Āryabhaṭas sinusový stůl - Āryabhaṭas sine table - Wikipedia
Astronomické pojednání Āryabhaṭīya byla složena během pátého století společností Indický matematik a astronom Āryabhaṭa (476–550 nl), pro výpočet napůl akordy určité sady oblouků kruhu. Není to tabulka v moderním smyslu matematické tabulky; to znamená, že nejde o množinu čísel uspořádaných do řádků a sloupců.[1][2]
Tabulka Āryabhaṭa také není souborem hodnot trigonometrické sinusové funkce v konvenčním smyslu; je to tabulka první rozdíly hodnot trigonometrické sinusy vyjádřen v obloukové minuty, a proto se tabulka také označuje jako Āryabhaṭova tabulka sinusových rozdílů.[3][4]
Āryabhaṭův stůl byl vůbec první sinusový stůl, který byl kdy vyroben dějiny matematiky.[5] Nyní ztracené tabulky Hipparchus (c.190 př. nl - c.120 př. nl) a Menelaus (asi 70–140 nl) a ti z Ptolemaios (c. AD 90 - c.168) byly všechny tabulky akordy a ne polovičních akordů.[5]Āryabhaṭův stůl zůstal jako standardní sinusový stůl starověké Indie. Neustále se pokoušely zlepšit přesnost této tabulky. Tyto snahy vyvrcholily případným objevením rozšíření výkonových řad funkcí sinu a kosinu pomocí Madhava ze Sangamagramy (c.1350 - c.1425), zakladatel Kerala škola astronomie a matematiky a tabelace a sinusový stůl od Madhavy s hodnotami s přesností na sedm nebo osm desetinných míst.
Někteří historici matematiky tvrdili, že sinusová tabulka uvedená v Āryabhaṭiya byla adaptací dřívějších takových tabulek vytvořených matematiky a astronomy starověkého Řecka.[6] David Pingree, jeden z nejvýznamnějších amerických historiků exaktních věd ve starověku, byl představitelem takového pohledu. Za předpokladu této hypotézy G. J. Toomer[7][8][9] píše: „Sotva existuje dokumentace pro nejbližší příchod řeckých astronomických modelů do Indie, nebo pro to, jak by tyto modely vypadaly. Je tedy velmi obtížné zjistit, do jaké míry to, co k nám přišlo, představuje přenášené znalosti , a co je u indických vědců originální. ... Pravda je pravděpodobně zamotaná směs obou. “[10]
Stůl
Původní tabulka
Sloka v Āryabhaṭiya popisující sinusovou tabulku je uvedena níže:
मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व |
घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला-अर्ध-ज्यास् ||
V moderních notacích
Hodnoty zakódované ve sanskrtském verši Āryabhaṭy lze dekódovat pomocí numerické schéma vysvětleno v Āryabhaṭīya a dekódovaná čísla jsou uvedena v tabulce níže. V tabulce jsou ve druhém sloupci uvedeny úhlové míry relevantní pro sinusovou tabulku Āryabhaṭa. Třetí sloupec obsahuje seznam čísel obsažených ve sanskrtském verši uvedeném výše v Devanagari skript. Pro pohodlí uživatelů, kteří nemohou číst Devanagari, jsou tyto slovní číslice reprodukovány ve čtvrtém sloupci v ISO 15919 přepis. Následující sloupec obsahuje tato čísla v Hindu-arabské číslice. Čísla abryabhaṭa jsou prvními rozdíly v hodnotách sinusů. Odpovídající hodnota sinu (nebo přesněji: jya ) lze získat sečtením rozdílů až do tohoto rozdílu. Tedy hodnota jya odpovídající 18 ° 45 ′ je součet 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Pro posouzení přesnosti výpočtů Āryabhaṭa jsou moderní hodnoty jyas jsou uvedeny v posledním sloupci tabulky.
V indické matematické tradici je sinus (nebo jya) úhlu není poměr čísel. Je to délka určitého úsečky, určitého polokordu. Poloměr základní kružnice je základním parametrem pro konstrukci takových tabulek. Historicky bylo několik tabulek vytvořeno s použitím různých hodnot pro tento parametr. Āryabhaṭa zvolil číslo 3438 jako hodnotu poloměru základní kružnice pro výpočet své sinusové tabulky. Důvodem pro volbu tohoto parametru je myšlenka měření obvodu kruhu v úhlových mírách. V astronomických výpočtech se vzdálenosti měří v stupňů, minut, sekundy atd. V tomto měřítku je obvod kruhu 360 ° = (60 × 360) minut = 21600 minut. Poloměr kruhu, jehož obvod je 21600 minut, je 21600 / 2π minut. Výpočet pomocí hodnoty π = 3,1416 známo Aryabhata jeden dostane poloměr kruhu přibližně 3438 minut. Sine tabulka Āryabhaṭa je založena na této hodnotě pro poloměr základní kružnice. Dosud nebylo stanoveno, kdo je vůbec první, kdo používá tuto hodnotu pro základní poloměr. Ale Aryabhatiya je nejdříve přežívající text obsahující odkaz na tuto základní konstantu.[11]
| Sl. Ne | Úhel (A) (v stupňů, obloukové minuty ) | Hodnota v Āryabhaṭa číselná notace (v Devanagari ) | Hodnota v Āryabhaṭa číselná notace (v ISO 15919 přepis) | Hodnota v Hindu-arabské číslice | Āryabhaṭa hodnota jya (A) | Moderní hodnota z jya (A) (3438 × sin (A)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 03° 45′ | मखि | makhi | 225 | 225′ | 224.8560 |
| 2 | 07° 30′ | भखि | bhakhi | 224 | 449′ | 448.7490 |
| 3 | 11° 15′ | फखि | phakhi | 222 | 671′ | 670.7205 |
| 4 | 15° 00′ | धखि | dhakhi | 219 | 890′ | 889.8199 |
| 5 | 18° 45′ | णखि | ṇakhi | 215 | 1105′ | 1105.1089 |
| 6 | 22° 30′ | ञखि | ñakhi | 210 | 1315′ | 1315.6656 |
| 7 | 26° 15′ | ङखि | hiakhi | 205 | 1520′ | 1520.5885 |
| 8 | 30° 00′ | हस्झ | hasjha | 199 | 1719′ | 1719.0000 |
| 9 | 33° 45′ | स्ककि | skaki | 191 | 1910′ | 1910.0505 |
| 10 | 37° 30′ | किष्ग | kiṣga | 183 | 2093′ | 2092.9218 |
| 11 | 41° 15′ | श्घकि | śghaki | 174 | 2267′ | 2266.8309 |
| 12 | 45° 00′ | किघ्व | kighva | 164 | 2431′ | 2431.0331 |
| 13 | 48° 45′ | घ्लकि | ghlaki | 154 | 2585′ | 2584.8253 |
| 14 | 52° 30′ | .्र | kigra | 143 | 2728′ | 2727.5488 |
| 15 | 56° 15′ | हक्य | hakya | 131 | 2859′ | 2858.5925 |
| 16 | 60° 00′ | धकि | dhaki | 119 | 2978′ | 2977.3953 |
| 17 | 63° 45′ | किच | kica | 106 | 3084′ | 3083.4485 |
| 18 | 67° 30′ | स्ग | sga | 93 | 3177′ | 3176.2978 |
| 19 | 71° 15′ | झश | jhaśa | 79 | 3256′ | 3255.5458 |
| 20 | 75° 00′ | ङ्व | ṅva | 65 | 3321′ | 3320.8530 |
| 21 | 78° 45′ | क्ल | kla | 51 | 3372′ | 3371.9398 |
| 22 | 82° 30′ | प्त | pta | 37 | 3409′ | 3408.5874 |
| 23 | 86° 15′ | फ | pha | 22 | 3431′ | 3430.6390 |
| 24 | 90° 00′ | छ | cha | 7 | 3438′ | 3438.0000 |
Āryabhaṭa výpočetní metoda
Druhá část Āryabhaṭiya s názvem Ganitapādda obsahuje sloku označující metodu výpočtu sinusové tabulky. Existuje několik nejasností ve správné interpretaci významu tohoto verše. Následuje například překlad verše, který dal Katz, přičemž slova v hranatých závorkách jsou vložením překladače, nikoli překlady textů ve verši.[11]
- „Když je druhá polovina [akord] rozdělená menší než první polovina akordu, což je [přibližně stejné] jako [odpovídající] oblouk, do určité míry jsou zbývající [sinusové rozdíly] menší [než předchozí ones] každý o tuto částku vydělený prvním půlkordem. “
To může odkazovat na skutečnost, že druhá derivace sinusové funkce se rovná negativu sinusové funkce.
Viz také
Reference
- ^ Selin, Helaine, vyd. (2008). Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách (2. vyd.). Springer. str.986 –988. ISBN 978-1-4020-4425-0.
- ^ Eugene Clark (1930). Astronomie. Chicago: The University of Chicago Press.
- ^ Takao Hayashi, T (listopad 1997). "Āryabhaṭa pravidlo a tabulka pro sinusové rozdíly". Historia Mathematica. 24 (4): 396–406. doi:10.1006 / hmat.1997.2160.
- ^ B. L. van der Waerden, B. L. (březen 1988). „Rekonstrukce řecké tabulky akordů“. Archiv pro historii přesných věd. 38 (1): 23–38. doi:10.1007 / BF00329978.
- ^ A b J. J. O'Connor a E. F. Robertson (červen 1996). "Trigonometrické funkce". Citováno 4. března 2010.
- ^ „Hipparchus a trigonometrie“. Citováno 6. března 2010.
- ^ G. J. Toomer, G. J. (Červenec 2007). „Akordová tabulka Hipparcha a rané dějiny řecké trigonometrie“. Kentaur. 18 (1): 6–28. doi:10.1111 / j.1600-0498.1974.tb00205.x.
- ^ B.N. Narahari Achar (2002). „Āryabhata a tabulka Rsines“ (PDF). Indian Journal of History of Science. 37 (2): 95–99. Citováno 6. března 2010.
- ^ Glen Van Brummelen (březen 2000). „[HM] Radian Measure“. Archiv adresářů Historia Mathematica. Citováno 6. března 2010.
- ^ Glen Van Brummelen. Matematika nebes a Země: počátek 0.
- ^ A b Victor J Katz (redaktor) (2007). Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: pramen. Princeton: Princeton University Press. 405–408. ISBN 978-0-691-11485-9.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)