Věta o dilataci Naimarků - Naimarks dilation theorem - Wikipedia

v teorie operátorů, Naimark teorém o dilataci je výsledek, který charakterizuje pozitivní opatření oceněná provozovatelem. Lze na to pohlížet jako na důsledek Stinespringova dilatační věta.

Poznámka

V matematické literatuře lze najít i další výsledky, které nesou Naimarkovo jméno.

Pravopis

Ve fyzikální literatuře je běžné vidět hláskování „Neumark“ místo „Naimark“. Druhá varianta je podle romanizace ruštiny použitý v překladu sovětských časopisů, s vynecháním diakritiky (původně Naĭmark). První z nich je podle etymologie příjmení.

Několik předběžných představ

Nechat X být kompaktní Hausdorffův prostor, H být Hilbertův prostor, a L (H) the Banachův prostor z omezené operátory na H. Mapování E z Borel σ-algebra na X na ${ displaystyle L (H)}$ se nazývá operátorem oceněné opatření pokud je slabě spočítatelná aditivum, tedy pro jakoukoli nesouvislou sekvenci Borelových sad ${ displaystyle {B_ {i} }}$, my máme

${ displaystyle langle E ( cup _ {i} B_ {i}) x, y rangle = součet _ {i} langle E (B_ {i}) x, y rangle}$

pro všechny X a y. Některá terminologie pro popis takových opatření je:

• E je nazýván pravidelný pokud je měřítko skalární hodnoty

${ displaystyle B rightarrow langle E (B) x, y rangle}$

je běžná míra Borel, což znamená, že všechny kompaktní množiny mají konečné celkové variace a míra množiny může být aproximována hodnotami otevřených množin.

• E je nazýván ohraničený -li ${ displaystyle | E | = sup _ {B} | E (B) | < infty}$.
• E je nazýván pozitivní -li E (B) je pozitivní operátor pro všechny B.
• E je nazýván samoadjung -li E (B) je self-adjoint pro všechny B.
• E je nazýván spektrální pokud je samo-adjunkt a ${ displaystyle E (B_ {1} cap B_ {2}) = E (B_ {1}) E (B_ {2})}$ pro všechny ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$.

Během toho budeme předpokládat E je pravidelný.

Nechat C (X) označují abelian C * -algebra spojitých funkcí zapnuto X. Li E je pravidelný a ohraničený, vyvolává mapu ${ displaystyle Phi _ {E}: C (X) pravá šipka L (H)}$ zřejmým způsobem:

${ displaystyle langle Phi _ {E} (f) h_ {1}, h_ {2} rangle = int _ {X} f (x) langle E (dx) h_ {1}, h_ {2 } rangle}$

Ohraničenost E znamená pro všechny h jednotkové normy

${ displaystyle langle Phi _ {E} (f) h, h rangle = int _ {X} f (x) langle E (dx) h, h rangle leq | f | _ { infty} cdot | E |.}$

Toto ukazuje ${ displaystyle ; Phi _ {E} (f)}$ je omezený operátor pro všechny F, a ${ displaystyle Phi _ {E}}$ sama o sobě je také ohraničená lineární mapa.

Vlastnosti ${ displaystyle Phi _ {E}}$ přímo souvisí s těmi z E:

• Li E je tedy pozitivní ${ displaystyle Phi _ {E}}$, viděný jako mapa mezi C * -algebras, je také pozitivní.
• ${ displaystyle Phi _ {E}}$ je homomorfismus, pokud je podle definice pro všechny spojitý F na X a ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2} v H}$,

${ displaystyle langle Phi _ {E} (fg) h_ {1}, h_ {2} rangle = int _ {X} f (x) cdot g (x) ; langle E (dx) h_ {1}, h_ {2} rangle = langle Phi _ {E} (f) Phi _ {E} (g) h_ {1}, h_ {2} rangle.}$

Vzít F a G být indikátorovými funkcemi Borelových sad a vidíme to ${ displaystyle Phi _ {E}}$ je homomorfismus právě tehdy E je spektrální.

• Podobně řečeno ${ displaystyle Phi _ {E}}$ respektuje provozní prostředky *

${ displaystyle langle Phi _ {E} ({ bar {f}}) h_ {1}, h_ {2} rangle = langle Phi _ {E} (f) ^ {*} h_ {1 }, h_ {2} rangle.}$

LHS je

${ displaystyle int _ {X} { bar {f}} ; langle E (dx) h_ {1}, h_ {2} rangle,}$

a RHS je

${ displaystyle langle h_ {1}, Phi _ {E} (f) h_ {2} rangle = { overline { langle Phi _ {E} (f) h_ {2}, h_ {1} rangle}} = int _ {X} { bar {f}} (x) ; { overline { langle E (dx) h_ {2}, h_ {1} rangle}} = int _ {X} { bar {f}} (x) ; langle h_ {1}, E (dx) h_ {2} rangle}$

Vezmeme-li f posloupnost spojitých funkcí, která se zvýší na indikátorovou funkci B, dostaneme ${ displaystyle langle E (B) h_ {1}, h_ {2} rangle = langle h_ {1}, E (B) h_ {2} rangle}$, tj. E (B) je vlastní adjoint.

• Kombinace předchozích dvou skutečností vede k závěru, že ${ displaystyle Phi _ {E}}$ je * -homomorfismus právě tehdy E je spektrální a vlastní adjoint. (Když E je spektrální a vlastní adjoint, E se říká, že je míra projekce nebo PVM.)

Naimarkova věta

Věta zní takto: Let E být pozitivní L (H)-hodnota zapnuta X. Existuje Hilbertův prostor K., omezený operátor ${ displaystyle V: K rightarrow H}$, a self-adjoint, spektrální L (K)-hodnota zapnuta X, F, takový, že

${ displaystyle ; E (B) = VF (B) V ^ {*}.}$

Důkaz

Nyní načrtneme důkaz. Argument projde E na vyvolanou mapu ${ displaystyle Phi _ {E}}$ a použití Stinespringova dilatační věta. Od té doby E je pozitivní, tak je ${ displaystyle Phi _ {E}}$ jako mapa mezi C * -algebrami, jak je vysvětleno výše. Dále proto, že doména ${ displaystyle Phi _ {E}}$, C (X), je abelianská C * -algebra, to máme ${ displaystyle Phi _ {E}}$ je zcela pozitivní. Podle Stinespringova výsledku existuje Hilbertův prostor K., * -homomorfismus ${ displaystyle pi: C (X) pravá šipka L (K)}$a operátor ${ displaystyle V: K rightarrow H}$ takhle

${ displaystyle ; Phi _ {E} (f) = V pi (f) V ^ {*}.}$

Vzhledem k tomu, že π je * -homomorfismus, je to jeho odpovídající hodnota oceněná operátorem F je spektrální a vlastní adjoint. Je to snadno vidět F má požadované vlastnosti.

Konečně-rozměrný případ

V případě konečných rozměrů existuje poněkud jasnější formulace.

Předpokládejme hned ${ displaystyle X = {1, dotsc, n }}$, proto C(X) je konečná trojrozměrná algebra ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$, a H má konečný rozměr m. Pozitivní míra oceňovaná operátorem E pak každému přiřadí i pozitivní semidefinit m × m matice ${ displaystyle E_ {i}}$. Naimarkova věta nyní uvádí, že existuje míra projekce X jehož omezení je E.

Obzvláště zajímavý je zvláštní případ, kdy ${ displaystyle sum _ {i} E_ {i} = já}$ kde Já je operátor identity. (Viz článek na POVM pro příslušné aplikace.) V tomto případě indukovaná mapa ${ displaystyle Phi _ {E}}$ je unital. Lze předpokládat, že každý nemá ztrátu obecnosti ${ displaystyle E_ {i}}$ je prvotřídní projekce na některé ${ displaystyle x_ {i} in mathbb {C} ^ {m}}$. Za takových předpokladů případ ${ displaystyle n$ je vyloučeno a my musíme mít buď

1. ${ displaystyle n = m}$ a E je již měřítkem projekce (protože ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} x_ {i} ^ {*} = I}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle {x_ {i} }}$ je ortonormální základ),
2. ${ displaystyle n> m}$ a ${ displaystyle {E_ {i} }}$ nespočívá ve vzájemně ortogonálních projekcích.

Pro druhou možnost se nyní problém nalezení vhodného měřítka oceněného projekcí stává problémem následujícím. Předpokladem je non-čtvercová matice

${ displaystyle M = { begin {bmatrix} x_ {1} cdots x_ {n} end {bmatrix}}}$

je izometrie, to znamená ${ displaystyle MM ^ {*} = I}$. Pokud najdeme a ${ displaystyle (n-m) krát n}$ matice N kde

${ displaystyle U = { begin {bmatrix} M N end {bmatrix}}}$

je n × n unitární matice, míra projekce, jejíž prvky jsou projekce na vektory sloupců U pak bude mít požadované vlastnosti. V zásadě takový a N lze vždy najít.

Reference

• V. Paulsen, Zcela ohraničené mapy a operátorské algebry, Cambridge University Press, 2003.