nechat ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ pro ${extstyle nin mathbb {N}}$ být ohraničenou doménou s hranicí Lipschitz. Pak^[1] existuje ohraničená lineární operátor trasování

${displaystyle Tcolon W ^ {1, p} (Omega) o L ^ {p} (částečná Omega)}$

takhle ${extstyle T}$ rozšiřuje klasickou stopu, tj.

${displaystyle Tu = u | _ {částečná Omega}}$ pro všechny ${extstyle uin W ^ {1, p} (Omega) cap C ({ar {Omega}})}$.

Kontinuita ${extstyle T}$ to naznačuje

${displaystyle | Tu | _ {L ^ {p} (částečná Omega)} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (Omega)}}$ pro všechny ${extstyle uin W ^ {1, p} (Omega)}$

s konstantou pouze v závislosti na ${extstyle p}$ a ${extstyle Omega}$. Funkce ${extstyle Tu}$ se nazývá stopa ${extstyle u}$ a je často jednoduše označován ${extstyle u | _ {částečná Omega}}$. Další běžné symboly pro ${extstyle T}$ zahrnout ${extstyle tr}$ a ${extstyle gamma}$.

Konstrukce

Tento odstavec následuje Evanse^[2], kde lze nalézt další podrobnosti, a předpokládá to ${extstyle Omega}$ má ${extstyle C ^ {1}}$-hranice. Důkaz (silnější verze) stopové věty pro Lipschitzovy domény lze nalézt v Gagliardo^[1]. Na ${extstyle C ^ {1}}$-doména, operátor trasování lze definovat jako spojité lineární prodloužení provozovatele

${displaystyle T: C ^ {infty} ({ar {Omega}}) o L ^ {p} (částečná Omega)}$

do vesmíru ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$. Podle hustota z ${extstyle C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ v ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$ takové rozšíření je možné, pokud ${extstyle T}$ je kontinuální s ohledem na ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$-norma. Důkaz toho, tj. Že existuje ${extstyle C> 0}$ (záleží na ${extstyle Omega}$ a ${extstyle p}$) takové, že

${displaystyle | Tu | _ {L ^ {p} (částečná Omega)} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (Omega)}}$ pro všechny ${displaystyle uin C ^ {infty} ({ar {Omega}}).}$

je ústřední složkou konstrukce stopového operátoru. Místní varianta tohoto odhadu pro ${extstyle C ^ {1} ({ar {Omega}})}$-funkce je nejprve prokázána pro lokálně rovnou hranici pomocí věta o divergenci. Transformací, generál ${extstyle C ^ {1}}$-hranice lze místně narovnat, aby se snížil na tento případ, kdy ${extstyle C ^ {1}}$-pravidelnost transformace vyžaduje, aby platil místní odhad ${extstyle C ^ {1} ({ar {Omega}})}$-funkce.

S touto kontinuitou operátoru trasování v ${extstyle C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ rozšíření do ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$ existuje abstraktními argumenty a ${extstyle Tu}$ pro ${extstyle uin W ^ {1, p} (Omega)}$ lze charakterizovat následovně. Nechat ${extstyle u_ {k} v C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ být sekvence přibližná ${extstyle uin W ^ {1, p} (Omega)}$ podle hustoty. Osvědčenou kontinuitou ${extstyle T}$ v ${extstyle C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ sekvence ${extstyle u_ {k} | _ {částečná Omega}}$ je Cauchyova sekvence v ${extstyle L ^ {p} (částečná Omega)}$ a ${extstyle Tu = lim _ {k o infty} u_ {k} | _ {částečné Omega}}$ s přijatým limitem ${extstyle L ^ {p} (částečná Omega)}$.

Vlastnost rozšíření ${extstyle Tu = u | _ {částečná Omega}}$ platí pro ${extstyle uin C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ podle konstrukce, ale pro všechny ${extstyle uin W ^ {1, p} (Omega) cap C ({ar {Omega}})}$ existuje sekvence ${extstyle u_ {k} v C ^ {infty} ({ar {Omega}})}$ který konverguje rovnoměrně na ${extstyle {ar {Omega}}}$ na ${extstyle u}$, ověření vlastnosti rozšíření na větší sadě ${extstyle W ^ {1, p} (Omega) cap C ({ar {Omega}})}$.

Případ p = ∞

Li ${extstyle Omega}$ je ohraničený a má ${extstyle C ^ {1}}$-hranice pak do Morreyova nerovnost existuje kontinuální vkládání ${extstyle W ^ {1, infty} (Omega) hookrightarrow C ^ {0,1} (Omega)}$, kde ${extstyle C ^ {0,1} (Omega)}$ označuje prostor Lipschitz kontinuální funkce. Zejména jakoukoli funkci ${extstyle uin W ^ {1, infty} (Omega)}$ má klasickou stopu ${extstyle u | _ {částečná Omega} v C (částečná Omega)}$ a tam drží

${displaystyle | u | _ {částečné Omega} | _ {C (částečné Omega)} leq | u | _ {C ^ {0,1} (Omega)} leq C | u | _ {W ^ {1, infty} (Omega)}.}$

Funkce s nulovou stopou

Sobolevovy prostory ${extstyle W_ {0} ^ {1, p} (Omega)}$ pro ${extstyle 1leq p$ jsou definovány jako uzavření sady kompaktně podporovaných testovací funkce ${extstyle C_ {c} ^ {infty} (Omega)}$ s respektem k ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$-norma. Platí následující alternativní charakterizace:

${displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (Omega) = {uin W ^ {1, p} (Omega) střední Tu = 0} = ker (Tcolon W ^ {1, p} (Omega) o L ^ {p} (částečná Omega)),}$

kde ${extstyle ker (T)}$ je jádro z ${extstyle T}$, tj. ${extstyle W_ {0} ^ {1, p} (Omega)}$ je podprostor funkcí v ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$ s nulovou stopou.

Obrázek operátoru trasování

Pro p> 1

Operátor trasování není surjective na ${extstyle L ^ {p} (částečná Omega)}$ -li ${extstyle p> 1}$, tj. ne každá funkce v ${extstyle L ^ {p} (částečná Omega)}$ je stopa funkce v ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$. Jak je uvedeno níže, obrázek sestává z funkcí, které splňují a ${extstyle L ^ {p}}$-verze Hölderova kontinuita.

Abstraktní charakterizace

Abstraktní charakterizace obraz z ${extstyle T}$ lze odvodit následovně. Podle věty o izomorfismu tam drží

${displaystyle T (W ^ {1, p} (Omega)) cong W ^ {1, p} (Omega) / ker (Tcolon W ^ {1, p} (Omega) o L ^ {p} (částečná Omega) ) = W ^ {1, p} (Omega) / W_ {0} ^ {1, p} (Omega)}$

kde ${extstyle X / N}$ označuje kvocientový prostor Banachova prostoru ${extstyle X}$ podprostorem ${extstyle Nsubset X}$ a poslední identita vyplývá z charakterizace ${extstyle W_ {0} ^ {1, p} (Omega)}$ shora. Vybavením kvocientového prostoru normou kvocientu definovanou

${displaystyle | u | _ {W ^ {1, p} (Omega) / W_ {0} ^ {1, p} (Omega)} = inf _ {u_ {0} ve W_ {0} ^ {1, p } (Omega)} | u-u_ {0} | _ {W ^ {1, p} (Omega)}}$

operátor trasování ${extstyle T}$ je potom surjektivní, ohraničený lineární operátor

${displaystyle Tcolon W ^ {1, p} (Omega) o W ^ {1, p} (Omega) / W_ {0} ^ {1, p} (Omega)}$.

Charakterizace pomocí Sobolev – Slobodeckijových prostorů

Přesnější znázornění obrazu ${extstyle T}$ lze podat pomocí Sobolev-Slobodeckij prostory které zobecňují koncept Hölderových spojitých funkcí na ${extstyle L ^ {p}}$- nastavení. Od té doby ${extstyle částečná Omega}$ je (n-1)-rozměrný Lipschitz potrubí vloženo do ${extstyle mathbb {R} ^ {n}}$ technicky jde o explicitní charakterizaci těchto prostorů. Pro jednoduchost zvažte nejprve planární doménu ${extstyle Omega 'podmnožina mathbb {R} ^ {n-1}}$. Pro ${extstyle vin L ^ {p} (Omega ')}$ definovat (možná nekonečnou) normu

${displaystyle | v | _ {W ^ {1-1 / p, p} (Omega ')} = vlevo (| v | _ {L ^ {p} (Omega')} ^ {p} + int _ {Omega 'imes Omega'} {frac {| v (x) -v (y) | ^ {p}} {| xy | ^ {(1-1 / p) p + (n-1)}}}, mathrm {d } (x, y) ight) ^ {1 / p}}$

což zobecňuje Hölderův stav ${extstyle | v (x) -v (y) | leq C | x-y | ^ {1-1 / p}}$. Pak

${displaystyle W ^ {1-1 / p, p} (Omega ') = left {vin L ^ {p} (Omega'); mid; | v | _ {W ^ {1-1 / p, p} ( Omega ')}$

vybavený předchozí normou je Banachův prostor (obecná definice ${extstyle W ^ {s, p} (Omega ')}$ pro jiné než celé číslo ${extstyle s> 0}$ najdete v článku pro Sobolev-Slobodeckij prostory ). Pro (n-1)-rozměrné potrubí Lipschitz ${extstyle částečná Omega}$ definovat ${extstyle W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega)}$ lokálním narovnáním ${extstyle částečná Omega}$ a postupovat jako v definici ${extstyle W ^ {1-1 / p, p} (Omega ')}$.

Prostor ${extstyle W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega)}$ pak lze identifikovat jako obraz trasovacího operátoru a tam se drží^[1] že

${displaystyle Tcolon W ^ {1, p} (Omega) o W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega)}$

je surjektivní, ohraničený lineární operátor.

Pro p = 1

Pro ${extstyle p = 1}$ obrázek operátoru trasování je ${extstyle L ^ {1} (částečná Omega)}$ a tam drží^[1] že

${displaystyle Tcolon W ^ {1,1} (Omega) o L ^ {1} (částečná Omega)}$

je surjektivní, ohraničený lineární operátor.

Pravá inverze: operátor rozšíření trasování

Operátor trasování není injektivní, protože v něm funguje více funkcí ${extstyle W ^ {1, p} (Omega)}$ může mít stejnou stopu (nebo ekvivalentně ${extstyle W_ {0} ^ {1, p} (Omega) ekv. 0}$). Operátor trasování má ale dobře vychovaný pravý inverzní směr, který rozšiřuje funkci definovanou na hranici celé domény. Konkrétně pro ${extstyle 1$

existuje ohraničená, lineární operátor rozšíření trasování^[3]

${displaystyle Ecolon W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega) o W ^ {1, p} (Omega)}$,

pomocí Sobolevova-Slobodeckijova charakterizace obrazu operátoru trasování z předchozí části, tak to

${displaystyle T (Ev) = v}$ pro všechny ${extstyle vin W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega)}$

a kontinuitou existuje ${extstyle C> 0}$ s

${displaystyle | Ev | _ {W ^ {1, p} (Omega)} leq C | v | _ {W ^ {1-1 / p, p} (částečná Omega)}}$.

Pozoruhodná není pouhá existence, ale linearita a kontinuita správné inverze. Tento operátor rozšíření trasování nesmí být zaměňován s operátoři rozšíření o celý prostor ${extstyle W ^ {1, p} (Omega) o W ^ {1, p} (mathbb {R} ^ {n})}$ které hrají zásadní roli v teorii Sobolevových prostorů.

Rozšíření do dalších prostor

Vyšší deriváty

Mnoho z předchozích výsledků lze rozšířit na ${extstyle W ^ {m, p} (Omega)}$ s vyšší rozlišitelností ${extstyle m = 2,3, ldots}$ pokud je doména dostatečně pravidelná. Nechat ${extstyle N}$ označte normální pole vnější jednotky ${extstyle částečná Omega}$. Od té doby ${extstyle u | _ {částečná Omega}}$ může zakódovat vlastnosti diferencovatelnosti v tangenciálním směru pouze normální derivaci ${extstyle částečné _ {N} u | _ {částečné Omega}}$ je dalšího zájmu teorie stop pro ${extstyle m = 2}$. Podobné argumenty platí pro deriváty vyššího řádu pro ${extstyle m> 2}$.

Nechat ${extstyle 1$

a ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ být ohraničenou doménou s ${extstyle C ^ {m, 1}}$-hranice. Pak^[3] existuje surjektiv, ohraničený lineární operátor trasování vyššího řádu

${displaystyle T_ {m} dvojtečka W ^ {m, p} (Omega) o prod _ {l = 0} ^ {m-1} W ^ {m-l-1 / p, p} (částečná Omega)}$

s Sobolev-Slobodeckij prostory ${extstyle W ^ {s, p} (částečná Omega)}$ pro jiné než celé číslo ${extstyle s> 0}$ definováno dne ${extstyle částečná Omega}$ transformací na rovinný případ ${extstyle W ^ {s, p} (Omega ')}$ pro ${extstyle Omega 'podmnožina mathbb {R} ^ {n-1}}$, jehož definice je rozpracována v článku o Sobolev-Slobodeckij prostory. Operátor ${extstyle T_ {m}}$ rozšiřuje klasické normální stopy v tom smyslu

${displaystyle T_ {m} u = left (u | _ {částečné Omega}, částečné _ {N} u | _ {částečné Omega}, ldots, částečné _ {N} ^ {m-1} u | _ {částečné Omega } v noci)}$ pro všechny ${extstyle uin W ^ {m, p} (Omega) cap C ^ {m-1} ({ar {Omega}}).}$

Kromě toho existuje ohraničená lineární pravá inverze ${extstyle T_ {m}}$, a operátor rozšíření trasování vyššího řádu^[3]

${displaystyle E_ {m} dvojtečka prod _ {l = 0} ^ {m-1} W ^ {m-l-1 / p, p} (částečná Omega) o W ^ {m, p} (Omega)}$.

Nakonec mezery ${extstyle W_ {0} ^ {m, p} (Omega)}$, dokončení ${extstyle C_ {c} ^ {infty} (Omega)}$ v ${extstyle W ^ {m, p} (Omega)}$-norm, lze charakterizovat jako jádro ${extstyle T_ {m}}$^[3], tj.

${displaystyle W_ {0} ^ {m, p} (Omega) = {uin W ^ {m, p} (Omega) střední T_ {m} u = 0}}$.

Méně pravidelné mezery

Žádná stopa dovnitř L^str

Neexistuje žádné rozumné rozšíření pojmu stopy ${extstyle L ^ {p} (Omega)}$ pro ${extstyle 1leq p$ protože jakýkoli ohraničený lineární operátor, který rozšiřuje klasickou stopu, musí být v prostoru testovacích funkcí nulový ${extstyle C_ {c} ^ {infty} (Omega)}$, což je hustá podmnožina ${extstyle L ^ {p} (Omega)}$, což znamená, že takový operátor by byl všude nulový.

Zobecněná normální stopa

Nechat ${extstyle operatorname {div} v}$ označit distribuční divergence a vektorové pole ${extstyle v}$. Pro ${extstyle 1$

a ohraničená Lipschitzova doména ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ definovat

${displaystyle E_ {p} (Omega) = {vin (L ^ {p} (Omega)) ^ {n} prostřední operatorname {div} vin L ^ {p} (Omega)}}$

což je Banachův prostor s normou

${displaystyle | v | _ {E_ {p} (Omega)} = vlevo (| v | _ {L ^ {p} (Omega)} ^ {p} + | operatorname {div} v | _ {L ^ {p } (Omega)} ^ {p} ight) ^ {1 / p}}$.

Nechat ${extstyle N}$ označte normální pole vnější jednotky ${extstyle částečná Omega}$. Pak^[4] existuje ohraničený lineární operátor

${displaystyle T_ {N} dvojtečka E_ {p} (Omega) o (W ^ {1-1 / q, q} (částečná Omega)) '}$,

kde ${extstyle q = p / (p-1)}$ je konjugovaný exponent na ${extstyle p}$ a ${extstyle X '}$ označuje nepřetržitý duální prostor do Banachova prostoru ${extstyle X}$, takový, že ${extstyle T_ {N}}$ prodlužuje normální stopu ${extstyle (vcdot N) | _ {částečná Omega}}$ pro ${extstyle vin (C ^ {infty} ({ar {Omega}})) ^ {n}}$ V tom smyslu, že

${displaystyle T_ {N} v = {igl {} varphi ve W ^ {1-1 / q, q} (částečná Omega) mapa k int _ {částečná Omega} varphi vcdot N, mathrm {d} S {igr}}}$.

Hodnota normálního operátoru trasování ${extstyle (T_ {N} v) (varphi)}$ pro ${extstyle varphi ve W ^ {1-1 / q, q} (částečná Omega)}$ je definována aplikací věta o divergenci do vektorového pole ${extstyle w = Evarphi, v}$ kde ${extstyle E}$ je operátor rozšíření trasování shora.

Aplikace. Jakékoli slabé řešení ${extstyle uin H ^ {1} (Omega)}$ na ${extstyle -Delta u = fin L ^ {2} (Omega)}$ v ohraničené Lipschitzově doméně ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ má normální derivaci ve smyslu ${extstyle T_ {N} abla uin (W ^ {1 / 2,2} (částečná Omega)) ^ {*}}$. Toto následuje jako ${extstyle abla uin E_ {2} (Omega)}$ od té doby ${extstyle abla uin L ^ {2} (Omega)}$ a ${extstyle operatorname {div} (abla u) = Delta u = -fin L ^ {2} (Omega)}$. Tento výsledek je pozoruhodný, protože v Lipschitzových doménách obecně ${extstyle uot v H ^ {2} (Omega)}$, takový, že ${extstyle abla u}$ nemusí ležet v doméně trasovacího operátoru ${extstyle T}$.

aplikace

Výše uvedené věty umožňují bližší prozkoumání problému mezní hodnoty

${displaystyle {egin {alignedat} {2} -Delta u & = f & quad & {ext {in}} Omega, u & = g && {ext {on}} částečný konec Omega {alignedat}}}$

v doméně Lipschitz ${extstyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ z motivace. Protože pouze Hilbertův vesmírný případ ${extstyle p = 2}$ je zde zkoumána notace ${extstyle H ^ {1} (Omega)}$ se používá k označení ${extstyle W ^ {1,2} (Omega)}$ atd. Jak je uvedeno v motivaci, slabé řešení ${extstyle uin H ^ {1} (Omega)}$ této rovnice musí vyhovovat ${extstyle Tu = g}$ a

${displaystyle int _ {Omega} abla ucdot abla varphi, mathrm {d} x = int _ {Omega} fvarphi, mathrm {d} x}$ pro všechny ${extstyle varphi v H_ {0} ^ {1} (Omega)}$,

kde musí být interpretována pravá strana ${extstyle fin H ^ {- 1} (Omega) = (H_ {0} ^ {1} (Omega)) '}$ jako dualitní produkt s hodnotou ${extstyle f (varphi)}$.

Existence a jedinečnost slabých řešení

Charakterizace rozsahu ${extstyle T}$ to znamená pro ${extstyle Tu = g}$ udržovat pravidelnost ${extstyle gin H ^ {1/2} (částečná Omega)}$ je nutné. Tato pravidelnost je také dostatečná pro existenci slabého řešení, které lze vidět následovně. Věta o rozšíření trasování existuje ${extstyle Egin H ^ {1} (Omega)}$ takhle ${extstyle T (např.) = g}$. Definování ${extstyle u_ {0}}$ podle ${extstyle u_ {0} = u-Např.$ máme to ${extstyle Tu_ {0} = Tu-T (např.) = 0}$ a tudíž ${extstyle u_ {0} v H_ {0} ^ {1} (Omega)}$ charakterizací ${extstyle H_ {0} ^ {1} (Omega)}$ jako prostor stopy nula. Funkce ${extstyle uin H_ {0} ^ {1} (Omega)}$ pak splňuje integrální rovnici

${displaystyle int _ {Omega} abla u_ {0} cdot abla varphi, mathrm {d} x = int _ {Omega} abla (u-Eg) cdot abla varphi, mathrm {d} x = int _ {Omega} fvarphi, mathrm {d} x-int _ {Omega} abla Egcdot abla varphi, mathrm {d} x}$ pro všechny ${extstyle varphi v H_ {0} ^ {1} (Omega)}$.

Problém s nehomogenními hraničními hodnotami pro ${extstyle u}$ lze snížit na problém s homogenními hraničními hodnotami pro ${extstyle u_ {0}}$, technika, kterou lze použít na jakoukoli lineární diferenciální rovnici. Podle Rieszova věta o reprezentaci existuje jedinečné řešení ${extstyle u_ {0}}$ k tomuto problému. Jedinečností rozkladu ${extstyle u = u_ {0} + Např.}$, to odpovídá existenci jedinečného slabého řešení ${extstyle u}$ k nehomogennímu problému okrajové hodnoty.

Kontinuální závislost na datech

Zbývá vyšetřit závislost ${extstyle u}$ na ${extstyle f}$ a ${extstyle g}$. Nechat ${extstyle c_ {1}, c_ {2}, ldots> 0}$ označit konstanty nezávislé na ${extstyle f}$ a ${extstyle g}$. Kontinuální závislostí ${extstyle u_ {0}}$ na pravé straně její integrální rovnice platí

${displaystyle | u_ {0} | _ {H_ {0} ^ {1} (Omega)} leq c_ {1} vlevo (| f | _ {H ^ {- 1} (Omega)} + | Např. | _ { H ^ {1} (Omega)} ight)}$

a tedy pomocí toho ${extstyle | u_ {0} | _ {H_ {0} ^ {1} (Omega)} leq c_ {2} | u_ {0} | _ {H ^ {1} (Omega)}}$ a ${extstyle | Např. | _ {H ^ {1} (Omega)} leq c_ {3} | g | _ {H ^ {1/2} (Omega)}}$ kontinuitou operátoru rozšíření trasování z toho vyplývá

${displaystyle {egin {aligned} | u | _ {H ^ {1} (Omega)} & leq | u_ {0} | _ {H ^ {1} (Omega)} + | Eg | _ {H ^ {1} (Omega)} leq c_ {1} c_ {2} | f | _ {H ^ {- 1} (Omega)} + (1 + c_ {1} c_ {2}) | Např. | _ {H ^ {1 } (Omega)} & leq c_ {4} vlevo (| f | _ {H ^ {- 1} (Omega)} + | g | _ {H ^ {1/2} (částečná Omega)} vpravo) konec { zarovnaný}}}$

a mapa řešení

${displaystyle H ^ {- 1} (Omega) imes H ^ {1/2} (částečná Omega) i (f, g) mapa k H ^ {1} (Omega)}$

je tedy kontinuální.

Reference

• Leoni, Giovanni (2017). První kurz v Sobolevových prostorech: Druhé vydání. Postgraduální studium matematiky. 181. Americká matematická společnost. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8