Atkinsonsova věta - Atkinsons theorem - Wikipedia

v teorie operátorů, Atkinsonova věta (pojmenováno pro Frederick Valentine Atkinson ) dává charakteristiku Provozovatelé Fredholm.

Věta

Nechat H být Hilbertův prostor a L(H) sada omezených operátorů na H. Následuje klasická definice a Operátor Fredholm: operátor T ∈ L(H) se říká, že je operátorem Fredholm, pokud jádro Ker (T) je konečně-dimenzionální, Ker (T *) je konečně-dimenzionální (kde.) T * označuje adjoint z T) a rozsah Běžel(T) je zavřený.

Atkinsonova věta uvádí:

A T ∈ L(H) je provozovatelem společnosti Fredholm právě tehdy T je invertibilní modulo kompaktní porucha, tj. TS = Já + C₁ a SVATÝ = Já + C₂ pro nějakého omezeného operátora S a kompaktní operátory C₁ a C₂.

Jinými slovy, operátor T ∈ L(H) je Fredholm, v klasickém slova smyslu, právě když jeho projekce v Calkinova algebra je invertibilní.

Náčrt důkazu

Obrys důkazu je následující. Pro implikaci ⇒ vyjádřete H jako ortogonální přímý součet

${ displaystyle H = operatorname {Ker} (T) ^ { perp} oplus operatorname {Ker} (T).}$

K omezení T : Ker (T)^⊥ → Ran (T) je bijekce, a proto je invertibilní otevřená věta o mapování. Rozšířit tuto inverzi o 0 na Ran (T)^⊥ = Ker (T *) provozovateli S definované na všech H. Pak Já − TS je konečná hodnost projekce na Ker (T *), a Já − SVATÝ je projekce na Ker (T). To se ukazuje jako jediná, pokud je součástí věty.

Pro konverzaci předpokládejme, že teď SVATÝ = Já + C₂ pro nějakého kompaktního operátora C₂. Li X ∈ Ker (T), pak STx = X + C₂X = 0. Takže Ker (T) je obsažen ve vlastním prostoru C₂, který je konečně-dimenzionální (viz spektrální teorie kompaktních operátorů ). Proto Ker (T) je také konečně-dimenzionální. Stejný argument ukazuje, že Ker (T *) je také konečně-dimenzionální.

Dokázat, že Ran (T) je uzavřen, využíváme aproximační vlastnost: nechte F být operátor konečné pozice takové, že ||F − C₂|| < r. Pak pro každého X v Ker (F),

||S||·||Tx|| ≥ ||STx|| = ||X + C₂X|| = ||X + Fx +C₂X − Fx|| ≥ || x || - ||C₂ − F|| · || x || ≥ (1 - r)||X||.

Tím pádem T je omezen níže na Ker (F), což z toho vyplývá T(Ker (F)) je uzavřen. Na druhou stranu, T(Ker (F)^⊥) je konečně-dimenzionální, protože Ker (F)^⊥ = Běžel (F*) je konečný rozměr. Proto běžel (T) = T(Ker (F)) + T(Ker (F)^⊥) je uzavřen, a to dokazuje teorém.

Ucelenější zpracování Atkinsonovy věty je v odkazu Arvesona: ukazuje, že pokud B je Banachův prostor, operátor je Fredholm, pokud je to invertible modulo operátor konečné pozice (a že ten je ekvivalentní tomu, že je invertible modulo a compact operátor, což je významné z hlediska Enflova příkladu oddělitelného, ​​reflexivního Banachova prostoru s kompaktními operátory, které nejsou normovými limity operátorů konečné řady). Pro Banachovy prostory je Fredholmův operátor operátor s konečným dimenzionálním jádrem a rozsahem konečné dimenze (ekvivalent k tomu, že jádro jeho adjunktu je konečný rozměr). Všimněte si, že hypotéza, která proběhla (T) is closed is redundant since a space of finite codimension that is also the range of a bounded operator is always closed (see Arveson reference below); je to důsledek věty o otevřeném mapování (a není to pravda, pokud prostor není rozsahem omezeného operátoru, například jádra diskontinuální lineární funkce).

Reference

• Atkinson, F. V. (1951). "Normální řešitelnost lineárních rovnic v normovaných prostorech". Rohož. Sb. 28 (70): 3–14. Zbl  0042.12001.
• Arveson, William B., Krátký kurz o spektrální teorii, Springer Graduate Texts in Mathematics, sv. 209, 2002, ISBN  0387953000