Biprodukt - Biproduct - Wikipedia
v teorie kategorií a jeho aplikace pro matematika, a dvojprodukt konečné sbírky předměty, v kategorie s nulové objekty, je obojí produkt a a koprodukt. V preadditive kategorie představy o produktu a koproduktech se shodují pro konečné sbírky předmětů.[1] Biprodukt je zobecněním konečného přímé součty modulů.
Definice
Nechat C být kategorie s nulové morfismy. Dostal konečnou (možná prázdnou) sbírku předmětů A1, ..., An v C, jejich dvojprodukt je objekt v C dohromady s morfismy
uspokojující
- morfismus identity a
- , nulový morfismus pro
a takhle
V preadditive kategoriích tyto poslední dvě podmínky vyplývají ze zbytku definice, když n> 0.[2] Prázdný, nebo nullary, produkt je vždy koncový objekt v kategorii a prázdný koprodukt je vždy počáteční objekt v kategorii. Prázdný nebo nulární biprodukt je tedy vždy a nulový objekt.
Příklady
V kategorii abelianské skupiny, biprodukty vždy existují a jsou dány přímý součet.[3] Nulovým objektem je triviální skupina.
Podobně existují i dvouprodukty v EU kategorie vektorových prostorů přes pole. Dvojprodukt je opět přímým součtem a nulovým objektem je triviální vektorový prostor.
Obecněji řečeno, v produkci existují dva produkty kategorie modulů přes prsten.
Na druhé straně v Bi-produktech neexistují kategorie skupin.[4] Tady je produkt přímý produkt, ale vedlejším produktem je produkt zdarma.
Také v produkci neexistují dvojprodukty kategorie sad. Produkt je dán kartézský součin, zatímco koprodukt je dán disjunktní unie. Tato kategorie nemá nulový objekt.
Bloková matice algebra spoléhá na biprodukty v kategoriích matice.[5]
Vlastnosti
Pokud je to dvojprodukt existuje pro všechny páry objektů A a B v kategorii C, a C má nulový objekt, pak existují všechny konečné biprodukty, takže C oba a Kartézská monoidní kategorie a ko-kartézská monoidní kategorie.
Pokud produkt a koprodukt oba existují pro nějaký pár objektů A1, A2 pak existuje jedinečný morfismus takhle
- pro [je zapotřebí objasnění ]
Z toho vyplývá, že biprodukt existuje právě tehdy F je izomorfismus.
Li C je preadditive kategorie, pak je každý konečný produkt biproduktem a každý konečný koprodukt je biproduktem. Například pokud existuje, pak existují jedinečné morfismy takhle
- pro
To vidět je nyní také koproduktem, a tedy i dvojproduktem, předpokládejme, že máme morfismy pro nějaký objekt . Definovat Pak je morfismus z na , a pro .
V tomto případě vždy máme
An kategorie přísad je preadditive kategorie ve kterém existují všechny konečné biprodukty. Zejména biprodukty vždy existují v abelianské kategorie.
Reference
- ^ Borceux, 4-5
- ^ Saunders Mac Lane - Kategorie pro Working Mathematician, druhé vydání, strana 194.
- ^ Borceux, 8
- ^ Borceux, 7
- ^ H.D. Macedo, J.N. Oliveira, Psaní lineární algebry: Přístup zaměřený na dva produkty, Science of Computer Programming, svazek 78, číslo 11, 1. listopadu 2013, strany 2160-2191, ISSN 0167-6423, doi:10.1016 / j.scico.2012.07.012.
- Borceux, Francis (2008). Příručka kategorické algebry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06122-3.