Dirichletova věta o aproximaci - Dirichlets approximation theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Dirichletova věta o diofantické aproximaci, také zvaný Dirichletova věta o aproximaci, uvádí, že pro všechny reálná čísla ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle N}$, s ${ displaystyle 1 leq N}$, existují celá čísla ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ takhle ${ displaystyle 1 leq q leq N}$ a

${ displaystyle left | q alpha -p right | leq { frac {1} {[N] +1}} <{ frac {1} {N}}.}$

Tady ${ displaystyle [N]}$ představuje celá část z ${ displaystyle N}$Toto je zásadní výsledek v Diophantine aproximace, což ukazuje, že jakékoli reálné číslo má posloupnost dobrých racionálních aproximací: okamžitým důsledkem je ve skutečnosti to, že pro dané iracionální α je nerovnost

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {q ^ {2}}}}$

je uspokojeno nekonečně mnoha celými čísly p a q. Tento důsledek také ukazuje, že Věta – Siegel – Roth Výsledek v opačném směru poskytuje v zásadě nejužší možnou hranici v tom smyslu, že je vázán na racionální aproximaci algebraická čísla nelze zlepšit zvýšením exponentu nad 2.

Simultánní verze

Simultánní verze Dirichletovy věty o aproximaci uvádí, že daná reálná čísla ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {d}}$ a přirozené číslo ${ displaystyle N}$ pak jsou celá čísla ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {d}, q in mathbb {Z}, 1 leq q leq N}$ takhle ${ displaystyle left | alpha _ {i} - { frac {p_ {i}} {q}} doprava | leq { frac {1} {qN ^ {1 / d}}}.}$

Způsob dokazování

Tato věta je důsledkem princip pigeonhole. Peter Gustav Lejeune Dirichlet kdo prokázal výsledek, použil stejný princip v jiných kontextech (například Pellova rovnice ) a pojmenováním principu (v němčině) se popularizovalo jeho použití, ačkoli jeho stav v učebnicových termínech přichází později.^[1] Metoda se rozšiřuje na simultánní aproximaci.^[2]

Další jednoduchý důkaz Dirichletovy aproximační věty je založen na Minkowského věta aplikován na sadu

${ displaystyle S = left {(x, y) in mathbb {R} ^ {2}; - N - { frac {1} {2}} leq x leq N + { frac {1 } {2}}, vert alpha xy vert leq { frac {1} {N}} doprava }.}$

Vzhledem k objemu ${ displaystyle S}$ je větší než ${ displaystyle 4}$, Minkowského věta stanoví existenci netriviálního bodu s integrálními souřadnicemi. Tento důkaz se přirozeně rozšiřuje na simultánní aproximace zvážením množiny

${ displaystyle S = left {(x, y_ {1}, dots, y_ {d}) in mathbb {R} ^ {1 + d}; - N - { frac {1} {2 }} leq x leq N + { frac {1} {2}}, | alpha _ {i} x-y_ {i} | leq { frac {1} {N ^ {1 / d}} }že jo}.}$

Viz také

• Dirichletova věta o aritmetických postupech
• Hurwitzova věta (teorie čísel)
• Sada Heilbronn
• Kroneckerova věta (zobecnění Dirichletovy věty)

Poznámky

Reference

• Schmidt, Wolfgang M (1980). Diophantine aproximace. Přednášky z matematiky. 785. Springer. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN  978-3-540-38645-2.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine Aproximations and Diophantine Equations. Poznámky k přednášce v knižní sérii Matematika. 1467. Springer. doi:10.1007 / BFb0098246. ISBN  978-3-540-47374-9.

externí odkazy

• Dirichletova věta o aproximaci na PlanetMath.