Převod mezi čtveřicemi a Eulerovými úhly - Conversion between quaternions and Euler angles

Prostorové rotace ve třech rozměrech může být parametrizováno pomocí obou Eulerovy úhly a jednotkové čtveřice. Tento článek vysvětluje, jak převádět mezi dvěma reprezentacemi. Ve skutečnosti toto jednoduché použití „čtveřic“ poprvé představil Euler asi o sedmdesát let dříve než Hamilton vyřešit problém magické čtverce. Z tohoto důvodu dynamická komunita běžně označuje čtveřice v této aplikaci jako „parametry Euler“.

Definice

Ve zbývající části tohoto článku JPL čtveřice konvence^[1] musí být použito. Jednotka čtveřice lze popsat jako:

{ displaystyle mathbf {q} = { begin {bmatrix} q_ {0} & q_ {1} & q_ {2} & q_ {3} end {bmatrix}} ^ {T} = { begin {bmatrix} q_ { w} & q_ {x} & q_ {y} & q_ {z} end {bmatrix}} ^ {T}}

{ displaystyle | mathbf {q} | ^ {2} = q_ {0} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} = q_ {w} ^ {2} + q_ {x} ^ {2} + q_ {y} ^ {2} + q_ {z} ^ {2} = 1}

Můžeme spojit a čtveřice s rotací kolem osy následujícím výrazem

{ displaystyle mathbf {q} _ {0} = mathbf {q} _ {w} = cos ( alpha / 2)}

{ displaystyle mathbf {q} _ {1} = mathbf {q} _ {x} = sin ( alpha / 2) cos ( beta _ {x})}

{ displaystyle mathbf {q} _ {2} = mathbf {q} _ {y} = sin ( alpha / 2) cos ( beta _ {y})}

{ displaystyle mathbf {q} _ {3} = mathbf {q} _ {z} = sin ( alpha / 2) cos ( beta _ {z})}

kde α je jednoduchý úhel rotace (hodnota v radiánech úhel otáčení ) a cos (β_X), cos (β_y) a cos (β_z) jsou „směrové kosiny "lokalizace osy rotace (Eulerova věta o rotaci).

Tait – Bryan úhly

Tait – Bryan úhly. z-y'-x ″ sekvence (vnitřní rotace; N se shoduje s y '). Sekvence natočení úhlu je ψ, θ, Ф. Všimněte si, že v tomto případě ψ> 90 ° a θ je záporný úhel.

Podobně pro Eulerovy úhly používáme Tait Bryan úhly (ve smyslu letová dynamika ):

Nadpis - ${ displaystyle psi}$ : rotace kolem osy Z.
Rozteč - ${ displaystyle theta}$ : rotace kolem nové osy Y.
Banka - ${ displaystyle phi}$ : rotace kolem nové osy X.

kde osa X směřuje dopředu, osa Y doprava a osa Z dolů. Ve výše uvedeném příkladu převodu dochází k rotaci v záhlaví objednávky, rozteči, náklonu.

Rotační matice

The ortogonální matice (post-násobení vektoru sloupce) odpovídající ve směru hodinových ručiček /levák (při pohledu podél kladné osy k počátku) rotace jednotkou čtveřice ${ displaystyle q = q_ {0} + iq_ {1} + jq_ {2} + kq_ {3}}$ je dán nehomogenní výraz:

{ displaystyle R = { begin {bmatrix} 1-2 (q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2}) & 2 (q_ {1} q_ {2} -q_ {0} q_ { 3}) & 2 (q_ {0} q_ {2} + q_ {1} q_ {3}) 2 (q_ {1} q_ {2} + q_ {0} q_ {3}) & 1-2 (q_ {1} ^ {2} + q_ {3} ^ {2}) & 2 (q_ {2} q_ {3} -q_ {0} q_ {1}) 2 (q_ {1} q_ {3} - q_ {0} q_ {2}) & 2 (q_ {0} q_ {1} + q_ {2} q_ {3}) & 1-2 (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} ) end {bmatrix}}}

nebo rovnocenně homogenní výraz:

{ displaystyle R = { begin {bmatrix} q_ {0} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} -q_ {2} ^ {2} -q_ {3} ^ {2} & 2 (q_ { 1} q_ {2} -q_ {0} q_ {3}) a 2 (q_ {0} q_ {2} + q_ {1} q_ {3}) 2 (q_ {1} q_ {2} + q_ {0} q_ {3}) & q_ {0} ^ {2} -q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} -q_ {3} ^ {2} & 2 (q_ {2} q_ {3} -q_ {0} q_ {1}) 2 (q_ {1} q_ {3} -q_ {0} q_ {2}) a 2 (q_ {0} q_ {1} + q_ {2} q_ {3}) & q_ {0} ^ {2} -q_ {1} ^ {2} -q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} end {bmatrix}}}

Li ${ displaystyle q_ {0} + iq_ {1} + jq_ {2} + kq_ {3}}$ není jednotkový čtveřice, pak je homogenní forma stále skalárním násobkem rotační matice, zatímco nehomogenní forma již obecně není ortogonální maticí. To je důvod, proč se v numerické práci dává přednost homogenní formě, pokud se má zabránit zkreslení.

Směrová kosinová matice (od otočených souřadnic XYZ těla k původním souřadnicím Lab xyz pro otáčení ve směru hodinových ručiček / levá) odpovídající post-násobení Tělo 3-2-1 sekvence s Eulerovy úhly (ψ, θ, φ) je dáno vztahem:^[2]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} & = R_ {z} ( psi) R_ {y} ( theta) R_ { x} ( phi) { begin {bmatrix} X Y Z end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} cos psi & - sin psi & 0 sin psi & cos psi & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 - sin theta & 0 & cos theta end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos phi & - sin phi 0 & sin phi & cos phi end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X Y Z konec {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} cos theta cos psi & - cos phi sin psi + sin phi sin theta cos psi & sin phi sin psi + cos phi sin theta cos psi cos theta sin psi & cos phi cos psi + sin phi sin theta sin psi & - sin phi cos psi + cos phi sin theta sin psi - sin theta & sin phi cos theta & cos phi cos theta konec {bmatrix}} { začátek {bmatrix} X Y Z konec {bmatrix}} konec {zarovnáno}} }

Eulerovy úhly pro sekvenci Body 3-1-3 - Systém xyz (původní pevná laboratoř) je zobrazen modře, systém XYZ (otočený finální tělo) je zobrazen červeně. Řádka uzlů, označená N a zobrazená zeleně, je mezilehlá osa X těla, kolem které dochází k druhé rotaci.

Eulerova konverze na čtverce

Kombinací čtvercových reprezentací Eulerových rotací dostaneme pro Tělo 3-2-1 sekvence, kdy se letadlo během pojíždění na dráhu nejprve otočí (Body-Z), poté se při vzletu nakloní (Body-Y) a nakonec se ve vzduchu (Body-X) otočí. Výsledná orientace sekvence Body 3-2-1 (kolem osy s velkým písmenem na ilustraci úhlu Tait-Bryan) je ekvivalentní orientaci sekvence v laboratoři 1-2-3 (kolem osy s nižším písmem), kde je letoun nejprve se válcoval (osa lab-x), poté se naklonil kolem vodorovné osy lab-y a nakonec se otočil kolem svislé osy lab-z (IB = lab2Body):

{ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {q_ {lB}} & = { begin {bmatrix} cos ( psi / 2) 0 0 sin ( psi / 2) end {bmatrix}} { begin {bmatrix} cos ( theta / 2) 0 sin ( theta / 2) 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix } cos ( phi / 2) sin ( phi / 2) 0 0 konec {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} cos ( phi / 2 ) cos ( theta / 2) cos ( psi / 2) + sin ( phi / 2) sin ( theta / 2) sin ( psi / 2) sin ( phi / 2) cos ( theta / 2) cos ( psi / 2) - cos ( phi / 2) sin ( theta / 2) sin ( psi / 2) cos ( phi) / 2) sin ( theta / 2) cos ( psi / 2) + sin ( phi / 2) cos ( theta / 2) sin ( psi / 2) cos ( phi / 2) cos ( theta / 2) sin ( psi / 2) - sin ( phi / 2) sin ( theta / 2) cos ( psi / 2) konec { bmatrix}} end {zarovnáno}}}

Jiné rotační sekvence používají různé konvence.^[2]

Zdrojový kód

Níže uvedený kód v C ++ ilustruje výše uvedený převod:

struktur Čtveřice{    dvojnásobek w, X, y, z;};Čtveřice ToQuaternion(dvojnásobek zatočit, dvojnásobek hřiště, dvojnásobek válec) // vybočení (Z), rozteč (Y), výkyv (X){    // Zkratky pro různé úhlové funkce    dvojnásobek cy = cos(zatočit * 0.5);    dvojnásobek sy = hřích(zatočit * 0.5);    dvojnásobek str = cos(hřiště * 0.5);    dvojnásobek sp = hřích(hřiště * 0.5);    dvojnásobek cr = cos(válec * 0.5);    dvojnásobek sr = hřích(válec * 0.5);    Čtveřice q;    q.w = cr * str * cy + sr * sp * sy;    q.X = sr * str * cy - cr * sp * sy;    q.y = cr * sp * cy + sr * str * sy;    q.z = cr * str * sy - sr * sp * cy;    vrátit se q;}

Konverze úhlů ze čtverce na Euler

Eulerovy úhly lze získat z čtveřic pomocí vztahů:^[3]

{ displaystyle { begin {bmatrix} phi theta psi end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { mbox {arctan}} { frac {2 (q_ {0} q_ {1} + q_ {2} q_ {3})} {1-2 (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2})}}} { mbox {arcsin}} (2 (q_ {0} q_ {2} -q_ {3} q_ {1})) { mbox {arctan}} { frac {2 (q_ {0} q_ {3} + q_ {1} q_ { 2})} {1-2 (q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2})}} end {bmatrix}}}

Všimněte si však, že arktan a arcsin funkce implementované v počítačových jazycích přinášejí výsledky pouze mezi −π / 2 a π / 2, a pro tři rotace mezi −π / 2 a π / 2 jeden nezíská všechny možné orientace. K vygenerování všech orientací je třeba nahradit arktanové funkce v počítačovém kódu pomocí atan2:

{ displaystyle { begin {bmatrix} phi theta psi end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { mbox {atan2}} (2 (q_ {0} q_ {1} + q_ {2} q_ {3}), 1-2 (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2})) { mbox {asin}} (2 (q_ {0} q_ {2} -q_ {3} q_ {1})) { mbox {atan2}} (2 (q_ {0} q_ {3} + q_ {1} q_ {2}), 1-2 ( q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2})) end {bmatrix}}}

Zdrojový kód

Následující program C ++ ilustruje převod výše:

#define _USE_MATH_DEFINES#zahrnout <cmath>struktur Čtveřice {    dvojnásobek w, X, y, z;};struktur EulerAngles {    dvojnásobek válec, hřiště, zatočit;};EulerAngles ToEulerAngles(Čtveřice q) {    EulerAngles úhly;    // válec (rotace v ose x)    dvojnásobek sinr_cosp = 2 * (q.w * q.X + q.y * q.z);    dvojnásobek cosr_cosp = 1 - 2 * (q.X * q.X + q.y * q.y);    úhly.válec = std::atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);    // rozteč (rotace osy y)    dvojnásobek sinp = 2 * (q.w * q.y - q.z * q.X);    -li (std::břišní svaly(sinp) >= 1)        úhly.hřiště = std::copysign(M_PI / 2, sinp); // použijte 90 stupňů, pokud je mimo rozsah    jiný        úhly.hřiště = std::jako v(sinp);    // vybočení (rotace v ose z)    dvojnásobek siny_cosp = 2 * (q.w * q.z + q.X * q.y);    dvojnásobek cosy_cosp = 1 - 2 * (q.y * q.y + q.z * q.z);    úhly.zatočit = std::atan2(siny_cosp, cosy_cosp);    vrátit se úhly;}

Singularity

Je třeba si uvědomit singularity v Eulerově parametrizaci úhlu, když se stoupání blíží ± 90 ° (severní / jižní pól). Tyto případy musí být řešeny speciálně. Obecný název pro tuto situaci je kardanový zámek.

Kód pro zpracování singularit je odvozen na tomto webu: www.euclideanspace.com

Vektorové rotace

Pojďme definovat skalární ${ displaystyle q_ {0}}$ a vektor ${ displaystyle { vec {q}}}$ takhle ${ displaystyle mathbf {q} = (q_ {0}, { vec {q}}) = q_ {0} + iq_ {1} + jq_ {2} + kq_ {3}}$ .

Všimněte si, že kanonický způsob otáčení trojrozměrného vektoru ${ displaystyle { vec {v}}}$ čtveřicí ${ displaystyle q}$ definování Eulerova rotace je prostřednictvím vzorce

{ displaystyle mathbf {p} ^ {, prime} = mathbf {qpq} ^ { ast}}

kde ${ displaystyle mathbf {p} = (0, { vec {v}}) = 0 + iv_ {1} + jv_ {2} + kv_ {3}}$ je čtveřice obsahující vložený vektor ${ displaystyle { vec {v}}}$ , ${ displaystyle mathbf {q} ^ { ast} = (q_ {0}, - { vec {q}})}$ je konjugovaný čtveřice, a ${ displaystyle mathbf {p} ^ {, prime} = (0, { vec {v}} ^ {, prime})}$ je otočený vektor ${ displaystyle { vec {v}} ^ {, prime}}$ . Ve výpočetních implementacích to vyžaduje dvě násobení čtveřice. Alternativním přístupem je použití dvojice vztahů

{ displaystyle { vec {t}} = 2 { vec {q}} krát { vec {v}}}

{ displaystyle { vec {v}} ^ {, prime} = { vec {v}} + q_ {0} { vec {t}} + { vec {q}} krát { vec {t}}}

kde ${ displaystyle times}$ označuje trojrozměrný vektorový křížový produkt. To zahrnuje méně násobení, a proto je výpočetně rychlejší. Numerické testy naznačují, že tento druhý přístup může být až 30% ^[4] pro rotaci vektoru rychlejší než originál.

Důkaz

Obecné pravidlo pro násobení čtveřic skalární a vektorové části je dána

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {q_ {1} q_ {2}} & = (r_ {1}, { vec {v}} _ {1}) (r_ {2}, { vec {v}} _ {2}) & = (r_ {1} r_ {2} - { vec {v}} _ {1} cdot { vec {v}} _ {2}, r_ { 1} { vec {v}} _ {2} + r_ {2} { vec {v}} _ {1} + { vec {v}} _ {1} krát { vec {v}} _ {2}) konec {zarovnáno}}}

Pomocí tohoto vztahu jeden najde pro ${ displaystyle mathbf {p} = (0, { vec {v}})}$ že

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {pq ^ { ast}} & = (0, { vec {v}}) (q_ {0}, - { vec {q}}) & = ({ vec {v}} cdot { vec {q}}, q_ {0} { vec {v}} - { vec {v}} časy { vec {q}}) end {zarovnáno}}}

a po nahrazení trojitým produktem

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {qpq ^ { ast}} & = (q_ {0}, { vec {q}}) ({ vec {v}} cdot { vec {q }}, q_ {0} { vec {v}} - { vec {v}} krát { vec {q}}) & = (0, q_ {0} ^ {2} { vec {v}} + q_ {0} { vec {q}} časy { vec {v}} + ({ vec {v}} cdot { vec {q}}) { vec {q} } + q_ {0} { vec {q}} times { vec {v}} + { vec {q}} times ({ vec {q}} times { vec {v}}) ) end {zarovnáno}}}

kde antikomutivita meziproduktu a ${ displaystyle { vec {q}} cdot { vec {v}} krát { vec {q}} = 0}$ bylo aplikováno. Dalším využitím majetku, který ${ displaystyle mathbf {q}}$ je jednotka čtveřice aby ${ displaystyle q_ {0} ^ {2} = 1 - { vec {q}} cdot { vec {q}}}$ , spolu se standardní vektorovou identitou

{ displaystyle { vec {q}} krát ({ vec {q}} časy { vec {v}}) = ({ vec {q}} cdot { vec {v}}) { vec {q}} - ({ vec {q}} cdot { vec {q}}) { vec {v}}}

jeden získá

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {p} ^ { prime} & = mathbf {qpq ^ { ast}} = (0, { vec {v}} + 2q_ {0} { vec {q}} times { vec {v}} + 2 { vec {q}} times ({ vec {q}} times { vec {v}})) end {zarovnáno} }}

který při definování ${ displaystyle { vec {t}} = 2 { vec {q}} krát { vec {v}}}$ lze psát z hlediska skalárních a vektorových částí jako

{ displaystyle (0, { vec {v}} ^ {, prime}) = (0, { vec {v}} + q_ {0} { vec {t}} + { vec {q }} times { vec {t}}).}

Viz také

Reference

^ W. G. Breckenridge, „Quaternions navrhl standardní konvence,“ NASA Jet Propulsion Laboratory, technická zpráva, říjen 1979.
^ ^A ^b Divize plánování a analýzy misí NASA. „Eulerovy úhly, čtveřice a transformační matice“ (PDF). NASA. Citováno 12. ledna 2013.
^ Blanco, Jose-Luis (2010). Msgstr "Výukový program o parametrizaci transformace se (3) a optimalizaci na rozmanité". University of Malaga, Tech. Rep. CiteSeerX 10.1.1.468.5407.
^ Janota, A; Šimák, V; Nemec, D; Hrbček, J (2015). „Zlepšení přesnosti a rychlosti výpočtu Eulerových úhlů z údajů rotačního snímače s nízkými náklady“. Senzory. 15 (3): 7016–7039. doi:10,3390 / s150307016. PMC 4435132. PMID 25806874.

externí odkazy

Q60. Jak převést Eulerovy úhly rotace na čtveřice? a související otázky na Matrix and Quaternions FAQ

[1] W. G. Breckenridge, „Quaternions navrhl standardní konvence,“ NASA Jet Propulsion Laboratory, technická zpráva, říjen 1979.

[nasa-rotation-2] A ^b Divize plánování a analýzy misí NASA. „Eulerovy úhly, čtveřice a transformační matice“ (PDF). NASA. Citováno 12. ledna 2013.

[3] Blanco, Jose-Luis (2010). Msgstr "Výukový program o parametrizaci transformace se (3) a optimalizaci na rozmanité". University of Malaga, Tech. Rep. CiteSeerX 10.1.1.468.5407.

[4] Janota, A; Šimák, V; Nemec, D; Hrbček, J (2015). „Zlepšení přesnosti a rychlosti výpočtu Eulerových úhlů z údajů rotačního snímače s nízkými náklady“. Senzory. 15 (3): 7016–7039. doi:10,3390 / s150307016. PMC 4435132. PMID 25806874.

[1]

[2]

[3]

[4]