Motýlová věta - Butterfly theorem

Motýlová věta

The motýl věta je klasický výsledek v Euklidovská geometrie, což lze konstatovat následovně:^{[1]:p. 78}

Nechat M být střed a akord PQ a kruh, kterými další dva akordy AB a CD Jsou kresleny; INZERÁT a před naším letopočtem protínají akord PQ na X a Y odpovídajícím způsobem. Pak M je středem XY.

Důkaz

Důkaz o Butterfly větě

Formální důkaz věty je následující: Nechť kolmice XX ' a XX ″ být upuštěn od bodu X na přímkách DOPOLEDNE a DM resp. Podobně nechte YY ' a YY ″ být upuštěn od bodu Y kolmo k přímkám BM a CM resp.

Od té doby

${ displaystyle trojúhelník MXX ' sim trojúhelník MYY',}$

${ displaystyle {MX over MY} = {XX ' over YY'},}$

${ displaystyle trojúhelník MXX '' sim trojúhelník MYY '',}$

${ displaystyle {MX over MY} = {XX '' over YY ''},}$

${ displaystyle trojúhelník AXX ' sim trojúhelník CYY' ',}$

${ displaystyle {XX ' over YY' '} = {AX over CY},}$

${ displaystyle trojúhelník DXX '' sim trojúhelník BYY ',}$

${ displaystyle {XX '' přes YY '} = {DX přes BY}.}$

Z předchozích rovnic a věta o protínajících se akordech, je to vidět

${ displaystyle left ({MX over MY} right) ^ {2} = {XX ' over YY'} {XX '' over YY ''},}$

${ displaystyle {} = {AX cdot DX over CY cdot BY},}$

${ displaystyle {} = {PX cdot QX přes PY cdot QY},}$

${ displaystyle {} = {(PM-XM) cdot (MQ + XM) over (PM + MY) cdot (QM-MY)},}$

${ displaystyle {} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} přes (PM) ^ {2} - (MY) ^ {2}},}$

od té doby ODPOLEDNE = MQ.

Tak

${ displaystyle {(MX) ^ {2} přes (MY) ^ {2}} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} přes (PM) ^ {2} - (MY ) ^ {2}}.}$

Znásobení v druhé rovnici,

${ displaystyle {(MX) ^ {2} cdot (PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} cdot (MY) ^ {2}} = {(MY) ^ {2} cdot ( PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} cdot (MY) ^ {2}}.}$

Zrušení obecného pojmu

${ displaystyle {- (MX) ^ {2} cdot (MY) ^ {2}}}$

z obou stran výsledné rovnice se získá

${ displaystyle {(MX) ^ {2} cdot (PM) ^ {2}} = {(MY) ^ {2} cdot (PM) ^ {2}},}$

proto MX = MŮJ, protože MX, MY a PM jsou všechna kladná reálná čísla.

Tím pádem, M je středem XY.

Existují další důkazy,^[2] včetně jednoho využívajícího projektivní geometrii.^[3]

Dějiny

Prokázání věty o motýlech bylo považováno za problém William Wallace v Gentlemen's Mathematical Companion (1803). Tři řešení byla zveřejněna v roce 1804 a v roce 1805 Sir William Herschel položil otázku znovu v dopise Wallaceovi. Reverend Thomas Scurr položil stejnou otázku znovu v roce 1814 v Pánský deník nebo matematické úložiště.^[4]

Reference

externí odkazy

• Věta o motýlech na cut-the-uzel
• Lepší teorém o motýlech na cut-the-uzel
• Důkaz o Butterfly Theorem na PlanetMath
• Věta o motýlech Jay Warendorff, Demonstrační projekt Wolfram.
• Weisstein, Eric W. "Věta o motýlích". MathWorld.