O-minimální teorie - O-minimal theory
v matematická logika a konkrétněji v teorie modelů, nekonečný struktura (M, <, ...) což je úplně objednané by
O-minimalitu lze považovat za slabou formu eliminace kvantifikátoru. Struktura M je o-minimální právě tehdy, když každý vzorec s jednou volnou proměnnou a parametry v M je ekvivalentní vzorci bez kvantifikátoru, který zahrnuje pouze řazení, také s parametry v M. To je analogické s minimální struktury, které jsou přesně obdobnou vlastností až po rovnost.
A teorie T je o-minimální teorie pokud každý Modelka z T je o-minimální. Je známo, že úplná teorie T o-minimální struktury je o-minimální teorie.[1] Tento výsledek je pozoruhodný, protože naproti tomu úplná teorie minimální struktury nemusí být a silně minimální teorie, to znamená, že může existovat elementárně ekvivalentní struktura, která není minimální.
Set-teoretická definice
O-minimální struktury lze definovat bez použití teorie modelů. Zde definujeme strukturu na neprázdné množině M množinově-teoretickým způsobem, jako posloupnost S = (Sn), n = 0,1,2, ... takové, že
- Sn je booleovská algebra podskupin Mn
- -li A ∈ Sn pak M × A a A ×M jsou v Sn+1
- množina {(X1,...,Xn) ∈ Mn : X1 = Xn} je v Sn
- -li A ∈ Sn+1 a π : Mn+1 → Mn je projekční mapa na první n tedy souřadnice π(A) ∈ Sn.
Li M má hustý lineární řád bez koncových bodů, řekněme <, pak strukturu S na M se nazývá o-minimal, pokud splňuje další axiomy
- množina {(X,y) ∈ M2 : X < y} je v S2
- sady S1 jsou přesně konečná spojení intervalů a bodů.
„O“ znamená „order“, protože jakákoli o-minimální struktura vyžaduje uspořádání na podkladové sadě.
Modelová teoretická definice
O-minimální struktury vznikly v teorii modelů, a proto mají jednodušší, ale ekvivalentní definici pomocí jazyka teorie modelů.[2] Konkrétně pokud L je jazyk obsahující binární relaci <, a (M, <, ...) je L-struktura, kde
Příklady
Příklady o-minimálních teorií jsou:
- Kompletní teorie hustých lineárních objednávek v jazyce s pouhým objednáváním.
- RCF, teorie z skutečná uzavřená pole.[4]
- Kompletní teorie skutečné pole s omezeným analytické funkce přidáno (tj. analytické funkce na sousedství [0,1]n, omezeno na [0,1]n; Všimněte si, že neomezená sinusová funkce má nekonečně mnoho kořenů, a proto ji nelze definovat v o-minimální struktuře.)
- Kompletní teorie reálného pole se symbolem pro exponenciální funkce podle Wilkieho věta. Obecněji, úplná teorie reálných čísel s Pfaffianovy funkce přidané.
- Poslední dva příklady lze kombinovat: vzhledem k jakékoli o-minimální expanzi reálného pole (například reálného pole s omezenými analytickými funkcemi) lze definovat jeho Pfaffianův uzávěr, což je opět o-minimální struktura.[5] (Pfaffianský uzávěr struktury je uzavřen zejména pod Pfaffianskými řetězci, kde se místo polynomů používají libovolné definovatelné funkce.)
V případě RCF jsou definovatelné množiny semialgebraické množiny. Tak se zobecňuje studium o-minimálních struktur a teorií skutečná algebraická geometrie. Hlavní řada současného výzkumu je založena na objevování expanzí skutečného uspořádaného pole, které jsou o-minimální. I přes obecnost aplikace lze hodně ukázat o geometrii množiny definovatelné v o-minimálních strukturách. Existuje věta o buněčném rozkladu,[6] Whitney a Verdier stratifikace věty a dobrý pojem dimenze a Eulerovy charakteristiky.
Viz také
- Semialgebraická množina
- Skutečná algebraická geometrie
- Silně minimální teorie
- Slabě o-minimální struktura
- C-minimální teorie
Poznámky
- ^ Knight, Pillay a Steinhorn (1986), Pillay a Steinhorn (1988).
- ^ Marker (2002), s. 81
- ^ Podmínka, že interpretace
PAN0899083 a PAN0943306. - ^ Marker (2002) str.99
- ^ Patrick Speisseger, Pfaffianovy sady a o-minimality, v: Přednášky o minimálních strukturách a skutečné analytické geometrii, C. Miller, J.-P. Rolin a P. Speissegger (eds.), Fields Institute Communications sv. 62, 2012, s. 179–218. doi:10.1007/978-1-4614-4042-0_5
- ^ Marker (2002), s. 103
Reference
- van den Dries, Lou (1998). Zkrotit topologii a o-minimální struktury. Série přednášek London Mathematical Society. 248. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045.
- Marker, David (2000). „Recenze“ krotké topologie a o-minimálních struktur"" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 37 (3): 351–357. doi:10.1090 / S0273-0979-00-00866-1.
- Marker, David (2002). Teorie modelu: Úvod. Postgraduální texty z matematiky. 217. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034.
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definovatelné sady v uspořádaných strukturách I" (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 295 (2): 565–592. doi:10.2307/2000052. JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023.
- Rytíř, Julia; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). „Definovatelné sady v uspořádaných strukturách II“. Transakce Americké matematické společnosti. 295 (2): 593–605. doi:10.2307/2000053. JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024.
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). „Definovatelné sady v uspořádaných strukturách III“. Transakce Americké matematické společnosti. 309 (2): 469–476. doi:10.2307/2000920. JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024.
- Wilkie, A.J. (1996). "Výsledky úplnosti modelu pro rozšíření uspořádaného pole reálných čísel omezenými Pfaffianovými funkcemi a exponenciální funkcí" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 9 (4): 1051–1095. doi:10.1090 / S0894-0347-96-00216-0.
- Denef, J .; van den Dries, L. (1989). "str-adické a skutečné subanalytické množiny ". Annals of Mathematics. 128 (1): 79–138. doi:10.2307/1971463. JSTOR 1971463.