Mapy potrubí - Maps of manifolds

A Morin povrch, an ponoření použito v sférická everse.

v matematika, konkrétněji v diferenciální geometrie a topologie, různé typy funkce mezi rozdělovače jsou studovány, jednak jako objekty samy o sobě, jednak pro světlo, které vrhají

Druhy map

Stejně jako existují různé typy potrubí, existují různé typy map potrubí.

PDIFF slouží k relaci DIFF a PL a je ekvivalentní s PL.

v geometrická topologie, základní typy map odpovídají různým Kategorie potrubí: DIFF pro plynulé funkce mezi diferencovatelné potrubí, PL pro po částech lineární funkce mezi po částech lineární potrubí a TOP pro spojité funkce mezi topologické potrubí. Jedná se o postupně slabší struktury, správně propojené prostřednictvím PDIFF kategorie po částech -hladké mapy mezi po částech hladkými potrubími.

Kromě těchto obecných kategorií map existují mapy se speciálními vlastnostmi; tyto mohou nebo nemusí tvořit kategorie a mohou nebo nemusí být obecně diskutovány kategoricky.

Pravák trojlístkový uzel.

v geometrická topologie základní typ jsou vložení, z toho teorie uzlů je ústředním příkladem a zobecnění jako ponoření, ponoření, pokrývající prostory, a rozvětvené krycí prostory Mezi základní výsledky patří Whitneyova veta a Whitneyova věta o ponoření.

Riemannův povrch pro funkci F(z) = √z, zobrazeno jako a rozvětvený krycí prostor komplexní roviny.

Ve složité geometrii se k modelování používají rozvětvené krycí prostory Riemannovy povrchy a analyzovat mapy mezi povrchy, například pomocí Riemann – Hurwitzův vzorec.

V Riemannově geometrii lze žádat o mapy, aby byla zachována Riemannova metrika, což vede k představám o izometrické vložení, izometrické ponoření, a Riemannovy ponoření; základním výsledkem je Nashova věta o vložení.

Skalární funkce

3D barevný graf sférické harmonické stupně

{displaystyle n = 5}

Základním příkladem map mezi potrubími jsou funkce se skalárním oceněním na potrubí, ${displaystyle scriptstyle fcolon M o mathbb {R}}$ nebo ${displaystyle scriptstyle fcolon M o mathbb {C},}$ někdy volal běžné funkce nebo funkcionáři, analogicky s algebraickou geometrií nebo lineární algebrou. Ty jsou zajímavé jak samy o sobě, tak o studium základního potrubí.

V geometrické topologii jsou nejčastěji studovány Morseovy funkce, které poskytují řídítka rozklady, které se zobecňují na Funkce Morse – Bott a lze je použít například k pochopení klasických skupin, například v Bottova periodicita.

v matematická analýza, jeden často studuje řešení parciální diferenciální rovnice, jehož důležitým příkladem je harmonická analýza, kde člověk studuje harmonické funkce: jádro Operátor Laplace. To vede k funkcím jako sférické harmonické a do tepelné jádro metody studia potrubí, jako je slyšet tvar bubnu a několik důkazů o Atiyah – Singerova věta o indexu.

The monodromy kolem a jedinečnost nebo odbočka je důležitou součástí analýzy těchto funkcí.

Křivky a cesty

A geodetické na Americký fotbal ilustrující důkaz Gromova domněnka o vyplnění oblasti v systolická geometrie v hyperelliptickém případě (viz vysvětlení ).

Duální až skalární funkce - mapy ${displaystyle scriptstyle M o mathbb {R}}$ - jsou mapy ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} o M,}$ které odpovídají křivkám nebo cestám v potrubí. Lze je také definovat, kde doménou je interval ${displaystyle [a, b],}$ zejména jednotkový interval ${displaystyle [0,1],}$ nebo kde doménou je kruh (ekvivalentně periodická cesta) S¹, což dává smyčku. Ty se používají k definování základní skupina, řetězy v teorie homologie, geodetické křivky a systolická geometrie.

Vložené cesty a smyčky vedou k teorie uzlů a související struktury, jako je Odkazy, copánky, a spleti.

Metrické prostory

Riemannovy rozdělovače jsou speciální případy metrické prostory, a tedy člověk má představu Lipschitzova kontinuita, Hölderův stav, společně s a hrubá struktura, což vede k pojmům, jako jsou hrubé mapy a spojení s teorie geometrických skupin.

Viz také

Kategorie: Mapy potrubí