Obrácení koule - Sphere eversion - Wikipedia

A Morin povrch při pohledu shora

Přehrát média

Proces obrácení koule, jak je popsáno v ^[1]

everse papírové koule a Morinův povrch

papírový Morinův povrch (do poloviny everse koule) s hexagonální symetrií

v diferenciální topologie, sférická everse je proces soustružení a koule naruby v a trojrozměrný prostor. (Slovo obrácení znamená „obracet se naruby“.) Je pozoruhodné, že tímto způsobem je možné plynule a plynule obracet kouli naruby (s možnými křižovatky ), aniž byste jej rozřezali, roztrhli nebo vytvořili záhyb. To je překvapivé jak pro nematematiky, tak pro ty, kteří tomu rozumějí běžná homotopy, a lze jej považovat za skutečný paradox; to je něco, co, i když je pravdivé, na první pohled vypadá falešně.

Přesněji řečeno

${ displaystyle f colon S ^ {2} to mathbb {R} ^ {3}}$

být standardem vkládání; pak je tu běžná homotopy z ponoření

${ displaystyle f_ {t} dvojtečka S ^ {2} do mathbb {R} ^ {3}}$

takhle ƒ₀ = ƒ a ƒ₁ = −ƒ.

Dějiny

An důkaz existence pro evoluci sféry bez záhybů nejprve vytvořil Stephen Smale  (1957 Je těžké si představit konkrétní příklad takového otočení, i když některé digitální animace byly vyrobeny, což je o něco jednodušší. První příklad byl vystaven díky úsilí několika matematiků, včetně Arnold S. Shapiro a Bernard Morin, který byl slepý. Na druhou stranu je mnohem snazší dokázat, že takové „otáčení“ existuje, a to udělal Smale.

Smaleův absolventský poradce Raoul Bott nejprve řekl Smale, že výsledek byl zjevně špatný (Levy 1995 ). Zdůvodňoval to tím, že stupeň z Gaussova mapa musí být při takovém „otáčení“ zachováno - zejména z toho vyplývá, že takové neexistuje otáčení z S¹ v R². Ale stupně Gaussovy mapy pro vložení F a -F v R³ jsou rovny 1 a nemají opačné znaménko, jak by se dalo nesprávně odhadnout. Stupeň Gaussovy mapy všech ponoření do S² v R³ je 1, takže zde není žádná překážka. Na této úrovni je možná vhodnější výraz „skutečný paradox“: do Smaleova díla neexistoval zdokumentovaný pokus argumentovat proti nebo proti vyvrácení S², a pozdější snahy jsou ve zpětném pohledu, takže nikdy neexistoval historický paradox spojený s převrácením sféry, pouze ocenění jemností při jeho vizualizaci těmi, kteří tuto myšlenku konfrontují poprvé.

Vidět h-zásada pro další zobecnění.

Důkaz

Smaleův původní důkaz byl nepřímý: identifikoval (běžnou homotopii) třídy ponoření koulí s homotopickou skupinou Stiefel potrubí. Vzhledem k tomu, skupina homotopy, která odpovídá ponoření ${ displaystyle S ^ {2}}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ zmizí, standardní vložení a naruby musí být pravidelné homotopické. V zásadě lze důkaz odmotat za účelem vytvoření explicitní pravidelné homotopy, ale není to snadné.

Existuje několik způsobů, jak vytvořit explicitní příklady a krásné matematická vizualizace:

• Modely na půli cesty: skládají se ze velmi zvláštních homotopií. Toto je původní metoda, kterou nejprve provedli Shapiro a Phillips prostřednictvím Chlapecký povrch, později vylepšeno mnoha dalšími. Původní homotopy modelu na půli cesty byly konstruovány ručně a fungovaly topologicky, ale nebyly minimální. Film vytvořený Nelsonem Maxem po dobu sedmi let a založený na modelech kuřecího drátu Charlese Pugha (následně ukradených z Matematického oddělení v Berkeley) byl na svou dobu „tour de force“ počítačové grafiky a připraven měřítko pro počítačovou animaci po mnoho let. Novější a definitivní vylepšení grafiky (80. léta) je minimax eversions, což je variační metoda a skládají se ze speciálních homotopií (jsou to nejkratší cesty vzhledem k Energie Willmore ). Na druhé straně pochopení chování Willmoreovy energie vyžaduje pochopení řešení parciálních diferenciálních rovnic čtvrtého řádu, a tak vizuálně krásné a evokativní obrazy věří v nějakou velmi hlubokou matematiku mimo Smaleův původní abstraktní důkaz.
• Thurston zvlnění: toto je topologické metoda a obecná; trvá homotopii a perturbuje ji tak, aby se stala běžnou homotopií. To je znázorněno na animaci počítačové grafiky Venku vyvinutý na Centrum geometrie pod vedením Silvia Levyho, Delle Maxwellové a Tamara Munznerová.^[2]
• Aitchisonovo „holiverse“ (2010): používá kombinaci topologických a geometrických metod a je specifické pro skutečnou pravidelnou homotopii mezi standardně vloženou 2 sférou a vkládání s obrácenou orientací. To poskytuje koncepční porozumění procesu, který je zjevný jako důsledek konkrétní struktury trojrozměrné projektivní roviny a podkladové geometrie Hopfovy fibrace. Pochopení podrobností těchto matematických konceptů není nutné pro koncepční zhodnocení konkrétní evoluce, která nastane, což v podstatě vyžaduje pouze pochopení konkrétní vložené kružnice nakreslené na torusu ve 3 prostoru. George Francis navrhl název „holiverse“ odvozený od slova „holistický“, protože (po určité úvaze) lze úplnou evoluci koncepčně uchopit od začátku do konce, bez vizuálních pomůcek poskytovaných animací. V duchu se to blíží myšlenkám, které původně navrhl Shapiro, a v praxi to poskytuje konkrétní důkaz everse, který nevyžaduje abstrakci, která je základem Smaleova důkazu. To je částečně ilustrováno v a Povray počítačová grafická animace, opět snadno vyhledatelná na YouTube.
• Kombinací výše uvedených metod lze úplnou evoluci koule popsat sadou uzavřených rovnic poskytujících minimální topologickou složitost ^[1]

Variace

• Šestirozměrná koule ${ displaystyle S ^ {6}}$ v sedmrozměrném euclediánském prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {7}}$ připouští everse. Se zjevným případem 0dimenzionální koule ${ displaystyle S ^ {0}}$ (dva odlišné body) ve skutečné linii ${ displaystyle mathbb {R}}$ a popsán výše případ dvojrozměrné koule v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ existují pouze tři případy, kdy koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ vložené do euklidovského prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ připouští everse.

Galerie eversních kroků

Povrchové grafy

Vládl model na půli cesty se čtyřnásobným bodem pohled shora úhlopříčný pohled boční pohled	Uzavřeno do poloviny pohled shora úhlopříčný pohled boční pohled	Vládl model smrti trojitých bodů pohled shora úhlopříčný pohled boční pohled
Regulovaný model konce středové smyčky pohled shora úhlopříčný pohled boční pohled	Vládl model poslední etapy pohled shora úhlopříčný pohled boční pohled

Nylonový strunný otevřený model

na půli cesty

na půli cesty

triple death top

trojitá strana smrti

konec křižovatky nahoře

koncová strana průsečíku

Viz také

• Koule
• Whitney – Grausteinova věta

Reference

Bibliografie

• Iain R. Aitchison (2010) The Holiverse: holistická evoluce 2-sféry v R ^ 3, předtisk. arXiv: 1008.0916.
• John B. Etnyre (2004) Recenze „h-principů a flexibility v geometrii“, PAN1982875.
• Francis, George K. (2007), Topologická obrázková kniha, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-34542-0, PAN  2265679
• George K. Francis a Bernard Morin (1980) "Arnold Shapiro's Eversion of the Sphere", Matematický zpravodaj 2(4):200–3.
• Levy, Silvio (1995), „Stručná historie odklonů sféry“, Vytváření vln, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN  978-1-56881-049-2, PAN  1357900
• Max, Nelson (1977) „Obrácení koule naruby“, https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941
• Anthony Phillips (květen 1966) „Obrácení povrchu naruby“, Scientific American, str. 112–120.
• Smale, Stephen (1958), „Klasifikace ponoření dvou koulí“, Transakce Americké matematické společnosti, 90 (2): 281–290, doi:10.2307/1993205, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993205, PAN  0104227

externí odkazy

• Venku, celé video (krátký klip tady )
• Historie vývoje koulí
• „Otočení koule naruby“
• Software pro vizualizaci vývoje sféry
• Vizualizace matematiky: topologie. Holiverse sféra everse (Povray animace)
• Vývoj sféry deNeve / Hills: video a interaktivní model
• Projekt Patricka Massota formalizovat důkaz v Poskytovatel štíhlé věty
• An interaktivní průzkum Adama Bednorze a Witolda Bednorze, metody obracení koulí