Cyklicky uspořádaná skupina - Cyclically ordered group

v matematika, a cyklicky seřazená skupina je soubor s oběma a struktura skupiny a a cyklický řád, takže levé a pravé násobení zachovává cyklické pořadí.

Cyklicky uspořádané skupiny byly nejprve podrobně studovány Ladislav Rieger v roce 1947.[1] Jsou zobecněním cyklické skupiny: nekonečná cyklická skupina Z a konečné cyklické skupiny Z/n. Protože a lineární pořadí indukuje cyklické pořadí, cyklicky uspořádané skupiny jsou také zobecněním lineárně uspořádané skupiny: racionální čísla Q, reálná čísla R, a tak dále. Některé z nejdůležitějších cyklicky seřazených skupin nespadají do žádné předchozí kategorie: kruhová skupina T a jeho podskupiny, tak jako podskupina racionálních bodů.

Kvocienty lineárních skupin

Je přirozené zobrazovat cyklicky uspořádané skupiny jako kvocienty: jeden má Zn = Z/nZ a T = R/Z. Dokonce i kdysi lineární skupina jako Z, když je ohnutý do kruhu, může být považován za Z2 / Z. Rieger (1946, 1947, 1948 ) ukázal, že tento obrázek je generickým jevem. Pro jakoukoli objednanou skupinu L a jakékoli centrální živel z který generuje a konečná podskupina Z z L, skupina podílů L / Z je cyklicky seřazená skupina. Navíc každá cyklicky uspořádaná skupina může být vyjádřena jako taková kvocientová skupina.[2]

Skupina kruhů

Świerczkowski (1959a) stavěl na Riegerových výsledcích jiným směrem. Vzhledem k cyklicky uspořádané skupině K. a objednanou skupinu L, produkt K. × L je cyklicky seřazená skupina. Zejména pokud T je skupina kruhů a L je uspořádaná skupina, pak libovolná podskupina z T × L je cyklicky seřazená skupina. Kromě toho lze každou cyklicky uspořádanou skupinu vyjádřit jako podskupinu takového produktu s T.[3]

Analogicky s Archimedean lineárně uspořádaná skupina, lze definovat Archimedovu cyklicky uspořádanou skupinu jako skupinu, která neobsahuje žádnou dvojici prvků X, y takhle [E, Xn, y] za každé pozitivní celé číslo n.[3] Protože jen pozitivní n jsou považovány za silnější stav než jeho lineární protějšek. Například, Z již nemá nárok, protože jeden má [0, n, −1] pro každého n.

Důsledkem Świerczkowského důkazu je, že každá archimédská cyklicky uspořádaná skupina je podskupinou T sám.[3] Tento výsledek je analogický k Otto Hölder Věta z roku 1901, jejíž každá Archimédova lineárně uspořádaná skupina je podskupinou R.[4]

Topologie

Každý kompaktní cyklicky seřazená skupina je podskupinou T.

Zobecnění

Související struktury

Gluschankof (1993) ukázal, že jistý podkategorie cyklicky seřazených skupin je „projektovatelné Ic skupiny se slabou jednotkou“ ekvivalent do určité podkategorie MV-algebry, „projektovatelné MV-algebry“.[5]

Poznámky

  1. ^ Pecinová-Kozáková 2005, str. 194.
  2. ^ Świerczkowski 1959a, str. 162.
  3. ^ A b C Świerczkowski 1959a, s. 161–162.
  4. ^ Hölder 1901, citováno později Hofmann & Lawson 1996, s. 19, 21, 37
  5. ^ Gluschankof 1993, str. 261.

Reference

  • Gluschankof, Daniel (1993), „Cyklické uspořádané skupiny a MV-algebry“ (PDF), Československý matematický časopis, 43 (2): 249–263, vyvoláno 30. dubna 2011
  • Hofmann, Karl H .; Lawson, Jimmie D. (1996), „Průzkum o zcela uspořádaných semigroupech“, Hofmann, Karl H .; Mislove, Michael W. (eds.), Teorie semigroup a její aplikace: sborník z konference z roku 1994 u příležitosti díla Alfreda H. Clifforda, Série přednášek London Mathematical Society, 231, Cambridge University Press, s. 15–39, ISBN  978-0-521-57669-7
  • Pecinová-Kozáková, Eliška (2005), „Ladislav Svante Rieger a jeho algebraické dílo“, Safrankova, Jana (ed.), WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I, Praha: Matfyzpress, s. 190–197, CiteSeerX  10.1.1.90.2398, ISBN  978-80-86732-59-6
  • Świerczkowski, S. (1959a), „U cyklicky seřazených skupin“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 47 (2): 161–166, doi:10,4064 / fm-47-2-161-166, vyvoláno 2. května 2011

Další čtení