Kompletní sada invarianty - Complete set of invariants - Wikipedia

v matematika, kompletní sada invarianty pro klasifikační problém je sbírka map

${ displaystyle f_ {i}: X až Y_ {i}}$

(kde ${ displaystyle X}$ je sbírka klasifikovaných objektů, až po určitý vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$a ${ displaystyle Y_ {i}}$ jsou některé sady), takové ${ displaystyle x sim x '}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f_ {i} (x) = f_ {i} (x ')}$ pro všechny ${ displaystyle i}$. Slovy takové, že dva objekty jsou ekvivalentní právě tehdy, když jsou všechny invarianty stejné.^[1]

Symbolicky je kompletní sada invariantů sbírkou takových map

${ displaystyle left ( prod f_ {i} right) :( X / sim) doleva ( prod Y_ {i} right)}$

je injekční.

Protože invarianty jsou podle definice stejné na ekvivalentních objektech, rovnost invarianty je a nutné podmínka rovnocennosti; A kompletní sada invariants je sada taková, že rovnost těchto je také dostatečný pro rovnocennost. V kontextu skupinové akce to lze konstatovat jako: invarianty jsou funkce coinvarianty (třídy ekvivalence, oběžné dráhy) a úplná sada invariantů charakterizuje coinvarianty (je soubor definujících rovnic pro coinvarianty).

Příklady

• V klasifikace dvourozměrných uzavřených potrubí, Eulerova charakteristika (nebo rod ) a orientovatelnost jsou kompletní sada invarianty.
• Jordan normální forma matice je úplný invariant pro matice až do konjugace, ale vlastní čísla (s multiplicitami) nejsou.

Realizovatelnost invarianty

Kompletní sada invariantů nepřináší okamžitě a věta o klasifikaci: ne všechny kombinace invariantů mohou být realizovány. Symbolicky je také třeba určit obraz

${ displaystyle prod f_ {i}: X to prod Y_ {i}.}$

Reference