Morin povrch - Morin surface

Morin povrch při pohledu shora

Morin povrch při pohledu ze strany

everse papírové koule a Morinův povrch

papír Morin povrch (koule eversion do poloviny) s šestihrannou symetrií

The Morin povrch je poloviční model z sférická everse objeveno uživatelem Bernard Morin. Má čtyřnásobnou rotaci symetrie.

Pokud má původní koule, která má být obrácena, vnější povrch zbarvený zeleně a vnitřní povrch zbarvený červeně, pak když se koule transformuje skrz homotopy do Morinova povrchu bude polovina vnějšího Morinova povrchu zelená a napůl červená:

MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG
Polovina Morinova povrchu odpovídá zevnějšku (zeleně) koule
ke kterému je homeomorfní, a druhá symetrická polovina k interiéru (červená).

Poté otočením povrchu o 90 ° kolem jeho osy symetrie dojde k výměně jeho barev, tj. K výměně vnitřní a vnější polarity orientovatelného povrchu, takže po provedení kroků homotopy v přesně stejné poloze zpět do původní sféry bude možné takže rotovaný Morinův povrch poskytne kouli, jejíž vnější povrch je červený a jehož vnitřní povrch je zelený: koule, která byla obrácena naruby. Následuje shrnutí vývoje:

1. koule: zelená venku, červená uvnitř ...
2. transformuje do ...
3. Morin povrch,
3 '. Morin povrch otočený o 90 ° ...
2 '. inverzně transformuje do ...
1 '. koule: červená venku, zelená uvnitř.

Struktura Morinova povrchu

Morinův povrch lze rozdělit do čtyř shodných čtvrtinových částí. Tyto sekce se zde mohou nazývat sekce východ, sekce jih, sekce západ a sekce sever, respektive sekce 0, sekce 1, sekce 2 a sekce 3.

Sekce na východ od Morinova povrchu.

Morinův povrch má čtyřnásobný bod, kterým prochází jeho osa symetrie. Tento čtyřnásobný bod je počátečním a koncovým bodem šesti řádků dvojitých bodů. Každá ze čtvrtinových sekcí je ohraničena třemi z těchto linií dvojitých bodů, takže každá čtvrtinová sekce je homeomorfní k trojúhelníku. Sekce východ je nyní zobrazena schematicky:

Diagram ukazuje část Východ ohraničenou třemi smyčkami: ABCDA, AEFGA a AHIJA. Třetí smyčka, AHIJA, je řada dvojitých bodů, kde se protíná sekce východ. Loop ABCDA je pouze řada dvojitých bodů, když je sekce East připojena k sekci West, a smyčka AEFGA je pouze linie dvojitých bodů, když je sekce East připojena k sekci South. Bod je čtyřnásobný bod, který ve skutečnosti překrývá čtyři různé body: A₀, A₁, A₂, A₃.

Takto je sekce East spojena s ostatními sekcemi: nechte každou z jejích ohraničujících smyček určit uspořádaným pětinásobkem bodů, pak

{ displaystyle (A_ {1}, B, C, D, A_ {3}) = (A_ {1}, D '', C '', B '', A_ {3})}

{ displaystyle (A_ {2}, E, F, G, A_ {3}) = (A_ {2}, H ', I', J ', A_ {3})}

{ displaystyle (A_ {1}, H, I, J, A_ {2}) = (A_ {1}, E '' ', F' '', G '' ', A_ {2})}

kde nepřiměřené body patří do sekce 0 (východ), body se základním nátěrem patří do sekce 1 (jih), body s dvojitým nátěrem patří do sekce 2 (západ) a body s trojitým základním nátěrem patří do sekce 3 (sever).

Zbývající tři smyčky spojují sekce následujícím způsobem:

{ displaystyle (A_ {2}, B ', C', D ', A_ {0}) = (A_ {2}, D' '', C '' ', B' '', A_ {0}) }

{ displaystyle (A_ {3}, E ', F', G ', A_ {0}) = (A_ {3}, H' ', I' ', J' ', A_ {0})}

{ displaystyle (A_ {0}, E '', F '', G '', A_ {1}) = (A_ {0}, H '' ', I' '', J '' ', A_ { 1}).}

Sekce východ má, sama o sobě, jednu smyčku dvojitých bodů: AHIJA. Pokud je povrch odvinut a zploštěn, bude výsledek následující:

který je homeomorfní k trojúhelníku:
MorinSurfaceQuarterSectionTriangulovaný.PNG

Spojením čtyř trojúhelníkových sekcí v jejich švech vznikne a čtyřstěn:

který je homeomorfní pro kouli, což ukazuje, že Morinův povrch je koule, která se protíná sama.