Cyklický řád - Cyclic order

DC8.png

v matematika, a cyklický řád je způsob, jak uspořádat sadu objektů v a kruh.[nb] Na rozdíl od většiny struktur v teorie objednávek, cyklický řád není modelován jako a binární relace, jako "A < bJeden neříká, že východ je „více ve směru hodinových ručiček“ než západ. Místo toho je cyklický řád definován jako a ternární vztah [A, b, C], což znamená „po A, jeden dosáhne b před C". Například [červen, říjen, únor]. Ternární relace se nazývá cyklický řád, pokud je." cyklické, asymetrické, přechodné a celkové. Puštění požadavku „celkem“ má za následek a částečný cyklický řád.

A soubor s cyklickým řádem se nazývá a cyklicky seřazená sada nebo jednoduše a cyklus.[nb] Některé známé cykly jsou diskrétní, mají pouze a konečné číslo z elementy: je jich sedm dny v týdnu čtyři hlavní směry, dvanáct poznámek v chromatická stupnice a tři hry kámen, nůžky, papír. V konečném cyklu má každý prvek „další prvek“ a „předchozí prvek“. Existují také spojitě proměnné cykly s nekonečně mnoha prvky, například orientovanými jednotkový kruh v letadle.

Cyklické objednávky úzce souvisí se známějšími lineární objednávky, které uspořádávají objekty do a čára. Libovolný lineární řád může být ohnut do kruhu a jakýkoli cyklický řád může být řezán v bodě, což vede k přímce. Tyto operace spolu se souvisejícími konstrukcemi intervalů a krycích map znamenají, že otázky týkající se cyklických řádů lze často transformovat do otázek o lineárních řádech. Cykly mají více symetrií než lineární řády a často se přirozeně vyskytují jako zbytky lineárních struktur, jako v konečné cyklické skupiny nebo skutečná projektivní linie.

Konečné cykly

5prvkový cyklus

Cyklický řád na množině X s n prvků je jako uspořádání X na ciferníku hodin, za n-hodinové hodiny. Každý prvek X v X má „další prvek“ a „předchozí prvek“, přičemž buď následníci, nebo předchůdci cyklují prvky přesně jednou jako X(1), X(2), ..., X(n).

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak tuto definici uvést. Cyklický řád zapnutý X je stejný jako a permutace to dělá všechno X do jednoho cyklus. Cyklus s n elements je také a Zn-torzor: sada s volným přechodníkem akce podle a konečná cyklická skupina.[1] Další formulací je výroba X do standardu graf řízeného cyklu na n vrcholy, nějakým párováním prvků s vrcholy.

Může být instinktivní používat cyklické příkazy pro symetrické funkce, například jako v

xy + yz + zx

kde se píše finále monomiální tak jako xz odvrátí pozornost od vzoru.

Podstatné využití cyklických objednávek je při určování třídy konjugace z skupiny zdarma. Dva prvky G a h volné skupiny F na setu Y jsou konjugované právě tehdy, když jsou psány jako produkty prvků y a y−1 s y v Y, a pak jsou tyto produkty dány v cyklickém pořadí, cyklické řády jsou ekvivalentní pod přepis pravidla, která člověku umožňují odebrat nebo přidat sousední y a y−1.

Cyklický řád na množině X lze určit lineárním řádem na X, ale ne jedinečným způsobem. Volba lineárního pořadí je ekvivalentní výběru prvního prvku, takže existují přesně n lineární příkazy, které indukují dané cyklické pořadí. Protože tam jsou n! možné lineární objednávky, existují (n − 1)! možné cyklické objednávky.

Definice

An nekonečná sada lze objednat také cyklicky. Mezi důležité příklady nekonečných cyklů patří jednotkový kruh, S1a racionální čísla, Q. Základní myšlenka je stejná: uspořádáme prvky množiny kolem kruhu. V nekonečném případě se však nemůžeme spolehnout na bezprostřední nástupnický vztah, protože body nemusí mít nástupce. Například vzhledem k bodu na jednotkové kružnici neexistuje žádný „další bod“. Nemůžeme se ani spoléhat na binární vztah, abychom určili, který ze dvou bodů je „první“. Při pohybu ve směru hodinových ručiček po kruhu není východ ani západ na prvním místě, ale každý následuje druhého.

Místo toho použijeme ternární vztah označující tyto prvky A, b, C dochází po sobě (ne nutně okamžitě), když obcházíme kruh. Například ve směru hodinových ručiček [východ, jih, západ]. Podle kari argumenty ternárního vztahu [A, b, C], lze cyklický řád považovat za jednoparametrovou rodinu vztahů binárního řádu, která se nazývá řezy, nebo jako dvouparametrická rodina podmnožin K., volala intervaly.

Ternární vztah

Obecná definice je následující: cyklický řád na množině X je vztah C ⊂ X3, psaný [A, b, C], který splňuje následující axiomy:[nb]

  1. Cyklickost: Pokud [A, b, C] pak [b, C, A]
  2. Asymetrie: Pokud [A, b, C] pak ne [C, b, A]
  3. Transitivita: Pokud [A, b, C] a [A, C, d] pak [A, b, d]
  4. Totality: If A, b, a C jsou tedy odlišné [A, b, C] nebo [C, b, A]

Axiomy jsou pojmenovány analogicky s asymetrie, tranzitivita, a celek axiomy pro binární relaci, které společně definují a přísné lineární pořadí. Edward Huntington  (1916, 1924 ) uvažoval o dalších možných seznamech axiomů, včetně jednoho seznamu, který měl zdůraznit podobnost mezi cyklickým řádem a vztah mezi. Ternární vztah, který splňuje první tři axiomy, ale ne nutně axiom totality, je a částečný cyklický řád.

Válcování a řezy

Vzhledem k lineárnímu pořadí < na setu X, cyklické pořadí zapnuto X vyvolané < je definována takto:[2]

[A, b, C] kdyby a jen kdyby A < b < C nebo b < C < A nebo C < A < b

Dva lineární řády indukují stejné cyklické pořadí, pokud je lze vzájemně transformovat cyklickým přeskupením, jako vřezání balíčku karet.[3] Jeden může definovat vztah cyklického řádu jako ternární vztah, který je indukován přísným lineárním řádem, jak je uvedeno výše.[4]

Vyjmutí jediného bodu z cyklického pořadí zanechává lineární pořadí za sebou. Přesněji řečeno, vzhledem k cyklicky seřazené množině (K., [ ]), každý prvek A ∈ K. definuje přirozený lineární řád <A na zbytku soupravy, K. ∖ A, podle následujícího pravidla:[5]

X <A y kdyby a jen kdyby [A, X, y].

Navíc, <A lze rozšířit sousedním A jako nejmenší prvek; výsledný lineární řád K. se nazývá hlavní řez s nejmenším prvkem A. Stejně tak sousední A jako největší prvek vede k řezu <A.[6]

Intervaly

Vzhledem k dvěma prvkům A ≠ b ∈ K., otevřený interval z A na b, psaný (A, b), je množina všech X ∈ K. takhle [A, X, b]. Systém otevřených intervalů zcela definuje cyklické pořadí a lze jej použít jako alternativní definici vztahu cyklického řádu.[7]

Interval (A, b) má přirozené lineární pořadí dané <A. Lze definovat napůl uzavřené a uzavřené intervaly [A, b), (A, b], a [A, b] sousedním A jako nejmenší prvek a / nebo b jako největší prvek.[8] Jako zvláštní případ je otevřený interval (A, A) je definován jako řez K. ∖ A.

Obecněji řečeno, správná podmnožina S z K. je nazýván konvexní pokud obsahuje interval mezi každou dvojicí bodů: pro A ≠ b ∈ S, buď (A, b) nebo (b, A) musí být také v S.[9] Konvexní množina je lineárně uspořádána řezem <X pro všechny X není v sadě; toto objednání je nezávislé na výběru X.

Automorfismy

Jako kruh má ve směru hodinových ručiček pořadí a pořadí proti směru hodinových ručiček, každá sada s cyklickým uspořádáním má dva smysly. A bijekce sady, která zachovává pořadí, se nazývá objednaná korespondence. Pokud je smysl zachován jako dříve, je to a přímá korespondence, jinak se to nazývá opačná korespondence.[10] Coxeter používá a separační vztah popsat cyklický řád a tento vztah je dostatečně silný, aby rozlišil dva smysly cyklického řádu. The automorfismy cyklicky seřazené množiny lze identifikovat pomocí C2, skupina dvou prvků, přímé a opačné korespondence.

Monotónní funkce

Myšlenka „cyklické pořadí = uspořádání v kruhu“ funguje, protože každá podmnožina cyklu je sám o sobě cyklus. Aby bylo možné tuto myšlenku použít k zavedení cyklických objednávek na množiny, které ve skutečnosti nejsou podmnožinami jednotkového kruhu v rovině, je nutné vzít v úvahu funkce mezi sadami.

Funkce mezi dvěma cyklicky uspořádanými množinami, F : X → Y, se nazývá a monotónní funkce nebo a homomorfismus pokud to stáhne objednávání Y: kdykoli [F(A), F(b), F(C)], jeden má [A, b, C]. Ekvivalentně F je monotónní, kdykoli [A, b, C] a F(A), F(b), a F(C) jsou tedy odlišné [F(A), F(b), F(C)]. Typickým příkladem monotónní funkce je následující funkce na cyklu se 6 prvky:

F(0) = F(1) = 4,
F(2) = F(3) = 0,
F(4) = F(5) = 1.

Funkce se nazývá vkládání pokud je monotónní i injekční.[nb] Ekvivalentně je vložení funkcí, která posune objednávání dál X: kdykoli [A, b, C], jeden má [F(A), F(b), F(C)]. Jako důležitý příklad, pokud X je podmnožinou cyklicky seřazené množiny Y, a X je dáno jeho přirozené uspořádání, pak mapa zařazení i : X → Y je vložení.

Obecně jde o injekční funkci F z neuspořádané sady X do cyklu Y vyvolá jedinečné cyklické pořadí X to dělá F vložení.

Funkce na konečných množinách

Cyklický řád na konečné množině X lze určit injekcí do jednotkového kruhu, X → S1. Existuje mnoho možných funkcí, které indukují stejný cyklický řád - ve skutečnosti nekonečně mnoho. Aby bylo možné tuto redundanci kvantifikovat, je potřeba složitější kombinatorický objekt než jednoduché číslo. Zkoumání konfigurační prostor všech těchto map vede k definici (n − 1)-dimenzionální polytop známý jako cyklohedron. Cykloedry byly nejprve použity ke studiu uzlové invarianty;[11] v poslední době byly použity pro experimentální detekci pravidelně vyjádřeno geny ve studiu biologické hodiny.[12]

Kategorie homomorfismů standardních konečných cyklů se nazývá cyklická kategorie; může být použit ke konstrukci Alain Connes ' cyklická homologie.

Lze definovat stupeň funkce mezi cykly, analogický k stupeň spojitého mapování. Například přirozená mapa z kruh pětin do chromatický kruh je mapa stupně 7. Lze také definovat a číslo rotace.

Dokončení

  • Řez s nejméně elementem i největším elementem se nazývá a skok. Například každý řez konečného cyklu Zn je skok. Volá se cyklus bez skoků hustý.[13][14]
  • Řez, který nemá ani nejméně prvek, ani největší prvek, se nazývá a mezera. Například racionální čísla Q mít mezeru na každém iracionálním čísle. Mají také mezeru v nekonečnu, tj. Obvyklé řazení. Volá se cyklus bez mezer kompletní.[15][14]
  • Řez s přesně jedním koncovým bodem se nazývá a ředitel školy nebo Dedekind střih. Například každý řez kruhu S1 je hlavní řez. Nazývá se cyklus, kde je každý řez zásadní, hustý i úplný kontinuální.[16][14]
[<1, <2, <3] a [X, y, z]

Sada všech řezů je cyklicky uspořádána podle následujícího vztahu: [<1, <2, <3] jen kdyby existovaly X, y, z takové, že:[17]

X <1 y <1 z,
X <1y <2 z <2 X, a
X <1 y <1z <3 X <3 y.

Určitou podmnožinou tohoto cyklu řezů je Dedekindovo dokončení původního cyklu.

Další stavby

Odvíjení a kryty

Počínaje cyklicky seřazenou sadou K., jeden může vytvořit lineární pořadí jeho rozvinutím podél nekonečné linie. To zachycuje intuitivní představu o tom, kolikrát člověk obejde kruh. Formálně jeden definuje lineární pořadí na kartézský součin Z × K., kde Z je sada celá čísla, upevněním prvku A a vyžadovat to pro všechny i:[18]

Li [A, X, y], pak Ai < Xi < yi < Ai + 1.

Například měsíce leden 2020, květen 2020, září 2020 a leden 2021 se vyskytují v tomto pořadí.

Toto objednání Z × K. se nazývá univerzální kryt z K..[nb] Své typ objednávky je nezávislá na výběru A, ale notace není, protože celočíselná souřadnice se „převalí“ na A. Například, i když cyklické pořadí třídy hřiště je kompatibilní s abecedním pořadí A-G, C je vybráno jako první nota v každé oktávě, takže v notová oktáva notace, B3 následuje C4.

Inverzní konstrukce začíná lineárně uspořádanou množinou a navíjí ji do cyklicky uspořádané množiny. Vzhledem k lineárně uspořádané sadě L a zachování objednávky bijekce T : L → L s neomezenými drahami, oběžná dráha L / T je cyklicky seřazeno podle požadavku:[7][nb]

Li A < b < C < T(A), pak [[A], [b], [C]].

Zejména se člověk může vzpamatovat K. definováním T(Xi) = Xi + 1 na Z × K..

Jsou tu také n- skládané krytiny pro konečné n; v tomto případě jedna cyklicky seřazená sada pokrývá další cyklicky seřazenou sadu. Například 24hodinové hodiny je dvojitý kryt 12hodinové hodiny. V geometrii je tužka z paprsky vycházející z bodu v orientované rovině je dvojitý kryt tužky neorientovaný řádky procházející stejným bodem.[19] Tyto krycí mapy lze charakterizovat jejich zvednutím k univerzálnímu krytu.[7]

Produkty a stáhne se

CyclicLinearProductLabels.svg

Vzhledem k cyklicky uspořádané sadě (K., [ ]) a lineárně uspořádaná množina (L, <), (celkový) lexikografický produkt je cyklický řád na sada produktů K. × L, definován [(A, X), (b, y), (C, z)] pokud platí jedna z následujících možností:[20]

  • [A, b, C]
  • A = b ≠ C a X < y
  • b = C ≠ A a y < z
  • C = A ≠ b a z < X
  • A = b = C a [X, y, z]

Lexikografický produkt K. × L globálně vypadá K. a místně vypadá L; lze to považovat za K. kopie L. Tato konstrukce se někdy používá k charakterizaci cyklicky seřazených skupin.[21]

Lze také slepit různé lineárně uspořádané sady a vytvořit tak kruhově uspořádanou sadu. Například vzhledem ke dvěma lineárně uspořádaným množinám L1 a L2, jeden může vytvořit kruh spojením dohromady v pozitivním a negativním nekonečnu. Kruhový řád na disjunktním spojení L1 ∪ L2 ∪ {–∞, ∞} je definován ∞ < L1 < –∞ < L2 < ∞, kde je indukované objednávání zapnuto L1 je opakem původního uspořádání. Například množina všech zeměpisné délky je kruhově seřazeno spojením všech bodů na západ a všech bodů na východ, spolu s nultý poledník a 180. poledník. Kuhlmann, Marshall a Osiak (2011) použijte tuto konstrukci při charakterizaci prostorů objednávek a skutečná místa z dvojitého formální série Laurent přes skutečné uzavřené pole.[22]

Topologie

Otevřené intervaly tvoří a základna za přírodní topologie cyklický topologie objednávky. The otevřené sady v této topologii jsou přesně ty sady, které jsou otevřené každý kompatibilní lineární pořadí.[23] Pro ilustraci rozdílu je v množině [0, 1) podmnožinou [0, 1/2) sousedství 0 v lineárním pořadí, ale ne v cyklickém pořadí.

Mezi zajímavé příklady cyklicky uspořádaných prostorů patří konformní hranice a jednoduše připojeno Povrch Lorentz[24] a listový prostor zvednutý základní laminace určitých 3-potrubí.[25] Diskrétní dynamické systémy byly také studovány cyklicky uspořádané prostory.[26]

Interval topologie zapomíná na původní orientaci cyklického pořadí. Tuto orientaci lze obnovit obohacením intervalů o jejich indukované lineární řády; pak má jeden soubor pokrytý atlasem lineárních objednávek, které jsou kompatibilní tam, kde se překrývají. Jinými slovy lze cyklicky uspořádanou množinu považovat za lokálně lineárně uspořádaný prostor: objekt jako a potrubí, ale s řádovými vztahy namísto souřadnicových grafů. Toto hledisko usnadňuje upřesnění takových konceptů, jako je pokrytí map. Zevšeobecnění na místně částečně uspořádaný prostor je studováno v Roll (1993); viz také Řízená topologie.

Související struktury

Skupiny

Hlavní článek: Cyklicky uspořádaná skupina

A cyklicky seřazená skupina je sada s oběma a struktura skupiny a cyklické pořadí, takže levé a pravé násobení zachovává cyklické pořadí. Cyklicky uspořádané skupiny byly nejprve podrobně studovány Ladislav Rieger v roce 1947.[27] Jsou zobecněním cyklické skupiny: nekonečná cyklická skupina Z a konečné cyklické skupiny Z/n. Protože lineární řád indukuje cyklické pořadí, jsou cyklicky uspořádané skupiny také zobecněním lineárně uspořádané skupiny: racionální čísla Qskutečná čísla R, a tak dále. Některé z nejdůležitějších cyklicky seřazených skupin nespadají do žádné předchozí kategorie: kruhová skupina T a jeho podskupiny, například podskupina racionálních bodů.

Každá cyklicky seřazená skupina může být vyjádřena jako kvocient L / Z, kde L je lineárně uspořádaná skupina a Z je cyklická kofinální podskupina L. Každá cyklicky seřazená skupina může být také vyjádřena jako podskupina produktu T × L, kde L je lineárně uspořádaná skupina. Pokud je cyklicky seřazená skupina archimédská nebo kompaktní, lze ji vložit T sám.[28]

Upravené axiomy

A částečný cyklický řád je ternární vztah, který zobecňuje (celkový) cyklický řád stejným způsobem jako a částečná objednávka zobecňuje a celková objednávka. Je cyklický, asymetrický a přechodný, ale nemusí být úplný. An objednat odrůdu je částečný cyklický řád, který splňuje další šíření axiom[Citace je zapotřebí ]. Nahrazení asymetrického axiomu doplňkovou verzí má za následek definici a cyklický řád. Přiměřeně celkové cyklické objednávky souvisejí s cyklickými objednávkami stejným způsobem ≤ je spojen s <.

Cyklický řád se řídí relativně silným 4-bodovým tranzitivním axiomem. Jedna struktura, která tento axiom oslabuje, je a CC systém: ternární vztah, který je cyklický, asymetrický a celkový, ale obecně není přechodný. Místo toho musí systém CC dodržovat pětibodový axiom přechodu a nový vnitřnost axiom, který omezuje čtyřbodové konfigurace, které narušují cyklickou tranzitivitu.[29]

Cyklický řád musí být symetrický pod cyklickou permutací, [A, b, C] ⇒ [b, C, A]a asymetrické při obrácení: [A, b, C] ⇒ ¬[C, b, A]. Ternární vztah, který je asymetrický pod cyklickou permutací a symetrický pod obrácením se spolu s příslušnými verzemi tranzitivních a totalitních axiomů nazývá a vztah mezi. A separační vztah je kvartérní vztah které lze považovat za cyklický řád bez orientace. Vztah mezi kruhovým řádem a separační vztah je analogický vztahu mezi lineárním řádem a vztahem mezi.[30]

Symetrie a teorie modelů

Evans, Macpherson a Ivanov (1997) poskytnout modelově-teoretický popis krycích map cyklů.

Tararin (2001, 2002 ) studuje skupiny automorfismů cyklů s různými tranzitivita vlastnosti. Giraudet & Holland (2002) charakterizovat cykly, jejichž úplné automorfické skupiny jednají svobodně a přechodně. Campero-Arena & Truss (2009) charakterizovat počitatelný barevný cykly, jejichž automorfické skupiny působí přechodně. Krov (2009) studuje skupinu automorfismu jedinečného (až izomorfismu) spočetného hustého cyklu.

Kulpeshov a Macpherson (2005) studie minimalita podmínky na kruhové objednání struktur, tj. modely jazyků prvního řádu, které obsahují vztah cyklického řádu. Tyto podmínky jsou analogií o-minimalita a slabá o-minimalita pro případ lineárně uspořádaných struktur. Kulpeshov (2006, 2009 ) pokračuje některými charakterizacemi ω-kategorické struktur.[31]

Poznání

Hans Freudenthal na rozdíl od toho zdůraznil roli cyklických řádů v kognitivním vývoji Jean Piaget kdo adresuje pouze lineární objednávky. Byly provedeny některé experimenty ke zkoumání mentálních reprezentací cyklicky uspořádaných množin, jako jsou měsíce v roce.

Poznámky k použití

^ cyklické pořadí Vztah lze nazvat a cyklický řád (Huntington 1916, str. 630), a kruhová objednávka (Huntington 1916, str. 630), a cyklické objednávání (Kok 1973, str. 6), nebo a kruhové objednávání (Mosher 1996, str. 109). Někteří autoři nazývají takové objednávání a celkový cyklický řád (Isli & Cohn 1998, str. 643), a kompletní cyklická objednávka (Novák 1982, str. 462), a lineární cyklické pořadí (Novák 1984, str. 323) nebo an l-cyklické pořadí nebo ℓ-cyklický řád (Černák 2001, str. 32), odlišit od širší třídy částečné cyklické objednávky, kterému říkají jednoduše cyklické objednávky. A konečně, někteří autoři mohou vzít cyklický řád znamenat neorientovaný kvartér separační vztah (Bowditch 1998, str. 155).

^ cyklus Soubor s cyklickým řádem lze nazvat a cyklus (Novák 1982, str. 462) nebo a kruh (Giraudet & Holland 2002, str. 1). Výše uvedené varianty se také objevují v adjektivní formě: cyklicky seřazená sada (cyklicky uspořádané množiny, Čech 1936, str. 23), kruhově uspořádaná sada, celkem cyklicky seřazená množina, kompletní cyklicky seřazená sada, lineárně cyklicky uspořádaná množina, l-cyklicky uspořádaná množina, ℓ-cyklicky seřazená sada. Všichni autoři souhlasí s tím, že cyklus je zcela uspořádán.

^ ternární vztah Pro cyklický vztah se používá několik různých symbolů. Huntington (1916, str. 630) používá zřetězení: ABC. Čech (1936, str. 23) a (Novák 1982, str. 462) použijte objednané trojice a nastavený symbol členství: (A, b, C) ∈ C. Megiddo (1976, str. 274) používá zřetězení a nastavení členství: abc ∈ C, porozumění abc jako cyklicky seřazená trojka. Literatura o skupinách, jako např Świerczkowski (1959a, str. 162) a Černák & Jakubík (1987, str. 157), mají sklon používat hranaté závorky: [A, b, C]. Giraudet & Holland (2002, str. 1) použijte kulaté závorky: (A, b, C), vyhrazení hranatých závorek pro vztah mezi. Campero-Arena & Truss (2009, str. 1) použijte notaci ve stylu funkce: R(A, b, C). Rieger (1947), citováno později Pecinová 2008, str. 82) používá jako oddělovač symbol „méně než“: < X, y, z <. Někteří autoři používají infixovou notaci: A < b < C, s tím, že to nemá obvyklý význam A < b a b < C pro nějakou binární relaci <(Černy 1978, str. 262). Weinstein (1996, str. 81) zdůrazňuje cyklickou povahu opakováním prvku: str ↪ r ↪ q ↪ str.

^ vkládání Novák (1984, str. 332) nazývá vložení „izomorfní vložení“.

^ role V tomto případě, Giraudet & Holland (2002, str. 2) napiš to K. je L "srolovaný".

^ orbitální prostor Mapa T je nazýván archimedean podle Bowditch (2004, str. 33), svorka podle Campero-Arena & Truss (2009, str. 582) a a překlad podle McMullen (2009, str. 10).

^ univerzální kryt McMullen (2009, str. 10) hovory Z × K. "univerzální obal" K.. Giraudet & Holland (2002, str. 3) napiš to K. je Z × K. "stočený". Freudenthal & Bauer (1974, str. 10) zavolat Z × K. "∞-krát krytí" K.. Tato konstrukce je často psána jako antilexikografický řád K. × Z.

Reference

Citace
  1. ^ Brown 1987, str. 52.
  2. ^ Huntington 1935, str. 6; Čech 1936, str. 25.
  3. ^ Calegari 2004, str. 439.
  4. ^ Courcelle 2003.
  5. ^ Huntington 1935, str. 7; Čech 1936, str. 24.
  6. ^ Novák 1984, str. 323.
  7. ^ A b C McMullen 2009, str. 10.
  8. ^ Giraudet & Holland 2002, str. 2.
  9. ^ Kulpeshov 2009.
  10. ^ Coxeter 1949, str. 25.
  11. ^ Stasheff 1997, str. 58.
  12. ^ Morton a kol. 2007.
  13. ^ Novák 1984, str. 325.
  14. ^ A b C Novák & Novotný 1987, str. 409–410.
  15. ^ Novák 1984 325, 331.
  16. ^ Novák 1984, str. 333.
  17. ^ Novák 1984, str. 330.
  18. ^ Roll 1993, str. 469; Freudenthal & Bauer 1974, str. 10
  19. ^ Freudenthal 1973, str. 475; Freudenthal & Bauer 1974, str. 10
  20. ^ Świerczkowski 1959a, str. 161.
  21. ^ Świerczkowski 1959a.
  22. ^ Kuhlmann, Marshall & Osiak 2011, str. 8.
  23. ^ Viro a kol. 2008, str. 44.
  24. ^ Weinstein 1996, str. 80–81.
  25. ^ Calegari a Dunfield 2003, s. 12–13.
  26. ^ Bass a kol. 1996, str. 19.
  27. ^ Pecinová-Kozáková 2005, str. 194.
  28. ^ Świerczkowski 1959a, s. 161–162.
  29. ^ Knuth 1992, str. 4.
  30. ^ Huntington 1935.
  31. ^ Macpherson 2011.
Bibliografie

Další čtení

externí odkazy