Bretschneiderův vzorec - Bretschneiders formula - Wikipedia

Čtyřúhelník.

v geometrie, Bretschneiderův vzorec je následující výraz pro plocha generála čtyřúhelník:

${ displaystyle K = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} vlevo ({ frac { alpha + gamma} {2}} vpravo )}}}$

${ displaystyle = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - { tfrac {1} {2}} abcd [1+ cos ( alpha + gamma)]}}}}$

Tady, A, b, C, d jsou strany čtyřúhelníku, s je semiperimetr, a α a y jsou dva opačné úhly.

Bretschneiderův vzorec funguje na jakémkoli čtyřúhelníku, ať už je cyklický nebo ne.

Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karl Georg Christian von Staudt.

Důkaz

Označte plochu čtyřúhelníku K.. Pak máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} K & = { text {oblast}} trojúhelník ADB + { text {oblast}} trojúhelník BDC & = { frac {ad sin alfa} {2} } + { frac {bc sin gamma} {2}}. end {zarovnáno}}}$

Proto

${ displaystyle 2K = (reklama) sin alfa + (bc) sin gama.}$

${ displaystyle 4K ^ {2} = (reklama) ^ {2} sin ^ {2} alpha + (bc) ^ {2} sin ^ {2} gamma + 2abcd sin alpha sin gamma .}$

The zákon kosinů to naznačuje

${ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad cos alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos gamma,}$

protože obě strany se rovnají čtverci délky úhlopříčky BD. To lze přepsat jako

${ displaystyle { frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (reklama) ^ {2} cos ^ {2} alpha + (bc) ^ {2} cos ^ {2} gamma -2abcd cos alpha cos gamma.}$

Přidáním tohoto k výše uvedenému vzorci pro 4K.² výnosy

${ displaystyle { begin {aligned} 4K ^ {2} + { frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd cos ( alpha + gamma) & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd cos ( alpha + gamma) & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd ( cos ( alpha + gamma) +1) & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd left ({ frac { cos ( alpha + gamma) +1} {2}} right) & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd cos ^ {2} left ( { frac { alpha + gamma} {2}} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že: ${ displaystyle cos ^ {2} { frac { alpha + gamma} {2}} = { frac {1+ cos ( alpha + gamma)} {2}}}$ (trigonometrická identita platná pro všechny ${ displaystyle { frac { alpha + gamma} {2}}}$)

Postupujte podle stejných kroků jako v Brahmaguptův vzorec, toto lze psát jako

${ displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd cos ^ { 2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right).}$

Představujeme semiperimetr

${ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}},}$

výše se stává

${ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right) }$

${ displaystyle K ^ {2} = (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) -abcd cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}$

a Bretschneiderův vzorec následuje po převzetí druhé odmocniny na obou stranách:

${ displaystyle K = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} vlevo ({ frac { alfa + gamma} {2}} vpravo )}}}$

Související vzorce

Bretschneiderův vzorec zobecňuje Brahmaguptův vzorec pro oblast a cyklický čtyřúhelník, což zase zobecňuje Heronův vzorec pro oblast a trojúhelník.

Trigonometrickou úpravu podle Bretschneiderova vzorce pro necyklicitu čtyřúhelníku lze přepsat ne trigonometricky, pokud jde o strany a úhlopříčky E a F dát^[1][2]

${ displaystyle { begin {aligned} K & = { tfrac {1} {4}} { sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} & = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - { tfrac {1} {4}} (stříd. + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. end {zarovnáno}}}$

Poznámky

Odkazy a další čtení

• Ayoub B. Ayoub: Zevšeobecnění Ptolemaiosových a Brahmaguptových vět. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN  0730-8639
• E. W. Hobson: Pojednání o rovině trigonometrie. Cambridge University Press, 1918, s. 204–205 (online kopie )
• C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online kopie, německy )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online kopie, německy )

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Bretschneiderův vzorec“. MathWorld.
• Bretschneiderův vzorec na proofwiki.org