Celé číslo - Profinite integer
v matematika, a profinite integer je prvkem prsten (někdy vyslovovaný jako zee-hat nebo zed-hat)
kde
označuje nekonečné dokončení z index běží přes všechno prvočísla, a je prsten z p-adická celá čísla. Tato skupina je důležitá kvůli svému vztahu k Galoisova teorie, Étaleova homotopická teorie a prsten z Adeles. Kromě toho poskytuje základní přitažlivý příklad profinitní skupiny.
Konstrukce a vztahy
Konkrétně celočíselná celá čísla budou množinou posloupností takhle a . Bodové sčítání a násobení z něj dělá komutativní kruh. Pokud sekvence celých čísel konverguje modulo n pro každého n pak bude limit existovat jako profinite integer. Je zde vložení celá čísla do kruhu nekonečných celých čísel, protože existuje kanonická injekce
- kde
Topologické vlastnosti
Sada celočíselných celých čísel má indukovanou topologii, ve které je kompaktní Hausdorffův prostor, vycházející ze skutečnosti, že jej lze považovat za uzavřenou podmnožinu nekonečného produktu
který je kompaktní s produktovou topologií od Tychonoffova věta. Všimněte si topologie na každé konečné skupině je uveden jako diskrétní topologie. Protože přidávání celočíselných čísel je spojité, je kompaktní Hausdorffova abelianská skupina, a tedy její Pontryagin dual musí to být diskrétní abelianská skupina. Ve skutečnosti je Pontryagin dual z je diskrétní abelianská skupina . Tuto skutečnost vykazuje párování
kde je postava vyvolané .[2]
Vztah s adeles
Tenzorový produkt je prsten konečných adelů
z kde symbol prostředek omezený produkt[3]. Existuje izomorfismus
Aplikace v teorii Galois a teorii homotopy Etale
Pro algebraické uzavření a konečné pole řádu q, skupinu Galois lze vypočítat explicitně. Ze skutečnosti kde automatorfismy jsou dány Frobeniova endomorfismus Galoisova skupina algebraického uzavření je dáno inverzním limitem skupin , takže jeho Galoisova skupina je izomorfní se skupinou celých celých čísel[4]
který dává výpočet absolutní skupina Galois konečného pole.
Vztah s Etalovými základními skupinami algebraických tori
Tuto konstrukci lze znovu interpretovat mnoha způsoby. Jeden z nich je z Etaleova homotopická teorie který definuje Etale základní skupina jako nekonečné završení automorfismů
kde je Etale kryt. Potom jsou celočíselná celá čísla izomorfní se skupinou
z dřívějšího výpočtu profinitní skupiny Galois. Kromě toho existuje vložení celočíselných celých čísel do základní skupiny Etale v algebraický torus
protože krycí mapy pocházejí z polynomiální mapy
z mapy komutativní prsteny
odesílání
od té doby . Pokud je algebraický torus uvažován nad polem , pak základní skupina Etale obsahuje akci také z základní přesná posloupnost v teorii homotopy etale.
Teorie pole třídy a celá čísla
Teorie pole třídy je pobočkou algebraická teorie čísel studium abelianských rozšíření pole. Vzhledem k globální pole , abelianizace její absolutní skupiny Galois
úzce souvisí s přidruženým kruhem adeles a skupina celočíselných čísel. Zejména existuje mapa s názvem Artin mapa[5]
což je izomorfismus. Tento podíl lze explicitně určit jako
dávat požadovaný vztah. Existuje analogické tvrzení pro místní teorii pole třídy, protože každé konečné abelianské rozšíření je indukován z rozšíření konečného pole .
Viz také
Poznámky
- ^ Connes & Consani 2015, § 2.4.
- ^ K. Conrad, Skupina znaků Q
- ^ Otázky na některých mapách zahrnující prstence konečných adelů a jejich skupin jednotek.
- ^ Milne 2013, Ch. I Příklad A. 5.
- ^ „Class field theory - lccs“. www.math.columbia.edu. Citováno 2020-09-25.
Reference
- Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometrie aritmetického místa". arXiv:1502.05580.
- Milne, J.S. (2013-03-23). „Class Field Theory“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. 6. 2013. Citováno 2020-06-07.
externí odkazy
- http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
- https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
- https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf
![]() | Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |