Poincaré komplex - Poincaré complex - Wikipedia

V matematice, a zejména topologie, a Poincaré komplex (pojmenoval podle matematika Henri Poincaré ) je abstrakce komplex singulárního řetězce a Zavřeno, orientovatelný potrubí.

Skupiny singulární homologie a kohomologie uzavřeného, ​​orientovatelného potrubí jsou příbuzné Poincaré dualita. Poincarého dualita je izomorfismus mezi homologií a kohomologické skupiny. Řetězový komplex se nazývá Poincarého komplex, pokud je jeho homologické skupiny a kohomologické skupiny mají abstraktní vlastnosti Poincarého duality.^[1]

A Poincaré prostor je topologický prostor, jehož komplex singulárních řetězců je Poincarého komplex. Ty se používají v teorie chirurgie analyzovat potrubí algebraicky.

Definice

Nechat ${ displaystyle C = {C_ {i} }}$ být řetězový komplex z abelianské skupiny, a předpokládejme, že skupiny homologie ${ displaystyle C}$ jsou definitivně generováno. Předpokládejme, že existuje mapa ${ displaystyle Delta dvojtečka C až C další C}$, nazvaný řetězová úhlopříčka, s vlastností, že ${ Displaystyle ( varepsilon otimes 1) Delta = (1 otimes varepsilon) Delta}$. Zde mapa ${ displaystyle varepsilon dvojtečka C_ {0} to mathbb {Z}}$ označuje kruhový homomorfismus známý jako augmentační mapa, který je definován takto: pokud ${ displaystyle n_ {1} sigma _ {1} + cdots + n_ {k} sigma _ {k} v C_ {0}}$, pak ${ displaystyle varepsilon (n_ {1} sigma _ {1} + cdots + n_ {k} sigma _ {k}) = n_ {1} + cdots + n_ {k} in mathbb {Z }}$.^[2]

Pomocí výše uvedené úhlopříčky jsme schopni vytvořit párování, a to:

${ displaystyle rho colon H ^ {k} (C) otimes H_ {n} (C) to H_ {nk} (C), { text {kde}} rho (x otimes y) = x zamračit se}$,

kde ${ displaystyle scriptstyle mračit se}$ označuje čepičkový produkt.^[3]

Řetězový komplex C je nazýván geometrický pokud řetěz-homotopy existuje mezi ${ displaystyle Delta}$ a ${ displaystyle tau Delta}$, kde ${ displaystyle tau dvojtečka C otimes C až C otimes C}$ je transpozice / převrácení dané ${ displaystyle tau (a otimes b) = b otimes a}$.

Komplex geometrického řetězce se nazývá algebraický Poincaré komplex, dimenze n, pokud existuje nekonečný-nařízeno prvek n-rozměrná homologická skupina, řekněme ${ displaystyle mu v H_ {n} (C)}$, takže mapy dané

${ displaystyle ( mračit se mu) dvojtečka H ^ {k} (C) až H_ {n-k} (C)}$

jsou skupina izomorfismy pro všechny ${ displaystyle 0 leq k leq n}$. Tyto izomorfismy jsou izomorfismy Poincarého duality.^[4][5]

Příklad

• The jednotné číslo řetězový komplex orientovatelného, ​​uzavřeného n-rozměrné potrubí ${ displaystyle M}$ je příkladem Poincarého komplexu, kde jsou dualitní izomorfismy dány omezením základní třídou ${ displaystyle [M] v H_ {n} (M; mathbb {Z})}$.^[1]

Viz také

• Poincaré prostor

Reference

externí odkazy

• Klasifikace komplexů Poincaré prostřednictvím základních trojic na atlasu potrubí