Chirurgická obstrukce - Surgery obstruction

v matematika, konkrétně v teorie chirurgie, chirurgické překážky definovat mapu ${displaystyle heta colon {mathcal {N}} (X) o L_ {n} (pi _ {1} (X))}$ z normální invarianty do L-skupiny což je v prvním případě množinová teoretická mapa (to znamená, že to nemusí být nutně a homomorfismus ) s následující vlastností, když ${displaystyle ngeq 5}$:

Normální mapa prvního stupně ${displaystyle (f, b) dvojtečka M o X}$ je normálně spolubydlící do a homotopická ekvivalence jen a jen pokud je obrázek ${displaystyle heta (f, b) = 0}$ v ${displaystyle L_ {n} (mathbb {Z} [pi _ {1} (X)])}$.

Náčrt definice

Chirurgická obstrukce normální mapy stupně jedna má relativně komplikovanou definici.

Zvažte normální mapu prvního stupně ${displaystyle (f, b) dvojtečka M o X}$. Myšlenkou při rozhodování o tom, zda normálně odpovídá homotopické ekvivalenci, je pokusit se systematicky zlepšovat ${displaystyle (f, b)}$ takže ta mapa ${displaystyle f}$ se stává ${displaystyle m}$-připojeno (to znamená homotopické skupiny ${displaystyle pi _ {*} (f) = 0}$ pro ${displaystyle * leq m}$) pro vysoké ${displaystyle m}$. Je to důsledek Poincaré dualita že pokud toho dosáhneme ${displaystyle m> lfloor n / 2floor}$ pak mapa ${displaystyle f}$ již je homotopická ekvivalence. Slovo systematicky výše odkazuje na skutečnost, že se člověk pokouší provádět operace ${displaystyle M}$ zabít prvky ${displaystyle pi _ {i} (f)}$. Ve skutečnosti je jeho použití pohodlnější homologie z univerzální kryty sledovat, jak je mapa propojena ${displaystyle f}$ je. Přesněji řečeno, jeden pracuje s chirurgická jádra ${displaystyle K_ {i} ({ilde {M}}): = mathrm {ker} {f _ {*} dvojtečka H_ {i} ({ilde {M}}) ightarrow H_ {i} ({ilde {X}} )}}$ který z nich vidí jako ${displaystyle mathbb {Z} [pi _ {1} (X)]}$- moduly. Pokud všechny tyto zmizí, pak mapa ${displaystyle f}$ je homotopická ekvivalence. V důsledku Poincaré duality ${displaystyle M}$ a ${displaystyle X}$ tady je ${displaystyle mathbb {Z} [pi _ {1} (X)]}$-moduly Poincarého duality ${displaystyle K ^ {n-i} ({ilde {M}}) cong K_ {i} ({ilde {M}})}$, takže člověk musí sledovat jen polovinu z nich, to znamená ty, pro které ${displaystyle ileq lfloor n / 2floor}$.

Lze vytvořit libovolnou normální mapu prvního stupně ${displaystyle lfloor n / 2floor}$- spojené procesem zvaným chirurgie pod střední dimenzí. Toto je proces zabíjení prvků ${displaystyle K_ {i} ({ilde {M}})}$ pro ${displaystyle i$ popsáno tady když máme ${displaystyle p + q = n}$ takhle ${displaystyle i = p$. Poté jsou dva případy.

1. Pokud ${displaystyle n = 2k}$ pak jedinou netriviální homologickou skupinou je jádro ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}}): = mathrm {ker} {f _ {*} dvojtečka H_ {k} ({ilde {M}}) ightarrow H_ {k} ({ilde {X}} )}}$. Ukázalo se, že se párování šálku a produktu zapíná ${displaystyle M}$ a ${displaystyle X}$ vyvolat párování šálku a produktu ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$. To definuje symetrickou bilineární formu pro případ ${displaystyle k = 2l}$ a pro případ symetrický bilineární tvar ${displaystyle k = 2l + 1}$. Ukazuje se, že tyto formy lze vylepšit ${displaystyle varepsilon}$- kvadratické formy, kde ${displaystyle varepsilon = (- 1) ^ {k}}$. Tyto ${displaystyle varepsilon}$-kvadratické formy definují prvky v L-skupinách ${displaystyle L_ {n} (pi _ {1} (X))}$.

2. Pokud ${displaystyle n = 2k + 1}$ definice je složitější. Místo kvadratické formy získá člověk z geometrie kvadratický útvar, který je jakýmsi automorfismem kvadratických forem. Taková věc definuje prvek v liché trojrozměrné L skupině ${displaystyle L_ {n} (pi _ {1} (X))}$.

Pokud prvek ${displaystyle heta (f, b)}$ je nula v operaci L-skupiny lze provést ${displaystyle M}$ pozměnit ${displaystyle f}$ k homotopické ekvivalenci.

Geometricky důvod, proč to není vždy možné, spočívá v tom, že chirurgický zákrok ve střední dimenzi zabije prvek ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$ případně vytvoří prvek v ${displaystyle K_ {k-1} ({ilde {M}})}$ když ${displaystyle n = 2k}$ nebo v ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$ když ${displaystyle n = 2k + 1}$. To tedy možná ničí to, čeho již bylo dosaženo. Pokud však ${displaystyle heta (f, b)}$ je nula, operace lze uspořádat tak, aby se tak nestalo.

Příklad

V jednoduše připojeném případě dojde k následujícímu.

Li ${displaystyle n = 2k + 1}$ není tam žádná překážka.

Li ${displaystyle n = 4l}$ pak lze chirurgickou obstrukci vypočítat jako rozdíl podpisů M a X.

Li ${displaystyle n = 4l + 2}$ pak je chirurgická obstrukce Arf-invariantem související kvadratické formy jádra ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$.

Reference

• Browder, William (1972), Chirurgie na jednoduše připojených potrubích, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0358813
• Lück, Wolfgang (2002), Základní úvod do teorie chirurgie (PDF)„Přednášky pro ICTP Series 9, pásmo 1, školy„ High-dimenzional manifold theory “v Terstu, květen / červen 2001, Abdus Salam International Center for Theoretical Physics, Terst 1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Algebraická a geometrická chirurgie Oxfordské matematické monografie, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0, PAN  2061749
• Wall, C. T. C. (1999), Chirurgie na kompaktních potrubíchMatematické průzkumy a monografie 69 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0942-6, PAN  1687388