Zákon zelených - Greens law - Wikipedia

Vlnová rovnice pro otevřený kanál

Výchozím bodem jsou linearizované jednorozměrné Saint-Venantovy rovnice pro otevřený kanál s obdélníkovým průřezem (svislé boční stěny). Tyto rovnice popisují vývoj vlny s volný povrch nadmořská výška ${ displaystyle eta (x, t)}$ a horizontální rychlost proudění ${ displaystyle u (x, t),}$ s ${ displaystyle x}$ vodorovná souřadnice podél osy kanálu a ${ displaystyle t}$ čas:

${ displaystyle { begin {seřazeno} & b , { frac { částečné eta} { částečné t}} + { frac { částečné (b , h , u)} { částečné x}} = 0, & { frac { částečné u} { částečné t}} + g , { frac { částečné eta} { částečné x}} = 0, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle g}$ je gravitace Země (bráno jako konstanta), ${ displaystyle h}$ je znamenat hloubka vody, ${ displaystyle b}$ je šířka kanálu a ${ displaystyle částečné / částečné t}$ a ${ displaystyle částečné / částečné x}$ označují částečné derivace s ohledem na prostor a čas. Pomalá variace šířky ${ displaystyle b}$ a hloubka ${ displaystyle h}$ se vzdáleností ${ displaystyle x}$ podél osy kanálu se zohlední jejich označením jako ${ displaystyle b ( mu x)}$ a ${ displaystyle h ( mu x),}$ kde ${ displaystyle mu}$ je malý parametr: ${ displaystyle mu ll 1.}$ Výše uvedené dvě rovnice lze spojit do jedné vlnová rovnice pro nadmořskou výšku:

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné t ^ {2}}} - { frac {g} {b}} , { frac { částečné} { částečné x }} vlevo (b , h , { frac { částečné eta} { částečné x}} pravé) = 0,}$   as rychlostí následující od  ${ displaystyle u = -g int { frac { částečné eta} { částečné x}} ; mathrm {d} t.}$

(1)

V metodě Liouville – Green je přístup převést výše uvedenou vlnovou rovnici na nehomogenní koeficienty na homogenní (zanedbání některých malých zbytků z hlediska ${ displaystyle mu}$).

Transformace na vlnovou fázi jako nezávislá proměnná

Dalším krokem je použití a transformace souřadnic, zavedení cestovní doby (nebo vlnová fáze ) ${ displaystyle tau}$ dána

${ displaystyle { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} = { sqrt {g , h}},}$   tak   ${ displaystyle tau = int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h ( mu s)}}} ; mathrm {d} s}$

a ${ displaystyle x}$ jsou propojeny prostřednictvím rychlost ${ displaystyle c = { sqrt {gh}}.}$ Představujeme pomalá proměnná ${ displaystyle X = mu x}$ a označující deriváty ${ displaystyle b (X)}$ a ${ displaystyle h (X)}$ s ohledem na ${ displaystyle X}$ s prvočíslem, např. ${ displaystyle b '= mathrm {d} b / mathrm {d} X,}$ the ${ displaystyle x}$deriváty ve vlnové rovnici, ekv. (1), stát se:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { částečné eta} { částečné x}} = left ({ frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} right) ^ {- 1} , { frac { částečné eta} { částečné tau}} = { frac {1} { sqrt {g , h}}} , { frac { částečné eta} { částečné tau}} qquad { text {a}} & { frac { částečné} { částečné x}} vlevo (b , h , { frac { částečné eta} { částečné x}} pravé) = b , h , { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné x ^ {2}}} + mu vlevo ( b ', h + b , h' vpravo) , { frac { částečné eta} { částečné x}} = { frac {b} {g}} , { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné tau ^ {2}}} + mu , { frac {b ', h + { tfrac {1} {2}} , b , h'} { sqrt {gh}}} , { frac { částečné eta} { částečné tau}}. end {zarovnáno}}}$

Nyní je vlnová rovnice (1) transformuje do:

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné t ^ {2}}} - { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné tau ^ {2}} } - mu , { sqrt {g , h}} , left ({ frac {b '} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} vpravo) , { frac { částečné eta} { částečné tau}} = 0.}$

(2)

Dalším krokem je transformace rovnice takovým způsobem, že ve druhém budou pouze odchylky od homogenity pořadí aproximace zůstávají, tj. úměrné ${ displaystyle mu ^ {2}.}$

Další transformace směrem k homogenitě

Rovnice homogenní vlny (tj. Rovnice (2) když ${ displaystyle mu}$ je nula) má řešení ${ displaystyle eta = F (t pm tau)}$ pro cestování vln trvalé formy šířící se buď negativně, nebo pozitivně ${ displaystyle x}$-směr. Pro nehomogenní případ, vzhledem k vlnám šířícím se v pozitivu ${ displaystyle x}$-směr, Green navrhuje přibližné řešení:

${ displaystyle eta ( tau, t) = Theta (X) , F (t- tau).}$

(3)

Pak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné t ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2 } F} { mathrm {d} tau ^ {2}}}, { frac { částečné eta} { částečné tau}} & = Theta , { frac { mathrm {d } F} { mathrm {d} tau}} + mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', F qquad { text {a}} { frac { částečné ^ {2} eta} { částečné tau ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2} F} { mathrm {d} tau ^ {2}}} + 2 , mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau }} + mu ^ {2} , g , h , Theta '' , F. end {zarovnáno}}}$

Nyní levá strana ekv. (2) se stává:

${ displaystyle mu , { sqrt {g , h}} , vlevo (2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta , { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau}} + mu ^ {2} , g , h , vlevo ({ frac { Theta ''} { Theta '}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta' , F.}$

Takže navrhované řešení v Eq. (3) vyhovuje Eq. (2), a tedy také ekv. (1) kromě výše uvedených dvou pojmů úměrných ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle mu ^ {2}}$, s ${ displaystyle mu ll 1.}$ Chyba v řešení může být vyrobena z objednávky ${ displaystyle { mathcal {O}} ( mu ^ {2})}$ pokud

${ displaystyle 2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h ' } {h}} = 0.}$

Toto má řešení:

${ displaystyle Theta (X) = alpha , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} , h ^ {- { tfrac {1} {4}}}.}$

Pomocí ekv. (3) a transformace z ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle tau}$, přibližné řešení pro nadmořskou výšku ${ displaystyle eta (x, t)}$ je

${ displaystyle eta (x, t) = b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; F left (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) + { mathcal {O}} ( mu ^ {2}),}$

(4)

kde konstanta ${ displaystyle alpha}$ byla nastavena na jednu, bez ztráty obecnosti. Negativní vlny cestující ${ displaystyle x}$-direction mít v argumentu funkce znaménko minus ${ displaystyle F}$ obrácen na znaménko plus. Vzhledem k tomu, že teorie je lineární, lze řešení přidávat z důvodu princip superpozice.

Sinusové vlny a Greenův zákon

Vlny se mění sinusový včas, s doba ${ displaystyle T,}$ jsou považovány. To je

${ displaystyle eta (x, t) = a (x) , sin ( omega , t- phi (x)) = { tfrac {1} {2}} , H (x) , sin ( omega , t- phi (x)),}$

kde ${ displaystyle a}$ je amplituda, ${ displaystyle H = 2a}$ je výška vlny, ${ displaystyle omega = 2 pi / T}$ je úhlová frekvence a ${ displaystyle phi (x)}$ je vlnová fáze. V důsledku toho také ${ displaystyle F}$ v ekv. (4) musí být sinusová vlna, např. ${ displaystyle F = beta sin ( omega t- phi (x))}$ s ${ displaystyle beta}$ konstanta.

Uplatňování těchto forem ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle F}$ v ekv. (4) dává:

${ displaystyle H , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {1} {4}} = beta,}$

který je Greenův zákon.

Rychlost proudění

Horizontální rychlost proudění v ${ displaystyle x}$-směr vyplývá přímo z nahrazení výšky povrchu řešením ${ displaystyle eta (x, t)}$ z ekv. (4) do výrazu pro ${ displaystyle u (x, t)}$ v ekv. (1):^[10]

${ displaystyle { begin {aligned} u (x, t) & = g ^ { tfrac {1} {2}} ; b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {3} {4}}} (x) ; F vlevo (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt { g , h (s)}}} ; mathrm {d} s vpravo) & + mu , { tfrac {1} {2}} , g , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; { frac {(b , { sqrt {h}}) '} {b , { sqrt {h}}}} , Phi (x, t) + { frac {Q} {b (x) , h (x)}} + { mathcal {O }} left ( mu ^ {2} right), & qquad { text {with}} qquad Phi (x, t) = int _ {t_ {0}} ^ {t} F left ( sigma - int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) ; mathrm {d} sigma end {zarovnáno}}}$

a ${ displaystyle Q}$ další konstanta vybít.

Všimněte si, že - když šířka ${ displaystyle b}$ a hloubka ${ displaystyle h}$ nejsou konstanty - termín úměrný ${ displaystyle Phi (x, t)}$ znamená ${ displaystyle { mathcal {O}} ( mu)}$ (malý) fázový rozdíl mezi elevací ${ displaystyle eta}$ a rychlost ${ displaystyle u}$.

Pro sinusové vlny s amplitudou rychlosti ${ displaystyle V,}$ rychlosti proudění klesají k vedoucí pořadí tak jako^[8]

${ displaystyle V , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {3} {4}} = { text {stálý}}.}$

To se dalo očekávat od vodorovné postele ${ displaystyle V = { sqrt {g , h}} , (a / h) = { sqrt {g / h}} , a}$ s ${ displaystyle a}$ amplituda vln.