Skleronomní - Scleronomous

Mechanický systém je skleronomní pokud rovnice omezení neobsahují čas jako explicitní proměnnou a rovnici omezení lze popsat zobecněnými souřadnicemi. Taková omezení se nazývají skleronomický omezení. Opakem skleronomů je reonomický.

aplikace

Ve 3D prostoru, částice s hmotou ${displaystyle m ,!}$ rychlost ${displaystyle mathbf {v},!}$ má Kinetická energie ${displaystyle T ,!}$

{displaystyle T = {frac {1} {2}} mv ^ {2},!.}

Rychlost je derivací polohy ${displaystyle r ,!}$ s ohledem na čas ${displaystyle t ,!}$ . Použití řetězové pravidlo pro několik proměnných:

{displaystyle mathbf {v} = {frac {dmathbf {r}} {dt}} = součet _ {i} {frac {částečný mathbf {r}} {částečný q_ {i}}} {tečka {q}} _ { i} + {frac {částečná mathbf {r}} {částečná t}},!.}

kde ${displaystyle q_ {i} ,!}$ jsou zobecněné souřadnice.

Proto,

{displaystyle T = {frac {1} {2}} mleft (součet _ {i} {frac {částečná mathbf {r}} {částečná q_ {i}}} {tečka {q}} _ {i} + {frac {částečná mathbf {r}} {částečná t}} noc) ^ {2},!.}

Pečlivé přeuspořádání podmínek,^[1]

{displaystyle T = T_ {0} + T_ {1} + T_ {2},!:}

{displaystyle T_ {0} = {frac {1} {2}} mleft ({frac {částečná mathbf {r}} {částečná t}} noc) ^ {2},!,}

{displaystyle T_ {1} = součet _ {i} m {frac {parciální mathbf {r}} {parciální t}} cdot {frac {parciální mathbf {r}} {parciální q_ {i}}} {tečka {q} } _ {i},!,}

{displaystyle T_ {2} = součet _ {i, j} {frac {1} {2}} m {frac {částečná mathbf {r}} {částečná q_ {i}}} cdot {frac {částečná mathbf {r} } {částečné q_ {j}}} {tečka {q}} _ {i} {tečka {q}} _ {j},!,}

kde ${displaystyle T_ {0} ,!}$ , ${displaystyle T_ {1} ,!}$ , ${displaystyle T_ {2} ,!}$ jsou příslušně homogenní funkce stupně 0, 1 a 2 v zobecněných rychlostech. Pokud je tento systém skleronomní, pak pozice výslovně nezávisí na čase:

{displaystyle {frac {částečná mathbf {r}} {částečná t}} = 0,!.}

Proto pouze termín ${displaystyle T_ {2} ,!}$ nezmizí:

{displaystyle T = T_ {2},!.}

Kinetická energie je homogenní funkcí stupně 2 ve zobecněných rychlostech.

Příklad: kyvadlo

Jednoduché kyvadlo

Jak je znázorněno vpravo, jednoduché kyvadlo je systém složený z váhy a řetězce. Řetězec je připevněn na horním konci k čepu a na spodním konci k závaží. Délka řetězce je konstantní, protože je neroztažitelný. Proto je tento systém skleronomický; podřizuje se skleronomickému omezení

{displaystyle {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0,!,}

kde ${displaystyle (x, y) ,!}$ je poloha závaží a ${displaystyle L ,!}$ je délka řetězce.

Jednoduché kyvadlo s oscilačním otočným bodem

Vezměme si složitější příklad. Viz následující obrázek vpravo, Předpokládejme, že horní konec řetězce je připojen k otočnému bodu, který prochází a jednoduchý harmonický pohyb

{displaystyle x_ {t} = x_ {0} protože omega t,!,}

kde ${displaystyle x_ {0} ,!}$ je amplituda, ${displaystyle omega,!}$ je úhlová frekvence a ${displaystyle t ,!}$ je čas.

Ačkoli horní konec řetězce není pevný, délka tohoto neroztažitelného řetězce je stále konstantní. Vzdálenost mezi horním koncem a hmotností musí zůstat stejná. Proto je tento systém rheonomický, protože se řídí omezeními výslovně závislými na čase

{displaystyle {sqrt {(x-x_ {0} cos omega t) ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0,!.}

Viz také

Reference

^ Goldstein, Herbert (1980). Klasická mechanika (3. vyd.). Spojené státy americké: Addison Wesley. str.25. ISBN 0-201-65702-3.

[Herb1980-1] Goldstein, Herbert (1980). Klasická mechanika (3. vyd.). Spojené státy americké: Addison Wesley. str.25. ISBN 0-201-65702-3.

[1]