Syntéza sítě - Network synthesis

Syntéza sítě je designová technika pro lineární elektrické obvody. Syntéza začíná od předepsaného impedance funkce frekvence nebo frekvenční odezva a poté určí možné sítě, které vytvoří požadovanou odpověď. Tuto techniku ​​je třeba srovnávat s síťová analýza ve kterém se počítá odezva (nebo jiné chování) daného obvodu. Před syntézou sítě byla k dispozici pouze síťová analýza, ale to vyžaduje, aby člověk již věděl, jakou formu obvodu je třeba analyzovat. Neexistuje žádná záruka, že zvolený obvod bude nejbližší možnou shodou s požadovanou odezvou, ani to, že obvod bude nejjednodušší možný. Síťová syntéza přímo řeší oba tyto problémy. Syntéza sítě se historicky zabývala syntézou pasivní sítí, ale není omezen na takové obvody.

Pole bylo založeno Wilhelm Cauer po přečtení Ronald M. Foster papír z roku 1924 Věta o reaktanci. Fosterova věta poskytla metodu syntézy LC obvody s libovolným počtem prvků částečným rozšířením impedanční funkce. Cauer rozšířil Fosterovu metodu na RC a Obvody RL, našel nové metody syntézy a metody, které by mohly syntetizovat generál RLC obvod. Další důležité pokroky dříve druhá světová válka jsou kvůli Otto Brune a Sidney Darlington. Ve 40. letech 20. století Raoul Bott a Richard Duffin zveřejnil techniku ​​syntézy, která obecně nevyžadovala transformátory (jejichž odstranění už nějakou dobu znepokojovalo výzkumníky). V padesátých letech minulého století bylo vynaloženo velké úsilí na minimalizaci počtu prvků potřebných pro syntézu, ale pouze s omezeným úspěchem. V této oblasti se toho udělalo málo až do roku 2000, kdy se otázka mimimizace opět stala aktivní oblastí výzkumu, ale od roku 2018 je stále nevyřešeným problémem.

Primární aplikací síťové syntézy je návrh filtry síťové syntézy ale to není jeho jediná aplikace. Mimo jiné jsou impedanční přizpůsobení sítě, sítě s časovým zpožděním, směrové spojky, a vyrovnání. V roce 2000 se síťová syntéza začala aplikovat na mechanické systémy i na elektrické systémy, zejména v USA Formule jedna závodění.

Přehled

Syntéza sítě je o návrhu elektrické sítě, která se chová předepsaným způsobem bez jakékoli předsudky o podobě sítě. Typicky, impedance je nutné syntetizovat pomocí pasivních komponent. To znamená, že síť se skládá z odpory (R), indukčnosti (L) a kapacity (C). Takové sítě mají vždy označenou impedanci ${ displaystyle Z (s)}$ve formě a racionální funkce z komplexní frekvence proměnná s. To znamená, že impedance je poměr dvou polynomů v s.^[1]

V syntéze sítí existují tři široké oblasti studia; sblížení požadavku s racionální funkcí, syntéza této funkce do sítě a určení ekvivalentů syntetizované sítě.^[2]

Přiblížení

Idealizovaná předepsaná funkce bude zřídka schopna být přesně popsána polynomy. Není proto možné syntetizovat síť k její přesné reprodukci.^[3] Jednoduchým a běžným příkladem je filtr na cihlovou zeď. Toto je ideální reakce a dolní propust ale jeho po částech spojité odezvu nelze u polynomů reprezentovat kvůli diskontinuitám. K překonání této obtížnosti je nalezena racionální funkce, která se blíží použití předepsané funkce teorie aproximace.^[4] Obecně platí, že čím blíže je požadována aproximace, tím vyšší je stupeň polynomu a tím více prvků bude v síti požadováno.^[5]

Pro syntézu sítí se pro tento účel používá mnoho polynomů a funkcí. Volba závisí na tom, které parametry předepsané funkce si návrhář přeje optimalizovat.^[6] Jeden z prvních použitých byl Butterworthovy polynomy což má za následek maximálně ploché odezva v pásmu.^[7] Běžnou volbou je Čebyševova aproximace ve kterém návrhář specifikuje, jak moc se může odezva passband odchýlit od ideálu výměnou za vylepšení dalších parametrů.^[8] K dispozici jsou další aproximace pro optimalizaci časového zpoždění, impedanční přizpůsobení, sjet a mnoho dalších požadavků.^[9]

Realizace

Vzhledem k racionální funkci je obvykle nutné určit, zda je funkce realizovatelná jako diskrétní pasivní síť. Všechny tyto sítě jsou popsány racionální funkcí, ale ne všechny racionální funkce jsou realizovatelné jako diskrétní pasivní síť.^[10] Historicky se síťová syntéza týkala výhradně těchto sítí. Moderní aktivní komponenty učinily toto omezení méně relevantní v mnoha aplikacích,^[11] ale na vyšší rádiové frekvence pasivní sítě jsou stále technologií volby.^[12] Tady je jednoduchá vlastnost racionálních funkcí, které předpovídají, zda je funkce realizovatelná jako pasivní síť. Jakmile je určeno, že je funkce realizovatelná, je k dispozici řada algoritmů, které z ní syntetizují síť.^[13]

Rovnocennost

Síťová realizace z racionální funkce není jedinečná. Stejná funkce může realizovat mnoho ekvivalentních sítí. Je známo že afinní transformace impedanční matice vytvořené v analýza sítě sítě jsou všechny impedanční matice ekvivalentních sítí (další informace na Analogový filtr § Realizovatelnost a rovnocennost ).^[14] jiný impedanční transformace jsou známy, ale zda existují i ​​další třídy ekvivalence zbývá objevit, je otevřená otázka.^[15]

Hlavní oblastí výzkumu v syntéze sítí bylo najít realizaci, která využívá minimální počet prvků. Tato otázka nebyla pro obecný případ zcela vyřešena,^[16] ale řešení jsou k dispozici pro mnoho sítí s praktickými aplikacemi.^[17]

Dějiny

Wilhelm Cauer

Pole síťové syntézy založil německý matematik a vědec Wilhelm Cauer (1900–1945). První náznak k teorii přišel od amerického matematika Ronald M. Foster (1896–1998), když publikoval Věta o reaktanci v roce 1924. Cauer okamžitě uznal důležitost této práce a začal ji zobecňovat a rozšiřovat. Jeho práce v roce 1926 byla na téma „Realizace impedancí předpokládané frekvenční závislosti“ a je počátkem oboru. Cauerova nejpodrobnější práce byla provedena během druhá světová válka, ale byl zabit krátce před koncem války. Během války nemohlo být jeho dílo široce publikováno a až v roce 1958 jeho rodina shromáždila jeho práce a vydala je pro širší svět. Mezitím byl ve Spojených státech učiněn pokrok na základě předválečných publikací Cauera a materiálu zachyceného během války.^[18]

Anglický samouk matematik a vědec Oliver Heaviside (1850–1925) jako první ukázal, že impedance sítě RLC byla vždy racionální funkcí frekvenčního operátora, neposkytovala však žádnou metodu realizace sítě z racionální funkce.^[19] Cauer našel nezbytnou podmínku, aby byla racionální funkce realizovatelná jako pasivní síť. Jihoafričan Otto Brune (1901–1982) tento termín později vytvořil pozitivní-skutečná funkce (PRF) pro tento stav. Cauer předpokládal, že PRF je a nezbytné a dostatečné stav, ale nemohl to dokázat, a navrhl to jako výzkumný projekt Bruneovi, který byl jeho student v té době ve Spojených státech.^[20] Brune publikoval chybějící důkaz v roce 1931 disertační práce.^[21]

Raoul Bott

Fosterova realizace byla omezena na LC sítě a byla v jedné ze dvou forem; buď řada sérií LC obvody paralelně nebo několik paralelních LC obvodů v sérii. Fosterova metoda spočívala v expanzi ${ displaystyle Z (s)}$ do dílčí zlomky. Cauer ukázal, že Fosterovu metodu lze rozšířit na sítě RL a RC. Cauer také našel jinou metodu; rozšiřování ${ displaystyle Z (s)}$ jako pokračující zlomek což má za následek žebříková síť, opět ve dvou možných formách.^[22] Obecně bude PRF představovat síť RLC; se všemi třemi druhy prvků je realizace složitější. Cauer i Brune použili ideální transformátory při realizaci RLC sítí. Zahrnutí transformátorů je při praktické realizaci obvodu nežádoucí.^[23]

Metodu realizace, která nevyžadovala transformátory, poskytl v roce 1949 maďarsko-americký matematik Raoul Bott (1923–2005) a americký fyzik Richard Duffin (1909–1996).^[24] Metoda Bott a Duffin poskytuje expanzi opakovanou aplikací Richardsova věta, výsledek z roku 1947 díky americkému fyzikovi a aplikovanému matematikovi Paul I. Richards (1923–1978).^[25] Výsledné sítě Bott-Duffin mají omezené praktické využití (alespoň pro racionální funkcionály vysoké stupeň ), protože počet požadovaných komponent exponenciálně roste se stupněm.^[26] Řada variant původní Bott-Duffinovy ​​metody snižuje počet prvků v každé sekci ze šesti na pět, ale stále s exponenciálně rostoucím celkovým počtem.^[27] K dosažení tohoto cíle patří dokumenty Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) a Fialkow & Gest (1955).^[28] Od roku 2010 nedošlo k žádnému dalšímu významnému pokroku v syntéze racionálních funkcí.^[29]

V roce 1939 americký elektrotechnik Sidney Darlington ukázal, že jakýkoli PRF lze realizovat jako dvouportová síť skládající se pouze z prvků L a C a ukončených na svém výstupu a odpor. To znamená, že v jakékoli síti je vyžadován pouze jeden rezistor, zbývající komponenty jsou bezztrátové. Věta byla nezávisle objevena jak Cauerem, tak Giovannim Coccim.^[30] Důsledkem je nalezení syntézy PRF pomocí prvků R a C pouze s jedním induktorem, což je v teorii sítí nevyřešený problém.^[31] Dalším nevyřešeným problémem je nalezení důkazu Darlingtonova domněnky (1955), že jakýkoli RC 2-port se společným terminálem lze realizovat jako sériově paralelní síť.^[32] Důležitým aspektem v praktických sítích je minimalizace počtu komponent, zejména vinutých komponent - induktorů a transformátorů. Navzdory velkému úsilí věnovanému minimalizaci^[33] nikdy nebyla objevena žádná obecná teorie minimalizace jako pro Booleova algebra číslicových obvodů.^[34]

Cauer použit eliptické racionální funkce produkovat aproximace ideálních filtrů.^[35] Zvláštní případ eliptických racionálních funkcí je Čebyševovy polynomy kvůli Pafnuty Čebyšev (1821–1894) a je důležitou součástí teorie aproximace.^[36] Čebyševovy polynomy jsou široce používány k navrhování filtrů. V roce 1930 britský fyzik Stephen Butterworth (1885–1958) navrhl Butterworthův filtr, jinak známý jako maximálně plochý filtr, pomocí Butterworthovy polynomy.^[37] Butterworthova práce byla zcela nezávislá na Cauerovi, ale později se zjistilo, že Butterworthovy polynomy byly limitujícím případem Čebyševových polynomů.^[38] Ještě dříve (1929) a znovu samostatně, americký inženýr a vědec Edward Lawry Norton (1898–1983) navrhl maximálně plochý mechanický filtr s odezvou zcela analogickou s Butterworthovým elektrickým filtrem.^[39]

V roce 2000 byl podpořen zájem o další rozvoj teorie síťové syntézy, když se teorie začala aplikovat na velké mechanické systémy.^[40] Nevyřešený problém minimalizace je mnohem důležitější v mechanické oblasti než v elektrické kvůli velikosti a ceně komponent.^[41] V roce 2017 se vědci z University of Cambridge omezili na zvažování dvojkvadratické racionální funkce, zjistili, že Bott-Duffinovy ​​realizace těchto funkcí pro všechny sériově paralelní sítě a většinu libovolných sítí měly minimální počet reaktancí (Hughes, 2017). Zjistili, že tento výsledek je překvapivý, protože ukázal, že Bott-Duffinova metoda nebyla tak malá, jak se dříve myslelo.^[42] Tento výzkum se částečně soustředil na revizi Ladenheimův katalog. Toto je výčet všech odlišných sítí RLC s ne více než dvěma reaktancemi a třemi odpory. Edward Ladenheim provedl tuto práci v roce 1948, když byl studentem Fostera. Relevance katalogu spočívá v tom, že všechny tyto sítě jsou realizovány dvojkvadratickými funkcemi.^[43]

Aplikace

Nejčastěji používaná aplikace síťové syntézy je v designu filtry pro zpracování signálu. Moderní design těchto filtrů je téměř vždy nějakou formou filtr syntézy sítě.^[44]

Hendrik Bode

Další aplikací je návrh impedanční přizpůsobení sítí. Přiřazení impedance na jedné frekvenci vyžaduje pouze triviální síť - obvykle jednu součást. Přizpůsobení impedance v širokém pásmu však vyžaduje složitější síť, a to i v případě, že se odpor zdroje a zátěže nemění s frekvencí. Provedení s pasivními prvky a bez použití transformátorů má za následek design podobný filtru. Kromě toho, pokud zátěž není čistá odpor pak je možné dosáhnout dokonalé shody pouze na řadě diskrétních frekvencí; zápas přes pásmo jako celek musí být aproximován.^[45] Návrhář nejprve předepíše kmitočtové pásmo, ve kterém má fungovat odpovídající síť, a poté navrhne a pásmový filtr pro tu kapelu. Jediným podstatným rozdílem mezi standardním filtrem a odpovídající sítí je to, že impedance zdroje a zátěže nejsou stejné.^[46]

Mezi filtry a odpovídajícími sítěmi, ve kterých jsou parametry důležité, existují rozdíly. Pokud síť nemá dvojí funkci, návrhář není příliš znepokojen chováním sítě odpovídající impedance mimo propustné pásmo. Nezáleží na tom, jestli přechodové pásmo není příliš úzký, nebo že stopband má chudé útlum. Ve skutečnosti se snaží zlepšit šířka pásma nad rámec toho, co je nezbytně nutné, sníží přesnost shody impedance. S daným počtem prvků v síti zúžení návrhové šířky pásma zlepšuje shodu a naopak. Omezení sítí přizpůsobujících impedanci nejprve zkoumal americký inženýr a vědec Hendrik Wade Bode v roce 1945 a zásadu, že musí být nutně filtrační, stanovil italsko-americký počítačový vědec Robert Fano v roce 1950.^[47] Jeden parametr v pásmu, který je obvykle nastaven pro filtry, je maximum ztráta vložení. U sítí s impedančním přizpůsobením lze dosáhnout lepší shody také nastavením minimální ztráty. To znamená, že zisk nikdy v žádném okamžiku nevystoupí k jednotě.^[48]

Sítě s časovým zpožděním lze navrhnout syntézou sítí s filtračními strukturami. Není možné navrhnout zpožďovací síť, která má konstantní zpoždění na všech frekvencích v pásmu. Je třeba použít aproximaci tohoto chování omezenou na předepsanou šířku pásma. Předepsané zpoždění nastane nanejvýš při konečném počtu bodových frekvencí. The Besselův filtr má maximálně ploché časové zpoždění.^[49]

Aplikace síťové syntézy se neomezuje pouze na elektrickou doménu. Může být aplikován na systémy v jakékoli energetické oblasti, které lze reprezentovat jako síť lineárních komponent. Zejména síťová syntéza našla aplikace v mechanické sítě v mechanické oblasti. Úvahy o mechanické syntéze sítí vedené Malcolm C. Smith navrhnout nový mechanický neworkový prvek, Inerter, který je analogický s elektrickým kondenzátorem.^[50] Mechanické součásti s vlastností setrvačnosti našly uplatnění v suspenzích Formule jedna závodní auta.^[51]

Syntetické techniky

Syntéza začíná výběrem aproximační techniky, která poskytuje a racionální funkce aproximace požadované funkce sítě. Pokud má být funkce implementována s pasivními součástmi, musí také splňovat podmínky a pozitivní-skutečná funkce (PRF).^[52] Použitá technika syntézy částečně závisí na tom, jaká forma sítě je požadována, a částečně na tom, kolik druhů prvků je v síti potřeba. Síť jednoho druhu je triviální případ, který se snižuje na impedanci jediného prvku. Síť typu dvou prvků (LC, RC nebo RL) lze syntetizovat pomocí Fosterovy nebo Cauerovy syntézy. Síť typu tří prvků (síť RLC) vyžaduje pokročilejší léčbu, jako je syntéza Brune nebo Bott-Duffin.^[53]

Které a kolik druhů prvků je zapotřebí, lze určit prozkoumáním póly a nuly (souhrnně nazývané kritické frekvence) funkce.^[54] Požadavek na kritické frekvence je uveden pro každý druh sítě v příslušných částech níže.

Podporujte syntézu

Fosterovu syntézu v její původní podobě lze aplikovat pouze na LC sítě. PRF představuje LC síť se dvěma prvky, pokud jsou kritické frekvence ${ displaystyle Z (s)}$ všechny existují na ${ displaystyle i omega}$ osa komplexní roviny ${ displaystyle s = sigma + i omega}$ (dále jen s-letadlo ) a bude střídat póly a nuly. Na počátku a v nekonečnu musí existovat jediná kritická frekvence, zbytek musí být v sdružovat páry. ${ displaystyle Z (s)}$ musí být poměr sudého a lichého polynomu a jejich stupně se musí lišit přesně o jeden. Tyto požadavky jsou důsledkem Fosterova věta o reaktanci.^[55]

Foster, tvořím se

Příklad realizace Fosteru I.

Fosterova první forma (forma Fostera I) se syntetizuje ${ displaystyle Z (s)}$ jako sada paralelních LC obvodů v sérii. Například,

${ displaystyle Z (s) = { frac {9s ^ {5} + 30s ^ {3} + 24s} {18s ^ {4} + 36s ^ {2} +8}}}$

lze rozšířit na částečné zlomky,

${ displaystyle Z (s) = {s nad 2} + { frac {(25 + 11 { sqrt {5}}) s} {5 (9 + 3 { sqrt {5}}) s ^ { 2} +20}} + { frac {(25-11 { sqrt {5}}) s} {5 (9-3 { sqrt {5}}) s ^ {2} +20}} simeq {s over 2} + { frac {2,48s} {3,93s ^ {2} +1}} + { frac {0,020s} {0,573s ^ {2} +1}}}$

První člen představuje sériový induktor, důsledek ${ displaystyle Z (s)}$ mít tyč v nekonečnu. Pokud by měl na počátku pól, představovalo by to sériový kondenzátor. Zbývající dva členy každý představují konjugované páry pólů na ${ displaystyle i omega}$ osa. Každý z těchto termínů lze syntetizovat jako paralelní LC obvod porovnáním s expirací impedance pro takový obvod,^[56]

${ displaystyle Z_ {LC} (s) = { frac {Ls} {LCs ^ {2} +1}}}$

Výsledný obvod je znázorněn na obrázku.

Formulář Foster II

Příklad realizace formuláře Foster II

Foster II se syntetizuje ${ displaystyle Z (s)}$ jako sada paralelních LC obvodů. Použije se stejná metoda expanze na dílčí zlomky jako pro formu Foster I, ale aplikuje se na vstup, ${ displaystyle Y (y)}$, namísto ${ displaystyle Z (s)}$. Použitím stejného příkladu PRF jako dříve,

${ displaystyle Y (s) = {1 over Z (s)} = { frac {18s ^ {4} + 36s ^ {2} +8} {9s ^ {5} + 30s ^ {3} + 24s }}}$

Rozšířeno v částečných zlomcích,

${ displaystyle Y (s) simeq {1 nad 3 s} + { frac {2,498s} {0,6346s ^ {2} +1}} + { frac {1,415s} {0,4719s ^ {2} + 1}}}$

První člen představuje zkratový induktor, důsledek ${ displaystyle Y (y)}$ mít pól na počátku (nebo ekvivalentně ${ displaystyle Z (s)}$ má na počátku nulu). Kdyby měl pól v nekonečnu, představovalo by to zkratovací kondenzátor. Zbývající dva členy každý představují konjugované páry pólů na ${ displaystyle i omega}$ osa. Každý z těchto pojmů lze syntetizovat jako sériový LC obvod porovnáním s vstupním vypršením pro takový obvod,^[57]

${ displaystyle Y_ {LC} (s) = { frac {Cs} {LCs ^ {2} +1}}}$

Výsledný obvod je znázorněn na obrázku.

Rozšíření na RC nebo RL sítě

Fosterovu syntézu lze rozšířit na jakoukoli dvouprvkovou síť. Například podmínky parciálního zlomku RC sítě ve formě Foster I budou každý představovat prvek R a C paralelně. V tomto případě budou dílčí zlomky ve tvaru,^[58]

${ displaystyle Z_ {RC} (s) = { frac {R} {RC + 1}}}$

Analogicky následují další formy a druhy prvků. Stejně jako u LC sítě lze PRF testovat a zjistit, zda se jedná o RC nebo RL síť, zkoumáním kritických frekvencí. Kritické frekvence musí být všechny na záporné reálné ose a musí se střídat mezi póly a nulami a každý musí mít stejný počet. Pokud je kritická frekvence nejblíže nebo na počátku původu pól, pak je PRF RC síť, pokud představuje a ${ displaystyle Z (s)}$, nebo se jedná o síť RL, pokud představuje a ${ displaystyle Y (y)}$. Naopak, pokud je kritická frekvence nejblíže nebo na počátku, je nula. Tato rozšíření teorie platí také pro níže popsané Cauerovy formy.^[59]

Imitance

Ve výše uvedené syntéze Foster je rozšíření funkce stejným postupem ve formě Foster I i Foster II. Je vhodné, zejména v teoretických pracích, chovat se k nim společně jako k imitance spíše než samostatně buď jako impedanci nebo vstup. Je pouze nutné deklarovat, zda funkce představuje impedanci nebo vstup v bodě, kdy je třeba realizovat skutečný obvod. Imitanci lze také použít stejným způsobem u formulářů a jiných postupů Cauer I a Cauer II.^[60]

Cauerova syntéza

Cauerova syntéza je alternativní syntézou k Fosterově syntéze a podmínky, které musí PRF splňovat, jsou přesně stejné jako Fosterova syntéza. Stejně jako Fosterova syntéza existují dvě formy Cauerovy syntézy a obě lze rozšířit na RC a RL sítě.

Cauer tvořím

Příklad realizace formy Cauer I.

Cauer I forma se rozšiřuje ${ displaystyle Z (s)}$ do pokračující zlomek. Stejným příkladem, jaký byl použit pro formulář Foster I,

${ displaystyle Z (s) = 0,5 s + { cfrac {1} {1,5 s + { cfrac {1} {2s + { cfrac {1} {1,5 s + { cfrac {1} {0,5 s}}}}} }}}}$

nebo v kompaktnější notaci

${ displaystyle Z (s) = [0,5 s; 1,5 s, 2 s, 1,5 s, 0,5 s].}$

Podmínky tohoto rozšíření lze přímo implementovat jako hodnoty komponent žebříkové sítě, jak je znázorněno na obrázku.^[61] Daný PRF může mít jmenovatele, který má větší míru než čitatel. V takových případech multiplikativní inverzní funkce se místo toho rozbalí. To znamená, pokud funkce představuje ${ displaystyle Z (s)}$, pak ${ displaystyle Y (y)}$ se místo toho rozbalí a naopak.^[62]

Formulář Cauer II

Příklad realizace formuláře Cauer II

Formulář Cauer II se rozšiřuje ${ displaystyle Z (s)}$ přesně stejným způsobem jako forma Cauer I, kromě toho, že termín nejnižšího stupně je extrahován nejprve v pokračující expanzi zlomků, spíše než termín nejvyššího stupně, jak je tomu ve formě Cauer I.^[63] Příklad použitý pro formu Cauer I a Foster, když je rozšířen jako forma Cauer II, má za následek, že některé prvky budou mít záporné hodnoty.^[64] Tento konkrétní PRF proto nemůže být realizován v pasivních součástech jako forma Cauer II bez zahrnutí transformátorů nebo vzájemné indukčnosti.^[65]

Základní důvod, že příklad ${ displaystyle Z (s)}$ nelze realizovat, protože forma Cauer II spočívá v tom, že tato forma má horní propust topologie. První prvek extrahovaný v pokračující frakci je sériový kondenzátor. To znemožňuje nulu ${ displaystyle Z (s)}$ na počátku, který má být realizován. Na druhé straně Cauer, kterého tvořím, má dolní propust topologie a přirozeně má na počátku nulu.^[66] Nicméně ${ displaystyle Y (y)}$ této funkce lze realizovat jako formu Cauer II, protože prvním extrahovaným prvkem je zkratovací induktor. To dává pól v počátku pro ${ displaystyle Y (y)}$, ale to znamená nutnou nulu na počátku pro ${ displaystyle Z (s)}$. Pokračující expanze frakce je,

${ displaystyle Y (s) simeq left [{1 nad 3s}; {1 nad 1,083s}, {1 nad 0,2175s}, {1 nad 1,735s} vpravo]}$

a realizovaná síť je znázorněna na obrázku.

Bruneova syntéza

Syntéza Brune může syntetizovat libovolný libovolný PRF, takže obecně povede k síti typu 3 prvků (tj. RLC). Póly a nuly mohou ležet kdekoli v levé polovině komplexní roviny.^[67] Bruneova metoda začíná několika předběžnými kroky k eliminaci kritických frekvencí na imaginární ose, jako v metodě Foster. Tyto předběžné kroky se někdy nazývají Foster preambule.^[68] Poté následuje cyklus kroků k vytvoření a kaskáda Bruneových sekcí.^[69]

Odstranění kritických frekvencí na imaginární ose

Póly a nuly na internetu ${ displaystyle j omega}$ osy představují prvky L a C, které lze extrahovat z PRF. Konkrétně

• pól na počátku představuje sériový kondenzátor
• pól v nekonečnu představuje sériovou indukčnost
• nula na počátku představuje zkratový induktor
• nula v nekonečnu představuje zkratovací kondenzátor
• pár tyčí na ${ displaystyle s = pm i omega _ {c}}$ představuje paralelní LC obvod rezonanční frekvence ${ displaystyle omega _ {c}}$ v sériích
• pár nul na ${ displaystyle s = pm i omega _ {c}}$ představuje sériový LC obvod s rezonanční frekvencí ${ displaystyle omega _ {c}}$ ve zkratu

Po těchto extrakcích nemá zbytek PRF žádné kritické frekvence na imaginární ose a je znám jako a minimální reaktance, minimum vnímavost funkce. Vlastní syntéza Brune začíná takovou funkcí.^[70]

Široký nástin metody

Podstatou Bruneovy metody je vytvoření konjugovaného páru nul na ${ displaystyle i omega}$ osa extrahováním skutečné a imaginární části funkce na dané frekvenci a poté extrahujte dvojici nul jako rezonanční obvod. Toto je první Bruneova část syntetizované sítě. Výsledný zbytek je další minimální reaktanční funkce, která je o dva stupně nižší. Cyklus se poté opakuje, přičemž každý cyklus produkuje ještě jednu Bruneovu část konečné sítě, dokud nezůstane jen konstantní hodnota (odpor).^[71] Bruneova syntéza je kanonická, to znamená, že počet prvků v konečné syntetizované síti se rovná počtu libovolných koeficientů v impedanční funkci. Počet prvků v syntetizovaném obvodu proto nelze dále snižovat.^[72]

Odstranění minimálního odporu

Extrahování minimálního odporu

Funkce minimální reaktance bude mít minimální skutečnou část, ${ displaystyle R _ { text {min}}}$, s určitou frekvencí ${ displaystyle omega _ { text {min}}}$. Tento odpor lze extrahovat z funkce a zanechat zbytek dalšího PRF zvaného a minimální kladně-reálná funkce, nebo prostě minimální funkce.^[73] Například funkce minimální reaktance

${ displaystyle Z (s) = { frac {3s ^ {2} + 3s + 6} {2s ^ {2} + s + 2}}}$

má ${ displaystyle omega _ { text {min}} = { sqrt {2}}}$ a ${ displaystyle R _ { text {min}} = 1}$. Minimální funkce, ${ displaystyle Z_ {1}}$, je tedy,

${ displaystyle Z_ {1} (s) = Z (s) -R _ { text {min}} = { frac {s ^ {2} + 2s + 4} {2s ^ {2} + s + 2} }}$

Odstranění záporné indukčnosti nebo kapacity

Extrakce záporné indukčnosti

Od té doby ${ displaystyle Z_ {1} (i omega _ {0})}$ nemá žádnou skutečnou část, můžeme psát,

${ displaystyle Z_ {1} (i omega _ {0}) = iX .}$

U ukázkové funkce

${ displaystyle Z_ {1} (i omega _ {0}) = - i { sqrt {2}} = iX .}$

V tomto případě, ${ displaystyle X}$ je negativní a interpretujeme to jako reaktanci induktoru se zápornou hodnotou, ${ displaystyle L_ {1}}$. Tím pádem,

${ displaystyle iX = i omega _ {0} L_ {1}}$ a

${ displaystyle L_ {1} = - 1}$

po nahrazení hodnotami ${ displaystyle omega _ {0}}$ a ${ displaystyle iX}$. Tato indukčnost je poté extrahována z ${ displaystyle Z_ {1}}$opouštět další PRF, ${ displaystyle Z_ {2}}$,

${ displaystyle Z_ {2} (s) = Z_ {1} (s) -sL_ {1} = { frac {2s ^ {3} + 2s ^ {2} + 4s + 4} {2s ^ {2} + s + 2}} .}$^[74]

Důvod pro získání záporné hodnoty je proto ${ displaystyle -sL_ {1}}$ je PRF, což by nebylo, kdyby ${ displaystyle L_ {1}}$ byli pozitivní. To zaručuje ${ displaystyle Z_ {2}}$ bude také PRF (protože součet dvou PRF je také PRF).^[75] Pro případy, kdy ${ displaystyle X}$ je kladná hodnota, místo toho se použije funkce přijetí a získá se záporná kapacita.^[76] Jak jsou tyto záporné hodnoty implementovány, je vysvětleno v další části.

Odstranění konjugované dvojice nul

Extrakce dvojice nul

Skutečná i imaginární část ${ displaystyle Z (i omega _ {0})}$ byly odstraněny v předchozích krocích. Zůstane tak dvojice nul ${ displaystyle Z_ {2}}$ v ${ displaystyle pm i omega _ {0}}$ jak je ukázáno rozčleněním vzorové funkce;^[77]

${ displaystyle Z_ {2} (s) = { frac {2s ^ {3} + 2s ^ {2} + 4s + 4} {2s ^ {2} + s + 2}} = { frac {(s ^ {2} +2) (2s + 2)} {2s ^ {2} + s + 2}} .}$

Protože taková dvojice nul představuje zkratový rezonanční obvod, vyjmeme jej jako dvojici pólů z přijímací funkce,

${ displaystyle { begin {aligned} Y_ {2} (s) & = {1 over Z_ {2} (s)} = { frac {2s ^ {2} + s + 2} {(s ^ { 2} +2) (2s + 2)}} & = {1 nad {2s + 2}} + { frac {s / 2} {s ^ {2} +2}} & = Y_ {3} (s) + { frac {s / 2} {s ^ {2} +2}} end {zarovnáno}}}$

Termín zcela vpravo je extrahovaný rezonanční obvod s ${ displaystyle L_ {2} = 2}$ a ${ displaystyle C_ {2} = 1/4}$.^[78] Dosud syntetizovaná síť je znázorněna na obrázku.

Odstranění tyče v nekonečnu

Těžba tyče v nekonečnu

${ displaystyle Z_ {3}}}$ musí mít pól v nekonečnu, protože jeden tam byl vytvořen extrakcí záporné indukčnosti. Tento pól lze nyní získat jako kladnou indukčnost.^[79]

${ displaystyle Z_ {3} (s) = {1 nad Y_ {3} (s)} = 2s + 2 = Z_ {4} (s) + 2s.}$

Tím pádem ${ displaystyle L_ {3} = 2}$ jak je znázorněno na obrázku.

Nahrazení záporné indukčnosti transformátorem

Eliminujte zápornou indukčnost pomocí transformátoru

Zápornou indukčnost nelze implementovat přímo s pasivními součástmi. „T-kus“ induktorů však může být převedeny na vzájemně spojené induktory který absorbuje negativní indukčnost.^[80] S vazební koeficient jednoty (těsně spojené) vzájemná indukčnost, ${ displaystyle M}$, v příkladu je 2.0.

Opláchněte a opakujte

Obecně, ${ displaystyle Z_ {4}}$ bude další funkcí minimální reaktance a Bruneův cyklus se poté opakuje, aby se extrahovala další sekce Brune^[81] V příkladu byl původní PRF stupně 2, takže po jeho snížení o dva stupně zbývá pouze konstantní člen, který se triviálně syntetizuje jako odpor.

Pozitivní X

V kroku dva cyklu bylo zmíněno, že je třeba extrahovat zápornou hodnotu prvku, aby byl zaručen zbytek PRF. Li ${ displaystyle X}$ je kladný, musí být extrahovaný prvek zkratovým kondenzátorem namísto sériového induktoru, má-li být prvek záporný. Vybírá se z přijetí ${ displaystyle Y_ {1} y}}$ místo impedance ${ displaystyle Z_ {1}}$. Topologie obvodu dosažená v kroku čtyři cyklu je a Π (pi) kondenzátorů plus induktor namísto odpaliště induktorů plus kondenzátor. Je možné ukázat, že toto Π kondenzátorů plus induktor je ekvivalentní obvod odpaliště induktorů plus kondenzátor. Je tedy přípustné získat pozitivní indukčnost a poté postupovat, jako by to bylo ${ displaystyle Z_ {2}}$ byly PRF, i když tomu tak není. Ke správnému výsledku bude i nadále dosaženo a zbývající funkce bude PRF, takže může být vložena do dalšího cyklu.^[82]

Syntéza Bott-Duffin

Příklad kroků 1 a 2 syntézy Bott-Duffin

Příklad kroků 3 a 4 syntézy Bott-Duffin

Syntéza Bott-Duffin začíná jako syntéza Brune odstraněním všech pólů a nul na ${ displaystyle i omega}$ osa. Pak Richardsova věta je vyvolána, která uvádí pro,

${ displaystyle R (s) = { frac {kZ (s) -sZ (k)} {kZ (k) -sZ (s)}}}$

-li ${ displaystyle Z (s)}$ je tedy PRF ${ displaystyle R (s)}$ je PRF pro všechny skutečné, pozitivní hodnoty ${ displaystyle k}$.^[83]

Tvorba ${ displaystyle Z (s)}$ výsledky výrazu,^[84]

${ displaystyle Z (s) = left ({ frac {R (s)} {Z (k)}} + { frac {k} {sZ (k)}} right) ^ {- 1} + left ({ frac {1} {Z (k) R (s)}} + { frac {s} {kZ (k)}} right) ^ {- 1}}$

Příklad jednoho cyklu syntézy Bott-Duffin je uveden na obrázcích. Čtyři termíny v tomto výrazu jsou PRF (${ displaystyle Z_ {2}}$ v diagramu), indukčnost, ${ displaystyle L}$souběžně s ním další PRF (${ displaystyle Z_ {1}}$ v diagramu) a kapacitní, ${ displaystyle C}$souběžně s tím. Dvojice kritických frekvencí na ${ displaystyle i omega}$ Osa je poté extrahována z každého ze dvou nových PRF (podrobnosti zde nejsou uvedeny), z nichž každý je realizován jako rezonanční obvod. Dva zbytkové PRF (${ displaystyle Y_ {3}}}$ a ${ displaystyle Z_ {4}}$ v diagramu) jsou o dva stupně nižší než ${ displaystyle Z (s)}$.^[85] Stejný postup se poté opakovaně použije na nové generované PRF, dokud nezůstane jen jeden prvek.^[86] Vzhledem k tomu, že počet generovaných PRF se s každým cyklem zdvojnásobuje, bude počet syntetizovaných prvků exponenciálně růst. Ačkoli se Bott-Duffinova metoda vyhýbá použití transformátorů a lze ji použít na jakýkoli výraz schopný realizace jako pasivní síť, má praktické využití omezené kvůli vysokému požadovanému počtu komponent.^[87]

Bayardova syntéza

Bayardova syntéza je a státní prostor metoda syntézy založená na Gaussův faktorizační postup. Tato metoda vrací syntézu s použitím minimálního počtu rezistorů a neobsahuje žádné gyrátory. Metoda je však nekanonická a obecně vrátí minimální počet prvků reaktance.^[88]

Darlingtonova syntéza

Darlingtonova syntéza začíná z jiné perspektivy než dosud diskutované techniky, které všechny vycházejí z předepsané racionální funkce a realizují ji jako jeden port impedance. Darlingtonova syntéza začíná předepsanou racionální funkcí, která je požadována přenosová funkce a dvouportová síť. Darlington ukázal, že jakýkoli PRF lze realizovat jako síť se dvěma porty pouze s použitím prvků L a C s jediným rezistorem ukončujícím výstupní port.^[89] Darlington a související metody se nazývají metoda vložení ztráty.^[90] Metodu lze rozšířit na víceportové sítě, přičemž každý port je zakončen jediným rezistorem.^[91]

Darlingtonova metoda obecně bude vyžadovat transformátory nebo spojené induktory. However, most common filter types can be constructed by the Darlington method without these undesirable features.^[92]

Active and digital realisations

An example of a Sallen-Key cell dolní propust

If the requirement to use only passive elements is lifted, then the realisation can be greatly simplified. Amplifiers can be used to nárazník the parts of the network from each other so that they do not interact.^[93] Each buffered cell can directly realise a pair of poles of the rational function. There is then no need for any kind of iterative expansion of the function. The first example of this kind of synthesis is due to Stephen Butterworth v roce 1930.^[94] The Butterworthův filtr he produced became a classic of filter design, but more frequently implemented with purely passive rather than active components. More generally applicable designs of this kind include the Sallen – klíčová topologie due to R. P. Sallen and E. L. Key in 1955 at Laboratoř MIT Lincoln a biquadratic filter.^[95] Like the Darlington approach, Butterworth and Sallen-Key start with a prescribed transfer function rather than an impedance. A major practical advantage of active implementation is that it can avoid the use of wound components (transformers and inductors) altogether.^[96] These are undesirable for manufacturing reasons.^[97] Another feature of active designs is that they are not limited to PRFs.^[98]

Digital realisations, like active circuits, are not limited to PRFs and can implement any rational function simply by programming it in. However, the function may not be stable. That is, it may lead to kmitání. PRFs are guaranteed to be stable, but other functions may not be. The stability of a rational function can be determined by examining the poles and zeroes of the function and applying the Nyquistovo kritérium stability.^[99]

Reference

Bibliografie

Zdroje

• Aatre, Vasudev K., Network Theory and Filter Design, New Age International, 1986 ISBN  0852260148.
• Anderson, Brian D.O.; Vongpanitlerd, Sumeth, Network Analysis and Synthesis: A Modern Systems Theory Approach, Courier Corporation, 2013 ISBN  0486152170.
• Awang, Zaiki, Microwave Systems Design, Springer, 2013 ISBN  9789814451246.
• Bakshi, USA; Bakshi, A.V., Circuit Analysis - II, Technical Publications, 2009 ISBN  9788184315974.
• Bakshi, USA; Chitode, J.S., Linear Systems Analysis, Technical Publications, 2009 ISBN  8184317409.
• Belevitch, Vitold, "Summary of the history of circuit theory", Sborník IRE, sv. 50, iss. 5, pp. 848–855, May 1962.
• Carlin, Herbert J.; Civalleri, Pier Paolo, Wideband Circuit Design, CRC Press, 1997 ISBN  9780849378973.
• Cauer, Emil; Mathis, Wolfgang; Pauli, Rainer, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, June, 2000.
• Chao, Alan; Athans, Michael, "Stability robustness to unstructured uncertainty for linear time invariant systems", ch. 30 in, Levine, William S., The Control Handbook, CRC Press, 1996 ISBN  0849385709.
• Chen, Michael Z.Q.; Hu, Yinlong, Inerter and Its Application in Vibration Control Systems, Springer, 2019 ISBN  981107089X.
• Chen, Michael Z.Q.; Smith, Malcolm C., "Electrical and mechanical passive network synthesis", pp. 35–50 in, Blondel, Vincent D.; Boyd, Stephen P .; Kimuru, Hidenori (eds), Recent Advances in Learning and ControlSpringer, 2008 ISBN  9781848001541.
• Comer, David J.; Comer, Donald T., Advanced Electronic Circuit Design, Wiley, 2003 ISBN  0471228281.
• Darlington, Sidney "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Transactions: Circuits and Systems, sv. 31, pp. 3–13, 1984.
• Ghosh, S.P., Chakroborty, A.K., Network Analysis and Synthesis, Tata McGraw Hill, 2010 ISBN  9781259081422.
• Glisson, Tildon H., Úvod do analýzy a návrhu obvodu, Springer, 2011 ISBN ISBN  9048194431.
• Houpis, Constantine H.; Lubelfeld, Jerzy, Pulse Circuits, Simon and Schuster, 1970 OCLC  637996615.
• Hubbard, John H., "The Bott-Duffin synthesis of electrical circuits", pp. 33–40 in, Kotiuga, P. Robert (ed), Oslava matematického odkazu Raoula Botta, American Mathematical Society, 2010 ISBN  9780821883815.
• Hughes, Timothy H.; Morelli, Alessandro; Smith, Malcolm C., "Electrical network synthesis: A survey of recent work", pp. 281–293 in, Tempo, R.; Yurkovich, S.; Misra, P. (eds), Emerging Applications of Control and Systems Theory, Springer, 2018 ISBN  9783319670676.
• Kalman, Rudolf, "Old and new directions of research in systems theory", pp. 3–13 in, Willems, Jan; Hara, Shinji; Ohta, Yoshito; Fujioka, Hisaya (eds), Perspectives in Mathematical System Theory, Control, and Signal Processing, Springer, 2010 ISBN  9783540939177.
• Lee, Thomas H., Planar Microwave Engineering, Cambridge University Press, 2004 ISBN  0521835267.
• Matthaei, George L.; Young, Leo; Jones, E.M.T., Mikrovlnné filtry, sítě odpovídající impedanci a vazebné struktury, McGraw-Hill 1964 LCCN  64-7937.
• Paarmann, Larry D., Design and Analysis of Analog Filters, Springer Science & Business Media, 2001 ISBN  0792373731.
• Robertson, Ean; Somjit, Nutapong; Chongcheawchamnan Mitchai, Microwave and Millimetre-Wave Design for Wireless Communications, John Wiley & Sons, 2016 ISBN  1118917219.
• Shenoi, Belle A., Magnitude and Delay Approximation of 1-D and 2-D Digital Filters, Springer, 2012 ISBN  3642585736.
• Sisodia, M.L.; Gupta, Vijay Laxmi, Microwaves : Introduction To Circuits,Devices And Antennas, New Age International, 2007 ISBN  8122413382.
• Storer, James Edward, Passive Network Synthesis, McGraw-Hill, 1957 OCLC  435995425.
• Swanson, David C., Signal Processing for Intelligent Sensor Systems with MATLAB, CRC Press, 2012 ISBN  1420043056.
• Vaisband, Inna P.; Jakushokas, Renatas, Popovich, Mikhail; Mezhiba, Andrey V.; Köse, Selçuk; Friedman Eby G., On-Chip Power Delivery and Management, Springer, 2016 ISBN  3319293958.
• Wanhammar, Lars, Analog Filters using MATLAB, Springer, 2009 ISBN  0387927670.
• Youla, Dante C., Theory and Synthesis of Linear Passive Time-Invariant Networks, Cambridge University Press, 2015 ISBN  1107122864.
• Wing, Omar, Classical Circuit TheorySpringer, 2008 ISBN  0387097406.

Primární dokumenty

• Bott, Raoul; Duffin, Richard, "Impedance synthesis without use of transformers", Journal of Applied Physics, sv. 20, iss. 8, s. 816, August 1949.
• Bode, Hendrik, Síťová analýza a návrh zesilovače zpětné vazby, pp. 360–371, D. Van Nostrand Company, 1945 OCLC  1078811368.
• Brune, Otto, "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", MIT Journal of Mathematics and Physics, sv. 10, pp. 191–236, April 1931.
• Butterworth, Stephen, "On the theory of filter amplifiers", Experimental Wireless and the Wireless Engineer, sv. 7, č. 85, pp. 536–541, October 1930.
• Cauer, Wilhelm, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit" (The realisation of impedances of prescribed frequency dependence), Archiv pro Elektrotechnik, sv. 17, pp. 355–388, 1926 (in German).
• Cauer, Wilhelm, "Vierpole mit vorgeschriebenem D ̈ampfungs-verhalten", Telegraphen-, Fernsprech-, Funk- und Fern-sehtechnik, sv. 29, pp. 185–192, 228–235. 1940 (in German).
• Cocci, Giovanni, "Rappresentazione di bipoli qualsiasi con quadripoli di pure reattanze chiusi su resistenze", Alta Frequenza, sv. 9, pp. 685–698, 1940 (in Italian).
• Darlington, Sidney, "Synthesis of reactance 4-poles which produce prescribed inserion loss characteristics", MIT Journal of Mathematics and Physics, sv. 18, pp. 257–353, April 1939.
• Fano, Robert, "Theoretical limitations on the broadband matching of arbitrary impedances", Journal of the Franklin Institute, sv. 249, iss. 1, pp. 57–83, January 1950.
• Fialko, Aaron; Gerst, Irving, "Impedance synthesis without mutual coupling", Quarterly of Applied Mathematics, sv. 12, No. 4, pp. 420–422, 1955
• Hughes, Timothy H., "Why RLC realizations of certain impedances need many more energy storage elements than expected", Transakce IEEE na automatickém ovládání, sv. 62, iss 9, pp. 4333-4346, September 2017.
• Hughes, Timothy H., "Passivity and electric circuits: a behavioral approach", IFAC-PapersOnLine, sv. 50, iss. 1, pp. 15500–15505, July 2017.
• Ladenheim, Edward L., A Synthesis of Biquadratic Impedances, Master's thesis, Polytechnic Institute of Brooklyn, New York, 1948.
• Pantell, R.H., "A new method of driving point impedance synthesis", Sborník IRE, sv. 42, iss. 5, s. 861, 1954.
• Reza, F.M., "A bridge equivalent for a Brune cycle terminated in a resistor", Sborník IRE, sv. 42, iss. 8, s. 1321, 1954.
• Richards, Paul I., "Speciální třída funkcí s kladnou skutečnou částí v polorovině", Duke Mathematical Journal, sv. 14, č. 3, 777–786, 1947.
• Sallen, R.P.; Key, E.L, "A practical method of designing RC active filters", Transakce IRE na základě teorie obvodu, sv. 2, iss. 1 pp. 74–85, March 1955.
• Smith, Malcolm C., "Synthesis of mechanical networks: the inerter", Transakce IEEE na automatickém ovládání, sv. 47, iss. 10, pp. 1648–1662, Oct 2002.
• Storer, J.E., "Relationship between the Bott-Duffin and Pantell impedance synthesis", Sborník IRE, sv. 42, iss. 9, s. 1451, September 1954.