Teorie Floquet - Floquet theory
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Červenec 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Teorie Floquet je obor teorie obyčejné diferenciální rovnice týkající se třídy řešení periodických lineární diferenciální rovnice formuláře
s A po částech spojité periodická funkce s periodou a definuje stav stability řešení.
Hlavní teorém teorie Floquet, Floquetova věta, kvůli Gaston Floquet (1883 ), dává a kanonická forma pro každého řešení základní matice tohoto společného lineární systém. To dává změna souřadnic s který transformuje periodický systém na tradiční lineární systém s konstantním, skutečným koeficienty.
Při aplikaci na fyzické systémy s periodickými potenciály, jako jsou krystaly v fyzika kondenzovaných látek, výsledek je znám jako Blochova věta.
Všimněte si, že řešení lineární diferenciální rovnice tvoří vektorový prostor. Matice se nazývá a řešení základní matice pokud jsou všechny sloupce lineárně nezávislá řešení. Matice se nazývá a základní řešení základní matice pokud jsou všechny sloupce lineárně nezávislá řešení a existují takhle je identita. Základní základní matici lze zkonstruovat ze základní matice pomocí . Řešení lineární diferenciální rovnice s počáteční podmínkou je kde je jakékoli řešení základní matice.
Floquetova věta
Nechat být lineární diferenciální rovnice prvního řádu, kde je sloupcový vektor délky a an periodická matice s periodou (to je pro všechny skutečné hodnoty ). Nechat být základním maticovým řešením této diferenciální rovnice. Pak pro všechny ,
Tady
je známý jako monodromy matice Navíc pro každou matici (možná složité) takové
existuje periodické (období ) maticová funkce takhle
Také existuje nemovitý matice a a nemovitý periodické (periodické) maticová funkce takhle
Ve výše uvedeném , , a jsou matice.
Důsledky a aplikace
Toto mapování vede k časově závislé změně souřadnic (), podle kterého se náš původní systém stane lineárním systémem se skutečnými konstantními koeficienty . Od té doby je spojitý a periodický, musí být ohraničený. Stabilita nulového řešení pro a je určena vlastními hodnotami .
Zastoupení se nazývá a Floquet normální forma pro základní matici .
The vlastní čísla z se nazývají charakteristické multiplikátory systému. Jsou také vlastními hodnotami (lineárního) Poincaré mapy . A Exponát floet (někdy nazývaný charakteristický exponent), je komplex takhle je charakteristickým multiplikátorem systému. Všimněte si, že exponenty Floquet nejsou jedinečné , kde je celé číslo. Skutečné části exponentů Floquet se nazývají Lyapunovovy exponenty. Nulové řešení je asymptoticky stabilní, pokud jsou všechny Lyapunovovy exponenty záporné, Lyapunov stabilní pokud jsou Lyapunovovy exponenty nepozitivní a jinak nestabilní.
- Teorie floquetu je pro studium velmi důležitá dynamické systémy.
- Teorie Floquet ukazuje stabilitu v Hill diferenciální rovnice (představil George William Hill ) přibližující pohyb měsíc jako harmonický oscilátor v periodiku gravitační pole.
- Změkčení dluhopisů a kalení vazby v intenzivních laserových polích lze popsat pomocí řešení získaných z Floquetovy věty.
Reference
- C. Chicone. Obyčejné diferenciální rovnice s aplikacemi. Springer-Verlag, New York 1999.
- Ekeland, Ivar (1990). "Jeden". Metody konvexity v hamiltonovské mechanice. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)]. 19. Berlín: Springer-Verlag. str. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. PAN 1051888.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Floquet, Gaston (1883), „Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques“ (PDF), Annales de l'École Normale Supérieure, 12: 47–88, doi:10,24033 / asens.220
- Krasnosel'skii, M.A. (1968), Provozovatel překladu podél trajektorií diferenciálních rovnic, Prozřetelnost: Americká matematická společnost, Translation of Mathematical Monographs, 19, 294s.
- W. Magnus, S. Winkler. Hillova rovnice, Edice Dover-Phoenix, ISBN 0-486-49565-5.
- N.W. McLachlan, Teorie a aplikace Mathieuových funkcí, New York: Dover, 1964.
- Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- M.S.P. Eastham, „Spektrální teorie periodických diferenciálních rovnic“, Texty z matematiky, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973. ISBN 978-0-7011-1936-2.
externí odkazy
- "Teorie floquet", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]