Motýl Hofstadters - Hofstadters butterfly - Wikipedia

Vykreslení motýla od Hofstadter

v fyzika kondenzovaných látek, Hofstadterův motýl popisuje spektrální vlastnosti neinteragujících dvojrozměrných elektronů v a magnetické pole v mříž. Fraktál, podobný povaha spektra byla objevena v roce 1976 Ph.D. práce Douglas Hofstadter^[1] a je jedním z prvních příkladů počítačové grafiky. Název odráží vizuální podobnost postavy napravo od roje motýli létání do nekonečna.^{[Citace je zapotřebí ]}

Motýl Hofstadter hraje důležitou roli v teorii celého čísla kvantový Hallův jev a teorie topologická kvantová čísla.

Dějiny

První matematický popis elektronů na 2D mřížce, na který působí homogenní magnetické pole, studoval Rudolf Peierls a jeho student R. G. Harper v 50. letech.^[2][3]

Hofstadter popsal strukturu v roce 1976 v článku o energetické hladiny z Blochujte elektrony v magnetických polích.^[1] Poskytuje grafické znázornění spektra Harperovy rovnice na různých frekvencích. Složitou matematickou strukturu tohoto spektra nezávisle objevil sovětský fyzik Mark Azbel v roce 1964 (model Azbel-Hofstadter),^[4] ale Azbel nevykreslil strukturu jako geometrický objekt.

Napsáno, když byl Hofstadter u University of Oregon, jeho práce byla vlivná při směrování dalšího výzkumu. Z teoretických důvodů předpověděl, že povolené hodnoty energetické hladiny elektronu v dvojrozměrném stavu čtvercová mříž, jako funkce magnetického pole aplikovaného na systém, formoval to, co je nyní známé jako a fraktální sada. To znamená, distribuce energetických úrovní pro malé změny v aplikovaném magnetickém poli rekurzivně opakovat vzory vidět ve velkém měřítku struktury.^[1] „Gplot“, jak postavu nazval Hofstadter, byl popsán jako rekurzivní struktura ve svém článku z roku 1976 v Fyzický přehled B,^[1] napsáno dříve Benoit Mandelbrot Nově vytvořené slovo „fractal“ bylo představeno v anglickém textu. Hofstadter také popisuje tuto postavu ve své knize z roku 1979 Gödel, Escher, Bach. Struktura se stala obecně známá jako „Hofstadterův motýl“.

David J. Thouless a jeho tým zjistil, že křídla motýla jsou charakterizována Chern celá čísla, které poskytují způsob výpočtu Hallova vodivost v Hofstadterově modelu.^[5]

potvrzení

Simulace elektronů pomocí supravodivých qubitů přinesla Hofstadterův motýl

V roce 1997 byl motýl Hofstadter reprodukován v experimentech s mikrovlnným vedením vybaveným řadou rozptylovačů.^[6] Podobnost mezi matematickým popisem mikrovlnného vodítka s rozptylovači a Blochovými vlnami v magnetickém poli umožnila reprodukci motýla Hofstadter pro periodické sekvence rozptylovačů.

V roce 2001 Christian Albrecht, Klaus von Klitzing a spolupracovníci realizovali experimentální nastavení pro testování Thoulessa et al.předpovědi ohledně Hofstadterova motýla s a dvourozměrný elektronový plyn ve supperlattickém potenciálu.^[7][2]

V roce 2013 tři samostatné skupiny vědců nezávisle nahlásily důkazy o motýlovém spektru Hofstadter v grafen zařízení vyrobená na šestiúhelníku nitrid boru substráty.^[8][9][10] V tomto případě je motýlové spektrum výsledkem souhry mezi aplikovaným magnetickým polem a velkým měřítkem moaré vzor který se vyvíjí, když je mřížka grafenu orientována s nesouladem téměř nulového úhlu k nitridu boru.

V září 2017 skupina Johna Martinise ve společnosti Google ve spolupráci se skupinou Angelakis ve společnosti CQT Singapur, publikované výsledky ze simulace 2D elektronů v magnetickém poli pomocí interagujících fotonů v 9 supravodivých qubits. Simulace podle očekávání obnovila Hofstadterův motýl.^[11]

Teoretický model

Motýl Hofstadter je grafickým řešením Harperovy rovnice, kde je energetický poměr ${ displaystyle epsilon}$ je vyneseno jako funkce poměru toku ${ displaystyle 2 pi alpha}$.

Ve své původní práci Hofstadter uvažuje o následujícím odvození:^[1] nabitá kvantová částice v dvourozměrné čtvercové mřížce s roztečí mřížek ${ displaystyle a}$, je popsán periodicky Schrödingerova rovnice, pod statickým homogenním magnetickým polem omezeným na jediné Blochovo pásmo. Pro 2D čtvercovou mřížku je pevná vazba energie disperzní vztah je

${ displaystyle W ( mathbf {k}) = E_ {0} ( cos k_ {x} a + cos k_ {y} a) = { frac {E_ {0}} {2}} (e ^ { ik_ {x} a} + e ^ {- ik_ {x} a} + e ^ {ik_ {y} a} + e ^ {- ik_ {y} a})}$,

kde ${ displaystyle W ( mathbf {k})}$ je energetická funkce, ${ displaystyle mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y})}$ je hybnost krystalu, a ${ displaystyle E_ {0}}$ je empirický parametr. Magnetické pole ${ displaystyle mathbf {B} = nabla krát mathbf {A}}$, kde ${ displaystyle mathbf {A}}$ the potenciál magnetického vektoru, lze zohlednit pomocí Střídání podle Peierlse, nahrazující hybnost krystalu kanonickou hybností ${ displaystyle hbar mathbf {k} to mathbf {p} -q mathbf {A}}$, kde ${ displaystyle mathbf {p} = (p_ {x}, p_ {y})}$ je částice operátor hybnosti a ${ displaystyle q}$ je náboj částice (${ displaystyle q = -e}$ pro elektron, ${ displaystyle e}$ je základní náboj ). Pro větší pohodlí jsme zvolili měřidlo ${ displaystyle mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$.

Pomocí toho ${ displaystyle e ^ {ip_ {j} a}}$ je překladatel, aby ${ displaystyle e ^ {ip_ {j} a} psi (x, y) = psi (x + a, y)}$, kde ${ displaystyle j = x, y, z}$ a ${ displaystyle psi ( mathbf {r}) = psi (x, y)}$ je dvojrozměrná částice vlnová funkce. Jeden může použít ${ displaystyle W ( mathbf {p} -q mathbf {A})}$ jako efektivní Hamiltonian získat následující časově nezávislou Schrödingerovu rovnici:

${ displaystyle E psi (x, y) = { frac {E_ {0}} {2}} vlevo [ psi (x + a, y) + psi (xa, y) + psi (x , y + a) e ^ {- iqBxa / hbar} + psi (x, ya) e ^ {+ iqBxa / hbar} vpravo].}$

Vzhledem k tomu, že částice může skákat pouze mezi body v mřížce, píšeme ${ displaystyle x = na, y = ma}$, kde ${ displaystyle n, m}$ jsou celá čísla. Hofstadter činí následující ansatz: ${ displaystyle psi (x, y) = g_ {n} e ^ {i nu m}}$, kde ${ displaystyle nu}$ závisí na energii, aby se získala Harperova rovnice (také známá jako téměř operátor Mathieu pro ${ displaystyle lambda = 1}$):

${ displaystyle g_ {n + 1} + g_ {n-1} +2 cos (2 pi n alpha - nu) g_ {n} = epsilon g_ {n},}$

kde ${ displaystyle epsilon = 2E / E_ {0}}$ a ${ displaystyle alpha = phi (B) / phi _ {0}}$, ${ displaystyle phi (B) = Ba ^ {2}}$ je úměrný magnetickému toku skrz mřížkovou buňku a ${ displaystyle phi _ {0} = 2 pi hbar / q}$ je kvantový magnetický tok. Poměr toku ${ displaystyle alpha}$ lze také vyjádřit pomocí magnetické délky ${ textstyle l _ { rm {m}} = { sqrt { hbar / eB}}}$, takový, že ${ textstyle alpha = (2 pi) ^ {- 1} (a / l _ { rm {m}}) ^ {2}}$.^[1]

Hofstadterův motýl je výslednou zápletkou ${ displaystyle epsilon _ { alpha}}$ jako funkce poměru toku ${ displaystyle alpha}$, kde ${ displaystyle epsilon _ { alpha}}$ je množina všeho možného ${ displaystyle epsilon}$ které jsou řešením Harperovy rovnice.

Řešení Harperovy rovnice a Wannierova zacházení

Hofstadterův fázový diagram motýlů při nulové teplotě. Vodorovná osa označuje hustotu elektronů, počínaje bez elektronů zleva. Svislá osa ukazuje sílu magnetického toku, počínaje od nuly dole, vzor se periodicky opakuje pro vyšší pole. Barvy představují Chernova čísla mezer ve spektru, také známá jako celá čísla TKNN (Thouless, Kohmoto, Nightingale a Nijs). Namodralé studené barvy označují záporná čísla Chern, teplé červené barvy označují kladná čísla Chern, bílá označuje nulu.^[2]

Kvůli vlastnostem kosinové funkce je vzor periodický ${ displaystyle alpha}$ s periodou 1 (opakuje se pro každý kvantový tok na jednotku buňky). Graf v oblasti ${ displaystyle alpha}$ mezi 0 a 1 má reflexní symetrie v řádcích ${ textstyle alpha = { frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle epsilon = 0}$.^[1] Všimněte si, že ${ displaystyle epsilon}$ je nutně ohraničeno mezi -4 a 4.^[1]

Harperova rovnice má zvláštní vlastnost, že řešení závisí na racionalitě ${ displaystyle alpha}$. Zaváděním periodicity ${ displaystyle n}$, lze ukázat, že pokud ${ displaystyle alpha = P / Q}$ (A racionální číslo ), kde ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$ jsou odlišné prvočísla, existují přesně ${ displaystyle Q}$ energetické pásma.^[1] Pro velké ${ displaystyle Q gg P}$, energetické pásma konvergují k tenkým energetickým pásmům odpovídajícím Úrovně Landau.

Gregory Wannier ukázal, že s přihlédnutím k hustota stavů, lze získat a Diophantine rovnice který popisuje systém,^[12] tak jako

${ displaystyle { frac {n} {n_ {0}}} = S + T alpha}$

kde

${ displaystyle n = int _ {- 4} ^ { epsilon _ { rm {F}}} rho ( epsilon) mathrm {d} epsilon ;; ; n_ {0} = int _ {- 4} ^ {4} rho ( epsilon) mathrm {d} epsilon}$

kde ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle T}$ jsou celá čísla a ${ displaystyle rho ( epsilon)}$ je hustota stavů v daném stavu ${ displaystyle alpha}$. Tady ${ displaystyle n}$ počítá počet států do Fermiho energie, a ${ displaystyle n_ {0}}$ odpovídá úrovním úplně vyplněného pásma (od ${ displaystyle epsilon = -4}$ na ${ displaystyle epsilon = 4}$). Tato rovnice charakterizuje všechna řešení Harperovy rovnice. A co je nejdůležitější, lze to odvodit, když ${ displaystyle alpha}$ je iracionální číslo, existuje nekonečně mnoho řešení pro ${ displaystyle epsilon _ { alpha}}$.

Spojení všech ${ displaystyle epsilon _ { alpha}}$ tvoří sebepodobný fraktál, který je diskontinuální mezi racionálními a iracionálními hodnotami ${ displaystyle alpha}$. Tato diskontinuita je nefyzická a kontinuita je obnovena pro konečnou nejistotu v ${ displaystyle B}$^[1] nebo pro mřížky konečné velikosti.^[13] Stupnice, ve které lze motýl vyřešit ve skutečném experimentu, závisí na konkrétních podmínkách systému.^[2]

Fázový diagram, vodivost a topologie

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2020)

The fázový diagram elektronů v dvourozměrné čtvercové mřížce, jako funkce magnetického pole, chemický potenciál a teplota, má nekonečně mnoho fází. Thouless a spolupracovníci ukázali, že každá fáze je charakterizována integrální Hallovou vodivostí, kde jsou povoleny všechny celočíselné hodnoty. Tato celá čísla jsou známá jako Chernova čísla.^[2]

Reference