Biprodukt - Biproduct - Wikipedia

v teorie kategorií a jeho aplikace pro matematika, a dvojprodukt konečné sbírky předměty, v kategorie s nulové objekty, je obojí produkt a a koprodukt. V preadditive kategorie představy o produktu a koproduktech se shodují pro konečné sbírky předmětů.^[1] Biprodukt je zobecněním konečného přímé součty modulů.

Definice

Nechat C být kategorie s nulové morfismy. Dostal konečnou (možná prázdnou) sbírku předmětů A₁, ..., A_n v C, jejich dvojprodukt je objekt ${ textstyle A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}}$ v C dohromady s morfismy

• ${ textstyle p_ {k} !: A_ {1} oplus dots oplus A_ {n} až A_ {k}}$ v C (dále jen projekce morfismy)
• ${ textstyle i_ {k} !: A_ {k} až A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}}$ (dále jen vkládání morfismy)

uspokojující

• ${ textstyle p_ {k} circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}}$morfismus identity ${ displaystyle A_ {k},}$ a
• ${ textstyle p_ {l} circ i_ {k} = 0}$, nulový morfismus ${ displaystyle A_ {k} až A_ {l},}$ pro ${ displaystyle k neq l,}$

a takhle

• ${ textstyle left (A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}, p_ {k} right)}$ je produkt pro ${ textstyle A_ {k},}$ a
• ${ textstyle left (A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}, i_ {k} right)}$ je koprodukt pro ${ textstyle A_ {k}.}$

V preadditive kategoriích tyto poslední dvě podmínky vyplývají ze zbytku definice, když n> 0.^[2] Prázdný, nebo nullary, produkt je vždy koncový objekt v kategorii a prázdný koprodukt je vždy počáteční objekt v kategorii. Prázdný nebo nulární biprodukt je tedy vždy a nulový objekt.

Příklady

V kategorii abelianské skupiny, biprodukty vždy existují a jsou dány přímý součet.^[3] Nulovým objektem je triviální skupina.

Podobně existují i ​​dvouprodukty v EU kategorie vektorových prostorů přes pole. Dvojprodukt je opět přímým součtem a nulovým objektem je triviální vektorový prostor.

Obecněji řečeno, v produkci existují dva produkty kategorie modulů přes prsten.

Na druhé straně v Bi-produktech neexistují kategorie skupin.^[4] Tady je produkt přímý produkt, ale vedlejším produktem je produkt zdarma.

Také v produkci neexistují dvojprodukty kategorie sad. Produkt je dán kartézský součin, zatímco koprodukt je dán disjunktní unie. Tato kategorie nemá nulový objekt.

Bloková matice algebra spoléhá na biprodukty v kategoriích matice.^[5]

Vlastnosti

Pokud je to dvojprodukt ${ textstyle A oplus B}$ existuje pro všechny páry objektů A a B v kategorii C, a C má nulový objekt, pak existují všechny konečné biprodukty, takže C oba a Kartézská monoidní kategorie a ko-kartézská monoidní kategorie.

Pokud produkt ${ textstyle A_ {1} krát A_ {2}}$ a koprodukt ${ textstyle A_ {1} coprod A_ {2}}$ oba existují pro nějaký pár objektů A₁, A₂ pak existuje jedinečný morfismus ${ textstyle f: A_ {1} coprod A_ {2} až A_ {1} krát A_ {2}}$ takhle

• ${ displaystyle p_ {k} circ f circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}, (k = 1,2)}$
• ${ displaystyle p_ {l} circ f circ i_ {k} = 0}$ pro ${ textstyle k neq l.}$^{[je zapotřebí objasnění ]}

Z toho vyplývá, že biprodukt ${ textstyle A_ {1} oplus A_ {2}}$ existuje právě tehdy F je izomorfismus.

Li C je preadditive kategorie, pak je každý konečný produkt biproduktem a každý konečný koprodukt je biproduktem. Například pokud ${ textstyle A_ {1} krát A_ {2}}$ existuje, pak existují jedinečné morfismy ${ textstyle i_ {k}: A_ {k} až A_ {1} krát A_ {2}}$ takhle

• ${ displaystyle p_ {k} circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}, (k = 1,2)}$
• ${ displaystyle p_ {l} circ i_ {k} = 0}$ pro ${ textstyle k neq l.}$

To vidět ${ textstyle A_ {1} krát A_ {2}}$ je nyní také koproduktem, a tedy i dvojproduktem, předpokládejme, že máme morfismy ${ textstyle f_ {k}: A_ {k} až X, k = 1,2}$ pro nějaký objekt ${ textstyle X}$. Definovat ${ textstyle f: = f_ {1} circ p_ {1} + f_ {2} circ p_ {2}.}$ Pak ${ textstyle f}$ je morfismus z ${ textstyle A_ {1} krát A_ {2}}$ na ${ textstyle X}$, a ${ textstyle f circ i_ {k} = f_ {k}}$ pro ${ textstyle k = 1,2}$.

V tomto případě vždy máme

• ${ textstyle i_ {1} circ p_ {1} + i_ {2} circ p_ {2} = 1_ {A_ {1} krát A_ {2}}.}$

An kategorie přísad je preadditive kategorie ve kterém existují všechny konečné biprodukty. Zejména biprodukty vždy existují v abelianské kategorie.

Reference

• Borceux, Francis (2008). Příručka kategorické algebry. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-06122-3.