Kužel (topologie) - Cone (topology)

Kužel kruhu. Původní prostor je modrý a sbalený koncový bod je zelený.

v topologie, zvláště algebraická topologie, kužel ${ displaystyle CX}$ a topologický prostor ${ displaystyle X}$ je kvocientový prostor:

{ displaystyle CX = (X krát I) / (X krát {0 })}

z produkt z X s jednotkový interval ${ displaystyle I = [0,1]}$ . Tato konstrukce intuitivně umožňuje X do válec a zhroutí jeden konec válce na a směřovat.

Li ${ displaystyle X}$ je kompaktní podprostor Euklidovský prostor, kužel zapnutý ${ displaystyle X}$ je homeomorfní do svaz segmentů z ${ displaystyle X}$ do libovolného pevného bodu ${ displaystyle v not v X}$ takové, že se tyto segmenty protínají pouze o ${ displaystyle v}$ sám. To znamená, že topologický kužel souhlasí s geometrickým kuželem pro kompaktní prostory, když je definován druhý. Konstrukce topologického kužele je však obecnější.

Příklady

Zde místo topologického často používáme geometrický kužel (definovaný v úvodu). Uvažované prostory jsou kompaktní, takže dostaneme stejný výsledek až do homeomorfismu.

Kužel nad bodem p z skutečná linie je interval ${ displaystyle {p } krát [0,1]}$ .
Kužel přes dva body {0, 1} je tvar „V“ s koncovými body u {0} a {1}.
Kužel nad a uzavřený interval Já skutečné linky je vyplněno trojúhelník (s jedním z okrajů Já), jinak známý jako 2-simplex (viz poslední příklad).
Kužel nad a polygon P je pyramida se základnou P.
Kužel nad a disk je pevná látka kužel klasické geometrie (odtud název konceptu).
Kužel nad a kruh dána

{ displaystyle {(x, y, z) v mathbb {R} ^ {3} uprostřed x ^ {2} + y ^ {2} = 1 { mbox {and}} z = 0 } }

je zakřivený povrch pevného kužele:

{ displaystyle {(x, y, z) v mathbb {R} ^ {3} uprostřed x ^ {2} + y ^ {2} = (z-1) ^ {2} { mbox { a}} 0 leq z leq 1 }.}

To je zase homeomorfní pro uzavřené disk.

Obecně platí, že kužel nad n-koule je homeomorfní pro uzavřené (n + 1)-míč.
Kužel nad n-simplexní je (n + 1) -simplex.

Vlastnosti

Všechny kužely jsou spojeno s cestou protože každý bod lze připojit k vrcholu. Kromě toho je každý kužel smluvní do bodu vrcholu za homotopy

{ displaystyle h_ {t} (x, s) = (x, (1-t) s)}

.

Kužel se používá v algebraické topologii právě proto vloží prostor jako a podprostor smluvního prostoru.

Když X je kompaktní a Hausdorff (v zásadě, když X může být vložen do euklidovského prostoru), pak kužel ${ displaystyle CX}$ lze vizualizovat jako kolekci linií spojujících každý bod X do jediného bodu. Tento obrázek však selže, když X není kompaktní nebo není Hausdorff, jak obecně kvocient topologie na ${ displaystyle CX}$ bude jemnější než sada spojovacích čar X do bodu.

Funktor kužele

Mapa ${ displaystyle X mapsto CX}$ indukuje a funktor ${ displaystyle C colon mathbf {začátek} na mathbf {začátek}}$ na kategorie topologických prostorů Horní. Li ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ je průběžná mapa, pak ${ displaystyle Cf colon CX to CY}$ je definováno

{ displaystyle (Cf) ([x, t]) = [f (x), t]}

,

kde hranaté závorky označují třídy ekvivalence.

Snížený kužel

Li ${ displaystyle (X, x_ {0})}$ je špičatý prostor existuje související konstrukce, redukovaný kužel, dána

{ displaystyle (X krát [0,1]) / (X krát vlevo {0 doprava } pohár vlevo {x_ {0} doprava } krát [0,1])}

kde základní bod redukovaného kužele považujeme za třídu ekvivalence ${ displaystyle (x_ {0}, 0)}$ . S touto definicí přirozené začlenění ${ displaystyle x mapsto (x, 1)}$ se stane základní mapou. Tato konstrukce také dává funktor z kategorie špičatých prostorů pro sebe.

Viz také

Reference

Allen Hatcher, Algebraická topologie. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 stran ISBN 0-521-79160-X a ISBN 0-521-79540-0
"Kužel". PlanetMath.