Sada chirurgické struktury - Surgery structure set - Wikipedia

v matematika, sada chirurgické struktury ${ displaystyle { mathcal {S}} (X)}$ je základním objektem při studiu rozdělovače což jsou homotopy ekvivalent k a uzavřené potrubí X. Jedná se o koncept, který pomáhá odpovědět na otázku, zda jsou dva rovnocenné homotopy difeomorfní (nebo PL-homeomorfní nebo homeomorfní ). Existují různé verze sady struktur v závislosti na kategorie (DIFF, PL nebo TOP) a zda Torze Whitehead je brán v úvahu nebo ne.

Definice

Nechť X je uzavřený hladký (nebo PL- nebo topologický) variet dimenze n. Říkáme dvěma homotopickým ekvivalentům ${ displaystyle f_ {i}: M_ {i} až X}$ z uzavřených potrubí ${ displaystyle M_ {i}}$ dimenze ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle X}$ (${ displaystyle i = 0,1}$) ekvivalent, pokud existuje a cobordism ${ displaystyle { mathcal {}} (W; M_ {0}, M_ {1})}$ spolu s mapou ${ displaystyle (F; f_ {0}, f_ {1}) :( W; M_ {0}, M_ {1}) to (X krát [0,1]; X krát {0 } , X krát {1 })}$ takhle ${ displaystyle F}$, ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle f_ {1}}$ jsou homotopické ekvivalence sada struktur ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {h} (X)}$ je sada tříd ekvivalence homotopických ekvivalentů ${ displaystyle f: M až X}$ z uzavřených potrubí o rozměru n až X. Tato sada má preferovaný základní bod: ${ displaystyle id: X až X}$.

K dispozici je také verze, která zohledňuje torzi Whitehead. Pokud ve výše uvedené definici požadujeme homotopické ekvivalence F, ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle f_ {1}}$ abychom byli jednoduchými homotopickými ekvivalencemi, získáme jednoduchá struktura ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$.

Poznámky

Všimněte si toho ${ displaystyle (W; M_ {0}, M_ {1})}$ v definici ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {h} (X)}$ resp. ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ je h-cobordism resp. an s-cobordism. Za použití Věta o s-cobordismu získáme další popis jednoduché sady struktur ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$, za předpokladu, že n> 4: Sada jednoduché struktury ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ je sada tříd ekvivalence homotopických ekvivalentů ${ displaystyle f: M až X}$ z uzavřených potrubí ${ displaystyle M}$ dimenze n až X s ohledem na následující vztah ekvivalence. Dvě homotopické ekvivalence ${ displaystyle f_ {i}: M_ {i} až X}$ (i = 0,1) jsou ekvivalentní, pokud existuje adiffeomorfismus (nebo PL-homeomorfismus nebo homeomorfismus) ${ displaystyle g: M_ {0} až M_ {1}}$ takhle ${ displaystyle f_ {1} cirkus}$ je homotopický k ${ displaystyle f_ {0}}$.

Pokud máme co do činění s diferenciálními potrubími, obecně neexistuje žádná kanonická skupinová struktura ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$. Pokud se budeme zabývat topologickými varietami, je možné dotovat ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$ s preferovanou strukturou abelianské skupiny (viz kapitola 18 v knize Ranicki ).

Všimněte si, že potrubí M je difeomorfní (nebo PL-homeomorfní nebo homeomorfní) k uzavřenému potrubí X právě tehdy, když existuje jednoduchá homotopická ekvivalence ${ displaystyle phi: M až X}$ jehož třída ekvivalence je základním bodem v ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$. Je nutná určitá péče, protože je možné, že daná jednoduchá homotopická ekvivalence ${ displaystyle phi: M až X}$ není homotopický k difeomorfismu (nebo PL-homeomorfismu nebo homeomorfismu), i když M a X jsou diffeomorfní (nebo PL-homeomorfní nebo homeomorfní). Proto je také nutné studovat fungování skupiny tříd homotopie jednoduchých sebeekvivalencí X na ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (X)}$.

Základním nástrojem pro výpočet jednoduché sady struktur je přesná sekvence operace.

Příklady

Topologické sféry: The zobecněný Poincarého dohad v topologické kategorii to říká ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (S ^ {n})}$ skládá se pouze ze základního bodu. Tuto domněnku prokázali Smale (n> 4), Freedman (n = 4) a Perelman (n = 3).

Exotické koule: Klasifikace exotické sféry Kervaire a Milnor dává ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {s} (S ^ {n}) = theta _ {n} = pi _ {n} (PL / O)}$ pro n> 4 (hladká kategorie).

Reference

• Browder, William (1972), Chirurgie na jednoduše připojených potrubích, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0358813
• Ranicki, Andrew (2002), Algebraická a geometrická chirurgie Oxfordské matematické monografie, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0, PAN  2061749
• Wall, C. T. C. (1999), Chirurgie na kompaktních potrubíchMatematické průzkumy a monografie 69 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0942-6, PAN  1687388
• Ranicki, Andrew (1992), Algebraická L-teorie a topologické potrubí (PDF), Cambridge Tracts in Mathematics 102, CUP, ISBN  0-521-42024-5, PAN  1211640

externí odkazy

• Domovská stránka Andrewa Ranickiho
• Domovská stránka Shmuela Weinbergera