Choisova věta o zcela pozitivních mapách - Chois theorem on completely positive maps - Wikipedia
v matematika, Choiova věta o zcela pozitivních mapách je výsledek, který klasifikuje zcela pozitivní mapy mezi konečně-dimenzionální (matice) C * -algebry. Nekonečno-dimenzionální algebraické zobecnění Choiho věty je známé jako Belavkin „“Radon – Nikodym "věta pro zcela pozitivní mapy.
Prohlášení
Choiova věta. Nechat Φ: Cn×n → Cm×m být lineární mapa. Následující jsou ekvivalentní:
- (i) Φ je n-pozitivní.
- (ii) Matice se vstupy operátora
- je pozitivní, kde Eij ∈ Cn×n je matice s 1 v ij-tý vstup a 0s jinde. (Matice CΦ se někdy nazývá Choi matice z Φ.)
- (iii) Φ je zcela pozitivní.
Důkaz
(i) implikuje (ii)
Pozorujeme, že pokud
pak E=E* a E2=NE, tak E=n−1EE* což je pozitivní. Proto CΦ =(Ján ⊗ Φ) (E) je pozitivní od n-pozitivnost Φ.
(iii) znamená (i)
To platí triviálně.
(ii) znamená (iii)
Jedná se hlavně o pronásledování různých způsobů pohledu Cnm×nm:
Nechte vlastní rozklad rozkladu CΦ být
kde vektory ležet v Cnm . Předpokládáme, že každé vlastní číslo je nezáporné, takže můžeme absorbovat vlastní hodnoty v vlastních vektorech a předefinovat aby
Vektorový prostor Cnm lze zobrazit jako přímý součet kompatibilní s výše uvedenou identifikací a standardní základ Cn.
Li Pk ∈ Cm × nm je projekce na k-tá kopie Cm, pak Pk* ∈ Cnm×m je zahrnutí Cm jako k-tý součet přímého součtu a
Nyní, když operátoři PROTIi ∈ Cm×n jsou definovány na k- standardní vektor základny Ek z Cn podle
pak
Prodloužení o linearitu nám dává
pro všechny A ∈ Cn×n. Jakákoli mapa této formy je zjevně zcela pozitivní: mapa je zcela pozitivní a součet (napříč ) zcela pozitivních operátorů je opět zcela pozitivní. Tím pádem je zcela pozitivní, požadovaný výsledek.
Výše uvedené je v zásadě Choiho původní důkaz. Byly známy také alternativní důkazy.
Důsledky
Operátoři Kraus
V kontextu teorie kvantové informace, operátoři {PROTIi} se nazývají Operátoři Kraus (po Karl Kraus ) z Φ. Všimněte si, že vzhledem ke zcela pozitivnímu need nemusí být jeho operátoři Kraus jedineční. Například jakákoli „odmocnina“ faktorizace Choiho matice CΦ = B∗B dává sadu operátorů Kraus. (Oznámení B nemusí být jedinečným pozitivem odmocnina Choiho matice.)
Nechat
kde bi* jsou řádkové vektory B, pak
Odpovídající operátoři Kraus lze získat přesně stejným argumentem z důkazu.
Když jsou operátory Kraus získány z rozkladu vlastních vektorů Choiho matice, protože vlastní vektory tvoří ortogonální množinu, jsou odpovídající operátoři Kraus také ortogonální v Hilbert – Schmidt vnitřní produkt. To obecně neplatí pro operátory Kraus získané faktorizací druhou odmocninou. (Pozitivní semidefinitní matice obecně nemají jedinečnou druhou odmocninu faktorizace.)
Pokud dvě sady operátorů Kraus {Ai}1nm a {Bi}1nm představují stejnou zcela pozitivní mapu Φ, pak existuje unitární operátor matice
To lze považovat za zvláštní případ výsledku týkajícího se dvou minimální reprezentace Stinespring.
Alternativně existuje izometrie skalární matice {uij}ij ∈ Cnm × nm takhle
To vyplývá ze skutečnosti, že pro dvě čtvercové matice M a N, M M * = N N * kdyby a jen kdyby M = N U pro některé unitární U.
Zcela copositive mapy
Z Choiho věty bezprostředně vyplývá, že Φ je zcela kopositivní právě tehdy, má-li formu
Hermitovské mapy
Choiho techniku lze použít k získání podobného výsledku pro obecnější třídu map. Φ se říká, že je hermitský konzervující, pokud A je Hermitian naznačuje Φ (A) je také poustevník. Lze ukázat, že Herm je hermitský zachovávající právě tehdy, pokud má formu
kde λi jsou reálná čísla, vlastní čísla CΦa každý PROTIi odpovídá vlastnímu vektoru CΦ. Na rozdíl od zcela pozitivního případu CΦ nemusí být pozitivní. Protože hermitovské matice nepřipouštějí faktorizace formy B * B obecně platí, že Krausovo zastoupení již pro danou osobu není možné Φ.
Viz také
Reference
- M.-D. Choi, Zcela pozitivní lineární mapy na složitých maticích„Lineární algebra a její aplikace, 10, 285–290 (1975).
- V. P. Belavkin, P. Staszewski, Radon-Nikodymova věta pro zcela pozitivní mapy, Zprávy o matematické fyzice, v.24, č. 1, 49–55 (1986).
- J. de Pillis, Lineární transformace, které zachovávají hermitovské a pozitivní semidefinitní operátory, Pacific Journal of Mathematics, 23, 129–137 (1967).