Hrubá struktura - Coarse structure

V matematický pole geometrie a topologie, a hrubá struktura na soubor X je sbírka podmnožiny z kartézský součin X × X s určitými vlastnostmi, které umožňují rozsáhlá struktura z metrické prostory a topologické prostory být definován.

Tradiční geometrie a topologie se zajímá o malou strukturu prostoru: vlastnosti, jako je kontinuita a funkce záleží na tom, zda inverzní obrázky malých otevřené sady nebo sousedství jsou sami otevřeni. Vlastnosti prostoru ve velkém měřítku - například omezenost, nebo stupně svobody prostoru - na takových vlastnostech nezávisí. Hrubá geometrie a hrubá topologie poskytnout nástroje pro měření velkoplošných vlastností prostoru, stejně jako a metrický nebo a topologie obsahuje informace o struktuře vesmíru v malém měřítku, hrubá struktura obsahuje informace o jeho vlastnostech ve velkém měřítku.

Správně, hrubá struktura není velkým analogem topologické struktury, ale a jednotná struktura.

Definice

A hrubá struktura na soubor X je sbírka E z podmnožiny z X × X (proto spadá pod obecnější kategorizaci binární vztahy na X) volala řízené sadya tak E vlastní vztah identity, je uzavřen při přijímání podmnožin, inverzí a konečných unií a je uzavřen pod složení vztahů. Výslovně:

1. Totožnost / úhlopříčka

The úhlopříčka Δ = {(X, X) : X v X} je členem E—Vztah identity.

2. Uzavřeno při přijímání podmnožin

Li E je členem E a F je podmnožinou E, pak F je členem E.

3. Uzavřeno při přijímání inverzí

Li E je členem E pak inverzní (nebo přemístit) E ⁻¹ = {(y, X) : (X, y) v E} je členem E— Inverzní vztah.

4. Uzavřeno při přijímání odborů

Li E a F jsou členy E pak svaz z E a F je členem E.

5. Uzavřeno ve složení

Li E a F jsou členy E pak produkt E Ó F = {(X, y) : tady je z v X takový, že (X, z) je v E, (z, y) je v F} je členem E—Složení vztahů.

Sada X obdařen hrubou strukturou E je hrubý prostor.

Sada E[K.] je definován jako {X v X : tady je y v K. takový, že (X, y) je v E}. Definujeme sekce z E podle X být set E[{X}], také označeno E _X. Symbol E^y označuje sadu E ⁻¹[{y}]. To jsou formy projekce.

Intuice

Řízené sady jsou „malé“ sady nebozanedbatelné sady ": sada A takhle A × A je řízen je zanedbatelný, zatímco funkce F : X → X tak, že jeho graf je řízen, je „blízký“ identitě. V omezené hrubé struktuře jsou tyto množiny omezenými množinami a funkce jsou ty, které jsou v konečné vzdálenosti od identity v jednotná metrika.

Hrubé mapy

Vzhledem k sadě S a hrubá struktura X, říkáme, že mapy ${displaystyle f: S o X}$ a ${displaystyle g: S o X}$ jsou zavřít -li ${displaystyle {(f (s), g (s)) | sin S}}$ je řízená sada. Podmnožina B z X se říká, že je ohraničený -li ${displaystyle B imes B}$ je řízená sada.

Pro hrubé struktury X a Y, říkáme to ${displaystyle f: X o Y}$ je Hrubý pokud pro každou ohraničenou množinu B z Y sada ${displaystyle f ^ {- 1} (Y)}$ je ohraničen v X a pro každou kontrolovanou sadu E z X sada ${displaystyle (f imes f) (E)}$ je ovládán v Y.^[1] X a Y se říká, že jsou hrubě ekvivalentní pokud existují hrubé mapy ${displaystyle f: X o Y}$ a ${displaystyle g: Y o X}$ takhle ${displaystyle fcirc g}$ je blízko ${displaystyle operatorname {id} _ {Y}}$ a ${displaystyle gcirc f}$ je blízko ${displaystyle operatorname {id} _ {X}}$.

Příklady

• The ohraničená hrubá struktura na metrický prostor (X, d) je kolekce E ze všech podmnožiny E z X × X takový, že sup {d(X, y) : (X, y) je v E} je konečný.

  S touto strukturou celočíselná mřížka Zⁿ je hrubě ekvivalentní s n-dimenzionální Euklidovský prostor.

• Prostor X kde X × X je řízen se nazývá a ohraničený prostor. Takový prostor je hrubě ekvivalentní bodu. Metrický prostor s ohraničenou hrubou strukturou je ohraničen (jako hrubý prostor) právě tehdy, pokud je ohraničen (jako metrický prostor).
• Triviální hrubá struktura se skládá pouze z úhlopříčky a jejích podmnožin.

  V této struktuře je mapa hrubou ekvivalencí právě tehdy, pokud jde o bijekci (množin).

• The C₀ hrubá struktura v metrickém prostoru X je soubor všech podskupin E z X × X taková, že pro všechna ε> 0 existuje a kompaktní soubor K. z X takhle d(X, y) <ε pro všechny (X, y) v E − K. × K.. Případně kolekce všech podskupin E z X × X takový, že {(X, y) v E : d(X, y) ≥ ε} je kompaktní.
• The diskrétní hrubá struktura na setu X se skládá z úhlopříčka společně s podmnožinami E z X × X které obsahují pouze konečný počet bodů (X, y) mimo úhlopříčku.
• Li X je topologický prostor pak neurčitá hrubá struktura na X skládá se ze všeho správně podmnožiny X × X, což znamená všechny podskupiny E takhle E [K.] a E ⁻¹[K.] jsou relativně kompaktní kdykoli K. je relativně kompaktní.

Viz také

• jednotný prostor
• kvazi-izometrie

Reference

• John Roe, Přednášky z hrubé geometrie, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Opravy Přednášky z hrubé geometrie
• Roe, John (červen – červenec 2006). „Co je to ... hrubý prostor?“ (PDF ). Oznámení Americké matematické společnosti. 53 (6): 669. Citováno 2008-01-16.