Rozvinutelný povrch - Developable surface

Válec je příkladem rozvinutelného povrchu.

v matematika, a rozvinutelný povrch (nebo torse: archaický) je hladký povrch s nulou Gaussovo zakřivení. To znamená, že je to povrch, který může být zploštělý na a letadlo bez zkreslení (tj. lze jej ohnout bez roztahování nebo stlačení). Naopak je to povrch, který lze vyrobit transformující se rovina (tj. „skládání“, „ohýbání“, „válcování“, „řezání“ a / nebo „lepení“). Ve třech rozměrech jsou všechny vyvíjející se povrchy ovládané povrchy (ale ne naopak). V R⁴ které nejsou ovládány.^[1]

Obálka jedné rodiny parametrů s rovinami se nazývá rozvinutelná plocha.

Údaje

Rozvinutelné povrchy, které lze realizovat v trojrozměrný prostor zahrnout:

Válce a obecněji „zobecněný“ válec; své průřez může být jakýkoli hladký křivka
Šišky a obecněji kuželovité povrchy; daleko od vrchol
The oloid a sféikon jsou členy speciální rodiny pevné látky které vyvíjejí celý svůj povrch, když válcování dolů po rovině.
Letadla (triviálně); na který lze pohlížet jako na válec, jehož průřez je a čára
Tangens rozvinutelný povrchy; které jsou konstruovány rozšířením tečna čáry prostorové křivky.
The torus má metriku, podle které je možné ji vyvinout a kterou lze vložit do trojrozměrného prostoru pomocí Nashova věta o vložení^[2] a má jednoduchou reprezentaci ve čtyřech rozměrech jako kartézský součin dvou kruhů: viz Clifford torus.

Formálně je v matematice rozvinutelný povrch povrch s nulou Gaussovo zakřivení. Důsledkem toho je, že všechny „vývojové“ povrchy vložené do 3D prostoru jsou ovládané povrchy (ačkoli hyperboloidy jsou příklady ovládaných ploch, které nelze vyvinout). Z tohoto důvodu může být mnoho rozvinutelných povrchů vizualizovat jako povrch vytvořený pohybem přímky v prostoru. Například kužel je tvořen udržováním jednoho koncový bod čáry pevné při pohybu druhého koncového bodu v a kruh.

aplikace

Srovnání tečných a sečnových válcových, kónických a azimutálních projekcí mapy se standardními rovnoběžkami zobrazenými červeně

Rozvinutelné povrchy mají několik praktických aplikací.

Vývojové mechanismy jsou mechanismy, které se přizpůsobují rozvinutelnému povrchu a mohou vykazovat pohyb (nasazení) mimo povrch.^[3]^[4]

Mnoho kartografický projekce zahrnovat projektování Země na rozvinutelný povrch a poté „rozvinutí“ povrchu do oblasti v rovině. Protože mohou být konstruovány ohýbáním plochého plechu, jsou také důležité v výrobní předměty z plech, lepenka, a překližka. An průmysl který značně využívá vyvinuté povrchy je stavba lodí.^[5]

Nevyvinutelný povrch

Většina hladkých povrchů (a většina povrchů obecně) není rozvinutelných povrchů. Nerozvinutelné povrchy jsou různě označovány jakodvojité zakřivení", "dvojnásobně zakřivené", "složené zakřivení", "nenulové Gaussovo zakřivení", atd.

Mezi nejčastěji používané nerozvinuté povrchy patří:

Koule nejsou rozvinutelné povrchy pod žádným metrický protože je nelze odmotat do letadla.
The vrtulník je ovládaný povrch - ale na rozdíl od výše uvedených ovládaných povrchů nejde o rozvinutelný povrch.
The hyperbolický paraboloid a hyperboloid jsou mírně odlišné dvojnásobně ovládané povrchy - ale na rozdíl od výše uvedených vyloučených povrchů není žádný z nich rozvinutelným povrchem.

Aplikace nerozvinutelných povrchů

Mnoho mřížky a tahové struktury a podobné konstrukce získávají na síle použitím (jakékoli) dvojnásobně zakřivené formy.

Viz také

Reference

^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, s. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
^ Borrelli, V .; Jabrane, S .; Lazarus, F .; Thibert, B. (duben 2012), „Ploché tori v trojrozměrném prostoru a konvexní integrace“, Sborník Národní akademie vědSborník Národní akademie věd, 109 (19): 7218–7223, doi:10.1073 / pnas.1118478109, PMC 3358891, PMID 22523238.
^ "Vývojové mechanismy | O vývojových mechanismech". vyhovující mechanismy. Citováno 2019-02-14.
^ Howell, Larry L .; Lang, Robert J .; Magleby, Spencer P .; Zimmerman, Trent K .; Nelson, Todd G. (2019-02-13). „Vyvinutelné mechanismy na vyvíjejících se plochách“. Vědecká robotika. 4 (27): eaau5171. doi:10.1126 / scirobotics.aau5171. ISSN 2470-9476.
^ Nolan, T. J. (1970), Počítačem podporovaný design rozvinutelných povrchů trupu, Ann Arbor: University Microfilms International

externí odkazy

[1] Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, s. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8

[2] Borrelli, V .; Jabrane, S .; Lazarus, F .; Thibert, B. (duben 2012), „Ploché tori v trojrozměrném prostoru a konvexní integrace“, Sborník Národní akademie vědSborník Národní akademie věd, 109 (19): 7218–7223, doi:10.1073 / pnas.1118478109, PMC 3358891, PMID 22523238.

[3] "Vývojové mechanismy | O vývojových mechanismech". vyhovující mechanismy. Citováno 2019-02-14.

[4] Howell, Larry L .; Lang, Robert J .; Magleby, Spencer P .; Zimmerman, Trent K .; Nelson, Todd G. (2019-02-13). „Vyvinutelné mechanismy na vyvíjejících se plochách“. Vědecká robotika. 4 (27): eaau5171. doi:10.1126 / scirobotics.aau5171. ISSN 2470-9476.

[5] Nolan, T. J. (1970), Počítačem podporovaný design rozvinutelných povrchů trupu, Ann Arbor: University Microfilms International

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]