Jednotkový tečný svazek - Unit tangent bundle

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v Riemannova geometrie, jednotkový tangenta svazek a Riemannovo potrubí (M, G), označený T¹M, UT (M) nebo jednoduše UTM, je jednotkový sférický svazek pro tečný svazek T (M). Je to svazek vláken přes M jehož vlákno v každém bodě je jednotková koule ve svazku tangenty:

${displaystyle mathrm {UT} (M): = coprod _ {xin M} vlevo {vin mathrm {T} _ {x} (M) vlevo | g_ {x} (v, v) = 1ight.ight},}$

kde T_X(M) označuje tečný prostor na M na X. Prvky UT (M) jsou páry (X, proti), kde X je nějaký bod potrubí a proti je nějaký tečný směr (délky jednotky) k potrubí na X. Jednotkový tangenciální svazek je vybaven přirozeným projekce

${displaystyle pi: mathrm {UT} (M) o M,}$

${displaystyle pi: (x, v) mapsto x,}$

který vezme každý bod svazku do jeho základního bodu. Vlákno π⁻¹(X) přes každý bod X ∈ M je (n−1)-koule Sⁿ⁻¹, kde n je rozměr M. Jednotkový tangensový svazek je tedy a koule svazek přes M s vláknem Sⁿ⁻¹.

Definici svazku jednotkových koulí lze snadno přizpůsobit Finsler potrubí také. Konkrétně pokud M je potrubí vybavené Finslerovou metrikou F : TM → R, pak jednotkový sférický svazek je dílčí svazek tangenciálního svazku, jehož vlákno je na X je ukazatelem F:

${displaystyle mathrm {UT} _ {x} (M) = left {vin mathrm {T} _ {x} (M) left | F (v) = 1ight.ight}.}$

Li M je nekonečně dimenzionální potrubí (například a Banach, Fréchet nebo Hilbert potrubí ), pak UT (M) lze stále považovat za svazek jednotkových koulí pro tangenciální svazek T (M), ale vlákno π⁻¹(X) přes X je pak nekonečně-dimenzionální jednotková koule v tečném prostoru.

Struktury

Jednotkový tangensový svazek nese různé diferenciální geometrické struktury. Metrika zapnuta M indukuje a kontaktní struktura na UTM. To je uvedeno ve smyslu a tautologická jedna forma, definované v bodě u UTM (jednotkový tangensový vektor M) od

${displaystyle heta _ {u} (v) = g (u, pi _ {*} v),}$

kde ${displaystyle pi _ {*}}$ je tlačit kupředu podél π vektoru proti ∈ T_uUTM.

Geometricky lze tuto kontaktní strukturu považovat za distribuci (2n−2) - roviny, které na jednotkovém vektoru u, je tažení ortogonálního doplňku u v tečném prostoru M. Toto je kontaktní struktura pro vlákno UTM je zjevně integrální potrubí (vertikální svazek je všude v jádře θ) a zbývající směry tečny jsou vyplněny pohybem vlákna UT nahoruM. Takže maximální integrální potrubí θ je (otevřená množina) M sám.

Na Finslerově potrubí je kontaktní formulář definován analogickým vzorcem

${displaystyle heta _ {u} (v) = g_ {u} (u, pi _ {*} v),}$

kde G_u je základní tenzor ( hesián Finslerovy metriky). Geometricky asociované rozdělení hyperplánů v bodě u ∈ UT_XM je inverzní obraz pod π_* tečné nadroviny k jednotkové kouli v T_XM na u.

The objemová forma θ∧dθⁿ⁻¹ definuje a opatření na M, známý jako kinematická míranebo Liouville opatření, to je neměnné pod geodetický tok z M. Jako Radonová míra, je kinematická míra μ definována na kompaktně podporovaných spojitých funkcích ƒ na UTM podle

${displaystyle int _ {UTM} f, dmu = int _ {M} dV (p) int _ {UT_ {p} M} left.fight | _ {UT_ {p} M}, dmu _ {p}}$

kde dPROTI je objemový prvek na Ma μ_str je standardní rotačně invariantní Borelův rozměr na euklidovské sféře UT_strM.

The Připojení Levi-Civita z M vede k rozdělení tangenta svazku

${displaystyle T (UTM) = Hoplus V}$

do vertikálního prostoru PROTI = kerπ_* a vodorovný prostor H na kterém π_* je lineární izomorfismus v každém bodě UTM. Toto rozdělení indukuje metriku na UTM prohlášením, že toto rozdělení je ortogonální přímý součet, a definováním metriky H stahováním:

${displaystyle g_ {H} (v, w) = g (v, w), quad v, vyhrát H}$

a definování metriky na PROTI jako indukovaná metrika z vložení vlákna UT_XM do Euklidovský prostor T_XM. Vybaveno tímto metrickým a kontaktním formulářem, UTM se stává Sasakian potrubí.

Bibliografie

• Jeffrey M. Lee: Rozdělovače a diferenciální geometrie. Postgraduální studium matematiky sv. 107, American Mathematical Society, Providence (2009). ISBN  978-0-8218-4815-9
• Jürgen Jost: Riemannova geometrie a geometrická analýza, (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden: Základy mechaniky, (1978) Benjamin-Cummings, Londýn. ISBN  0-8053-0102-X