Axiom extenzivity - Axiom of extensionality

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v axiomatická teorie množin a pobočky logika, matematika, a počítačová věda kteří to používají, axiom roztažnostinebo axiom prodloužení, jeden z axiomy z Teorie množin Zermelo – Fraenkel.

Formální prohlášení

V formální jazyk axiomů Zermelo – Fraenkel, axiom zní:

${ displaystyle forall A , forall B , ( forall X , (X v A iff X v B) implikuje A = B)}$

nebo slovy:

Vzhledem k jakékoli soubor A a libovolná sada B, pokud pro každou sadu X, X je členem A kdyby a jen kdyby X je členem B, pak A je rovnat se na B.

(To není opravdu nutné X tady buď soubor - ale v ZF, vše je. Vidět Ur-prvky níže, pokud je to porušeno.)

Naopak, ${ displaystyle forall A , forall B , (A = B znamená forall X , (X v A iff X v B)),}$ tohoto axiomu vyplývá ze substituční vlastnosti rovnost.

Výklad

Pro pochopení tohoto axiomu si povšimněte, že klauzule v závorkách ve výše uvedeném symbolickém prohlášení to jednoduše uvádí A a B mají přesně stejné členy. Axiom tedy ve skutečnosti říká, že dvě množiny jsou stejné kdyby a jen kdyby mají přesně stejné členy. Podstatou toho je:

Sada je jednoznačně určena jejími členy.

Axiom roztažnosti lze použít s jakýmkoli výrokem formuláře${ displaystyle existuje A , pro všechny X , (X v A iff P (X) ,)}$,kde P je jakýkoli unární predikát to nezmiňuje A, definovat jedinečnou sadu ${ displaystyle A}$ jehož členy jsou přesně množiny splňující predikát ${ displaystyle P}$Poté můžeme zavést nový symbol pro ${ displaystyle A}$; je to takhle definice v běžné matematice nakonec fungují, když jsou jejich výroky redukovány na čistě teoreticko-teoretické pojmy.

Axiom extenzionality je obecně nekontroverzní v teoreticko-teoretických základech matematiky a jeho ekvivalent se objevuje téměř v jakékoli alternativní axiomatizaci teorie množin. Může však vyžadovat úpravy pro některé účely, jak je uvedeno níže.

V predikátové logice bez rovnosti

Axiom uvedený výše předpokládá, že rovnost je primitivní symbol predikátová logika Některá ošetření teorie axiomatických množin se raději obejdou bez toho, a místo toho s výše uvedeným tvrzením nepracují jako s axiomem, ale jako s definice Poté je nutné zahrnout obvyklé axiomy rovnosti z predikátové logiky jako axiomy o tomto definovaném symbolu. Většina axiomů rovnosti stále vyplývá z definice; zbývající je substituční vlastnost,

${ Displaystyle forall A , forall B , ( forall X , (X in A iff X in B) implikuje forall Y , (A in Y iff B in Y) ,),}$

a stane se tento axiom, který se v tomto kontextu označuje jako axiom extenzionality.

V teorii množin s ur-prvky

An ur-prvek je členem množiny, která sama není množinou. V axiomech Zermelo – Fraenkel neexistují žádné ur-prvky, ale jsou zahrnuty v některých alternativních axiomatisacích teorie množin. S ur-prvky lze zacházet jako s různými logický typ ze sad; v tomto případě, ${ displaystyle B v A}$ nedává smysl, pokud ${ displaystyle A}$ je ur-prvek, takže axiom rozšířenosti jednoduše platí pouze pro množiny.

Alternativně můžeme v netypové logice vyžadovat ${ displaystyle B v A}$ být kdykoli falešný ${ displaystyle A}$ je ur-element. V takovém případě by pak obvyklý axiom extenzity znamenal, že každý ur-element se rovná prázdná sada Abychom se tomuto následku vyhnuli, můžeme upravit axiom extenzity tak, aby platil pouze pro neprázdné množiny, aby zněl:

${ displaystyle forall A , forall B , ( existuje X , (X v A) implikuje [ forall Y , (Y v A iff Y v B) implikuje A = B ] ,).}$

To je:

Vzhledem k jakékoli sadě A a libovolná sada B, -li A je neprázdná sada (tj. pokud existuje člen X z A), pak -li A a B mít přesně stejné členy, pak jsou si rovni.

Ještě další alternativou v netypové logice je definování ${ displaystyle A}$ sám o sobě je jediným prvkem ${ displaystyle A}$kdykoli ${ displaystyle A}$ je ur-prvek. I když tento přístup může sloužit k zachování axiomu roztažnosti, axiom pravidelnosti bude místo toho potřebovat úpravu.

Viz také

• Roztažnost pro obecný přehled.

Reference

• Paul Halmos, Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti. Elsevier. ISBN  0-444-86839-9.